第一章 勾股定理 素养巩固 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

2026-2027北师大版数学八年级上册素养巩固 第一章勾股定理 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.下列四组数，是勾股数的是() A.0.3,0.4,0.5B.3,4,5 C.6,7,8 D.3,42,5 2.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是() A.∠A:∠B:∠C=2:3:5 B.∠A=∠B+∠C C.a:b:c=1:2:3 D.a2-c2=b2 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，若AC=1,AB=2,则BC的值是() B A.1 B.3 C.2 D.5 4.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，己 知正方形A,B,C的面积依次为2,4,3，则正方形D的面积为() D A.7 B.8 C.9 D.10 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,AB=10,AC=6, BD=5,则点D到AB的距离是() D A.3 B.4 C.5 D.6 6.如图，己知两个正方形的面积分别为225,289，则字母A所代表的正方形的面 积为() 289 225 A A.4 B.8 C.64 D.16 7.如图，一架长2.5m的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的 距离为0.7m.如果梯子的顶端B下滑0.4m至B，那么梯子底端将滑动() B 0 A.0.6m B.0.7m C.0.8m D.0.9m 8.己知一个直角三角形的两条边长分别是5和13，则第三边长的平方是() A.12 B.169 C.144或194 D.144或169 9.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张 角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm,此时底部边缘A处与C处间 的距离AC为24cm.小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF 时（点D是点B的对应点，顶部边缘D处到桌面的距离DE为0Cm,则底部边缘A处 与E之间的距离AE为() A.15cm B.18cm C.21cm D.24cm 10.如图，长方体的长、宽、高分别为3cm,1cm,6cm如果一只小虫从点A开始 爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短 路程为). 6cm B 3cm 1 cm A.5cm B.5.5cm C.6cm D.7cm 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AB=15,则AC= 12.木工师傅做了一个长方形桌面，量得桌面的长是60cm,宽是35cm,对角线长 是75cm,那么你认为这个桌面(（选填“合格”或“不合格”). 13.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1,OA=2,则OD=一 14.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃读kn,门 槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何.题目大意是：如图图②为图①的平面 示意图，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1 尺=10寸)，则AB的长是寸. D 门槛B ① ② 15.如图，在长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点N在边CD上，沿着BN折叠长方形 ABCD,使点C落在点F处，连接DF.当线段DF+BF的值最小时，CN=一 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 16.（本小题8分) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=17.求△ABC的周长. 17.(本小题8分) 很早之前，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a,b与 斜边c满足关系式a2+b2=c2.如图①，在正方形ACDE的边CD上取点B,连接AB,得 到Rt△ACB,三边分别为a,b,C,剪下△ACB把它拼接到△AEF的位置，如图② 所示，请利用面积不变验证勾股定理. b b Ca B C a B ① ② 18.(本小题8分) 如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格 点，以格点为顶点分别按下列要求画图 图1 图2 (1)在图1中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数. (2)在图2中，画出一个面积为10的正方形. 19.(本小题8分) 如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板AB往上爬，木板底端距离墙角O.7m,当 小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了1.3m,木板项端向下滑动 了0.9m. A A (1)根据题意，得BC=一m,BB,=一m,AA1=—m. (2)求A,C的长和这块木板的长. 20.（本小题9分) 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD1AC于点D,E是AC上一点，且DE=DA.若 AB=15,BC=20· (1)求BD的长； (2)求EC的长. 21.（本小题10分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3Cm,动点P从点A出发，沿射 线AC以1cm/s的速度运动，设运动时间为s. B 备用图 (1)当AABP为直角三角形时，求t的值： (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值. 22.（本小题11分) 两个正数的和是24，求它们积的最大值你有哪些解决问题的方法？ 解：（方法一面积法借助赵爽弦图. Ax E y ，M 设这两个正数分别为x,y,如图，用8个全等的直角边长分别为x,y的直角三角 形拼成“弦图”. 由图可知AE=DH=BF=CG=x,DE=AF=BG=CH=y. 由题意，得x+y=一 8个直角三角形的面积为4y=一-SE方—-S正方' .'.Xy= -1SE方肠 4 :求y的最大值，即求SE方的最小值 又·S正方最小值为一 y的最大值为 (方法二利用平方差公式求解. 设这两个正数分别为12-n, 则它们的乘积为12-n=_n2. :.求它们积的最大值，即求2的最小值. 又n的最小值为 :.它们积的最大值为 23.（本小题13分》 在△ABC中，AB=AC,E,F是边BC所在直线上与点B,C不重合的两点. 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠BAC=90°，∠EAF=45时，写出线段BE,CF与EF之间的数量关系， 并说明理由； (2)如图2，当∠BAC=60,∠EAF=30时，已知BE=3,CF=5,求线段EF的长； (3)如图3，当∠BAC=90°，∠EAF=135时，请探究线段CE,BF与EF之间的数量关 系，并说明理由. 1.B2.C3.B4.C5.A6.C7.C8.C9.A10.A 11.9 12.不合格 13.7 14.101 15号 16.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB.,AC=8,AB=17, .BC=15.△ABC的周长为8+17+15=40 17.解：AC=b, .正方形ACDE的面积为b2, CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a, .BD=CD-BC=b-a'DF=DE+EF=a+b, ,∠CAE=90°， .∴.∠BAC+∠BAE=90, .∠BAC=∠EAF, .∴.∠EAF+∠BAE=90°， △BAF为等腰直角三角形， 四边形B0F的面积为：+b-a(a+b=2c+-a), 正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等， 6=c2+62-a .2b2=c2+b2-a2, ∴.a2+b2=c2. 18.(1) 解：：32+4=5，如图1，可以画一个直角边分别为3和4，斜边为5的直角三角 形. 图1 (2)正方形的面积为10，正方形的边长为10.又：(102=32+12，如图2， 画四个直角边分别为1和3，斜边为V10的直角三角形，即可画出所求正方形. 图2 19.(1) 0.7 1.3 0.9 (2)设A1C=xm在Rt△ABC和Rt△A1B,C中，AB2-AC2+BC2,A1B=A1C2+B1C2, :AB=A1B,∴.(0.9+xP+0.72=x2+(1.3+0.7,解得 x=1.5..AB2=BC2+AC2=0.72+(0.9+1.52=6.25.AB=2.5m.答：A1C的长是1.5m,木 板的长是2.5m. 20.(1) 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，所以AB+BC2=AC.因为AB=15,BC=20,所以 AC=25.因为BD L AC,所以∠ADB=90.°所以2AB·BC=AC~BD.所以BD=12. (2)在Rt△ABD中，由勾股定理，得DA2=AB-BD=152-12=81,所以DA=9. 因为DE=DA,所以AE=2DA=18.所以EC=AC-AE=25-18=7. 21.(1) .∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm, ∴.AC2=AB2-BC2=52-32=16,∴.AC=4cm ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，AP=AC=4cm,∴.t=4: ②当∠ABP为直角时，AP=tcm,则cP=(t-4)cm, 在Rt△BCP中，BP2=32+(t-4,在Rt△BAP中，BP2=t2-52, +-4=r-5,解得空. 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t=4或孕 (2)①当AP=BA=5cm时，t=5: ②当AB=BP时，AP=2AC=8cm,.t=8: ③当PB=PA时，PB=PA=tcm,CP=(4-t)cm,在Rt△BCP中，BP2=BC2+CP2, 即=3+4t只，解得=空。 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t=5或8或号。 22.24 S压方形 576 144 0 144 12+n 12+n 144 0 144 23.(1) 解：EF2=BE2+CF2.理由如下：：∠BAC=90°，AB=AC,∴将△ABE绕点A逆时针 旋转90°得到△ACG,连接FG,如图1所示， 图1 .∴.AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°， ∴.∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=180°-∠BAC=90°， ∴.GF2=CF2+CG2=CF2+BE2..·∠EAF=45°，∠EAG=90°，∴.∠GAF=90°-45°=45°， ∴.∠EAF=∠GAF,又AF=AF,AE=AG,.△AEF≌△AGFSAS,EF=GF, ..EF2=GF2=CE2+BE2,EF=BE2+CF2. (2)·'∠BAC=60°，AB=AC,.∠B=∠ACB=60°，将△ABE绕点A逆时针旋转60° 得到△ACG,连接FG,过点G作GH⊥BC交BC的延长线于点H,如图2所示， BE 图2 ∴.AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B=60°，∠EAG=60°..'∠EAF=30°， ∠GAF=60°-30=30，.∠EAF=∠GAF.又：AF=AF,AE=AG, ∴.△AEF≌△AGF SAS,∴.EF=GF.在Rt△CGH中，：CG=BE=3, d8+a0=da:‘d8+D8=d9:‘o06=ad7.‘中387w `d9=a:SVSD附7方a阳7∵5V=V=.,7=a7: oS8I=。06-oS8I-。098=9a7-HV☑7-。098=0H7‘。06=O8V7+O8V7=Ha97. ‘。06=8D7=0a7‘。S=O8V7=aOW79H=aVD8=a0‘DHa7=aO7.: ☒ 0 8 1 4 ‘兰ε☒r‘pH斜县‘a9V7庋。06韩4身阳v学3V7球 :。Sb=DV7=O9V7:‘。06=O/a7‘OV=8V.:↓甲da+a0=da（C) .乙 uED=6表+，名9+HEDh的击 元05 HD+Od=H‘b H5-95=H5 =90i-HD:‘.08=H907‘.09=90V7-aDV7-08t=HD97 .乙