精品解析：上海市宝山中学2026-2027学年高一上学期10月第一次月考数学试卷

2026-2027学年第一学期第一次月考 高一年级 数学试卷 （考试时长：90分钟 满分：100分） 命题教师：陈思磊 审核教师：高一数学组 一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 若集合或，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的交集定义即可求解. 【详解】因或 则 2. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，集合，故分两种情况讨论： 若，则，此时集合，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，解得或， 当时，集合，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时，集合，符合题意. 综上，. 3. 满足的集合有__个． 【答案】7 【解析】 【分析】根据非空子集的定义求解. 【详解】由题意可知与的非空子集的并集， 而的非空子集有有个， 所以满足条件的有7个， 故答案为：7. 4. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，第一步应假设______. 【答案】且 【解析】 【详解】反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，即对结论进行否定； 原命题的结论为“或”，逻辑连接词“或”的否定为“且”， “”的否定为“”， 可得结论的否定为“且”. 5. 已知等式恒成立，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】多项式恒成立问题，根据等式两边对应同类项的系数必然相等求解. 【详解】把右侧的代数式展开整理. 已知恒成立， 因此对应系数相等可得，解得. 故. 6. 不等式的解集______. 【答案】 【解析】 【分析】解绝对值不等式. 【详解】解，则，即， ，， 所以. 7. 比较两个代数式的大小关系：______ 【答案】 【解析】 【详解】， 因此， 所以. 8. 设，若关于的不等式的解集为全体实数，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【详解】由的解集为全体实数，得，解得，即实数的取值范围是. 9. 在平面直角坐标系内，点在第二象限，则的取值范围是______ 【答案】 或 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标特征列不等式组，求解即得的取值范围. 【详解】因点在第二象限，则 ， 由，解得； 由等价于，解得或； 故的取值范围是或. 10. 设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求集合，再由，得，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由，得，， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 11. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【解析】 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 12. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 【答案】2560 【解析】 【分析】利用A集合的所有子集中，每个元素出现的次数为，计算出集合中所有非空子集的“变项和”的总和. 【详解】A集合的所有非空子集中，每个元素出现的次数都是， 则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为 . 二.选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于AB，取，满足，而，AB错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，取，则，D错误. 14. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ） ①；②； ③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的概念，逐项验证即可求解. 【详解】根据元素的无序性可知①正确，表示点集，表示数集，故②错误， 表示大于等于的整数，也表示大于等于2的整数，故③正确， ，所以，故④错误 15. 已知命题P：方程有两个不相等实根；命题Q：不等式与均有解，则命题P成立是命题Q成立的（ ）条件. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分析出命题，成立所满足的条件，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若命题成立，即方程有两个不相等实根， 须满足； 若命题成立，即不等式与均有解，有两种情况： 第一种情况，不等式是一元二次不等式， 此时不等式所对应的二次函数的图像必须与轴有两个交点， 所以须满足； 第二种情况，不等式是一元一次不等式，此时须满足. 综上可知，由命题能推出命题，但是由命题不能推出命题， 即命题P成立是命题Q成立的充分非必要条件. 故选：A 16. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 【答案】A 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 三.简答题（本大题共5题，共8+10+10+12+12=52分） 17. 已知全集，集合，. （1）若集合表示图中阴影部分，用集合的运算式表示 （2）求集合 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由韦恩图直接写出答案； （2）解分式不等式得到集合，由集合运算求得集合. 【小问1详解】 由韦恩图可知. 【小问2详解】 解，则，即， 所以，所以， 所以，所以或. 18. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设可得是的子集，据此可得答案； （2）分集合B为空集、非空集两种情况，结合交集为空的条件列不等式求解可得答案. 【小问1详解】 . 若是的充分条件，则，可得 ， 解得， 故的取值范围是； 【小问2详解】 对于，当时，，解得，满足； 当时，即，要使交集为空，则或，解得， 结合，得. 综上可得：. 19. 设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值 (万元)与总支出 (万元)近似地满足下列关系:，，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额. （1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机? （2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少? 【答案】（1）4台电机 （2）当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元. 【解析】 【分析】（1）通过解不等式，计算即得结论； （2）通过（1）可知当时企业亏损，通过配方可知亏损额，进而计算可得结论． 【小问1详解】 解：依题意，，即， 整理得，解得或（舍， 企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机； 【小问2详解】 解：由（1）可知当时企业亏损， 亏损额， 当时，取最大值， 此时， 即当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元． 20. 已知是一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）是否存在整数，使的值为整数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不存在，理由如下： 因为是一元二次方程的两个实数根， 所以，解得：， 由韦达定理得：， 又， 则， 即，解得：， 因为，所以不存在实数，使成立. （2）的值为或或，理由如下： 由 ， 由于的值为整数即：的值为整数， 所以只能取， 又，所以当时，得出（舍）或， 当时，得出（舍）或， 当时，得出（舍）或， 综上所述：若的值为整数，则的值为或或. 【解析】 【分析】（1）由求出的取值范围，再根据韦达定理以及得出方程，解方程即可； （2）由，代入韦达定理化简，再结合题意分析得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知集合，其中．若的子集满足，则称具有性质．的所有具有性质的子集的个数记为． （1）当时，写出的所有具有性质的子集； （2）当时，若，且，证明：数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同； （3）当时，求的最大值． 【答案】（1）、 （2） 当时，． 所以或． 假设数对和中的两数均奇偶性不同，则和均为奇数． 因为，为偶数，所以，且． 又，故，，，， 所以不具有性质． 又，所以一定具有性质． 结合，，，， ，． 所以，与已知矛盾． 所以数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同． （3）16 【解析】 【分析】（1）直接计算，枚举法 （2）利用进行奇偶数分析，利用反证法证明. （3）通过条件，对下标进行约束.，用组合极值思想组合构造. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设． 若具有性质，则． 不妨设，则，所以． 故，． 对任意的，有，． 所以确定时，满足条件的的个数至多为． 所以． 当时，． 所以的最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次月考 高一年级 数学试卷 （考试时长：90分钟 满分：100分） 命题教师：陈思磊 审核教师：高一数学组 一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 若集合或，则______． 2. 已知集合，，则______. 3. 满足的集合有__个． 4. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，第一步应假设______. 5. 已知等式恒成立，则的值为______. 6. 不等式的解集______. 7. 比较两个代数式的大小关系：______ 8. 设，若关于的不等式的解集为全体实数，则实数的取值范围是______ 9. 在平面直角坐标系内，点在第二象限，则的取值范围是______ 10. 设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 11. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 12. 已知集合的元素均为正整数，定义集合的“变项和”为：将中每个元素都乘以后再求和.若集合，则集合的所有非空子集的“变项和”的总和为________. 二.选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ） ①；②； ③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知命题P：方程有两个不相等实根；命题Q：不等式与均有解，则命题P成立是命题Q成立的（ ）条件. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 三.简答题（本大题共5题，共8+10+10+12+12=52分） 17. 已知全集，集合，. （1）若集合表示图中阴影部分，用集合的运算式表示 （2）求集合 18. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若，求实数的取值范围； 19. 设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值 (万元)与总支出 (万元)近似地满足下列关系:，，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额. （1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机? （2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少? 20. 已知是一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）是否存在整数，使的值为整数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21. 已知集合，其中．若的子集满足，则称具有性质．的所有具有性质的子集的个数记为． （1）当时，写出的所有具有性质的子集； （2）当时，若，且，证明：数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同； （3）当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $