江西景德镇市乐平市第三中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

乐平三中2026-2027学年度上学期高一月考 试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A A C C D AC AC 题号 11 答案 BC 12. 13. （也可以写作） 14. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）设全集. (1)求； (2)求. 【答案】(1)；；； (2)； 【分析】（1）根据集合的交并补运算定义计算即得； （1）根据集合的补集定义计算即得. 【详解】（1）由题意，； ； ；； （2）；. 16．（15分）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用子集概念来确定参数满足的条件即可求解； （2）利用分类讨论，子集有可能是空集和非空集，然后进行列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 17．（15分）某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米. (1)用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； (2)运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1) (2)，最小值为297600 【分析】（1）设底面长为x米，宽为米，由容积为立方米，列出水池的总造价关于的函数关系； （2）借助均值不等式即得解. 【详解】（1）设水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为米.    所以 即； （2）               ，                              当且仅当，即时，等号成立，y有最小值297600. 18．（17分）已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； (3)若，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 【分析】（1）由题意知，和3是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解； （2）将看成主元，构造关于的函数，则，进而可得出答案； （3）先因式分解，再讨论的范围，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意知，和3是方程的两根，且， 所以解得； （2）因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 令， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为． 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 19．（17分）若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． (3)设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 【答案】(1)，， (2)该命题为假命题，理由如下： 假设命题为真，则不妨设中元素的最大值为，中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立； (3)由于集合中有16个元素，所以，，中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设，，，，，，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么，，，，， 又因为，，，，， 所以，，，，， 则，中必有一个集合至少包含，，，，中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：，，， 对任意，，存在，， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在，存在，，使得． 【分析】（1）根据题意，3 个元素拆成两非空子集，只能是 “1 个元素 + 2 个元素” 的组合，即可求解； （2）采用反证法，假设不同集合分别有最大值和最小值，则可推导出有理数不符合题意，即可证明； （3）利用反证法，假设任意集合内任意两数之差都不在这个集合内，以及元素与集合之间的关系即可证明； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平三中2026-2027学年度上学期10月考试高一数学试卷 满分：120分 考试时间：120（分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卡上． 1．若集合，则的真子集个数为（ ） A．1 B．3 C．7 D．15 2．已知命题，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B． C． D． 4．已知乐平三中高一16班有55名学生，在社团活动中，有17名学生参加了数学社，有22名学生参加了羽毛球社，数学社和羽毛球社都参加的有9名同学，则该班学生中数学社和羽毛球社都没有参加的人数为（ ） A．25 B．30 C．24 D．23 5．已知，为实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．不等式的解集为（ ） A．且 B．且 C．或 D．或 7．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（ ） A．25 B．36 C．49 D．64 8．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个整数，则实数的取值集合是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中是真命题的有（ ） A．， B．， C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 10．下列命题中的真命题有（ ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．对正实数，，若，则的最大值为3 11．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A． B．关于x的不等式的解集为 C．当且仅当时，取最小值 D．若关于x的函数与关于t的函数有相同的最小值，则b的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卡上． 12．不等式的解集为_______． 13．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，，则_______（用a，b表示），由可以得出的关于a，b的不等式为_______． 14．已知x、y为正实数，且满足，则的最大值是_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）设全集，，． （1）求，，，; （2）求，． 16．（15分）设全集，集合，， （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围． 17．（15分）某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设池底长方形的长为米． （1）用含的表达式表示池底长方形的宽以及建造这个蓄水池的总造价（单位：元）； （2）运用基本不等式求当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 18．（17分）已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若，求关于的不等式的解集． 19．（17分）若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $