江西省南昌市第二中学2026-2027学年高一上学期月考（一）数学试题

南昌二中2026-2027学年度上学期高一数学月考（一） 命题人：敖荣萍 审题人：骆敏 一、单选题 1．设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 2．“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则（    ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 5．若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 8．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是（    ） A．设，则的最小值是 B．若，则的最大值为 C若，则 的最小值为3 D．若，则的最小值为4 11．下列命题正确的有（　　） A．函数定义域，值域，则满足条件的有3个 B．是成立的必要不充分条件 C．若函数，且，则实数的值为 D．若的值域为，则的取值范围为 三、填空题 12．已知函数，则的单调递减区间为______． 13．若集合，，，，的值为______．. 14．对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为_____. 四、解答题-问答题 15．设全集为R，集合． (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围． 16．已知函数满足， （1）求的解析式； （2）若函数定义域为时，证明函数在定义域内单调递增，并求满足的实数的取值范围． 17．如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左、右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为5cm，两个宣传栏之间的空隙的宽度为10cm，设海报纸的长和宽分别为，．    (1)求关于的函数表达式； (2)为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形海报纸的面积最小）？并求出最少用纸量. 18．已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求，的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围； (3)当时，对恒成立，求实数的取值范围. 19．定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点的横坐标是函数的不动点，且的中点在函数的图象上，求的最小值.（注：两个点的中点的坐标公式为） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D B A C D BCD BD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，又，， 所以，则. 故选：B 2．C 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题即，， 故选：C. 3．A 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4．D 【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案. 【详解】对于选项A，由图象可得，所以，A错误； 对于选项B，，，，故不是单调增函数，B错误； 对于选项C，由图象可得的定义域为，C错误； 对于选项D，由图象可得的值域为，D正确． 故选：D． 5．B 【解析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】由于函数的定义域为，对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域是. 故选：B. 6．A 【分析】根据特称命题是假命题得出全称命题为真，分和，再结合判别式计算求解. 【详解】命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题， 当时，符合题意； 当时，由题知，解得； 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 7．C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 8．D 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出解集，对参数进行分类讨论，判断解集中仅有两个整数时的范围，进而求出结果. 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 9．BCD 【分析】举反例即可求解A，根据不等式的性质即可求解BCD. 【详解】若，满足，但是，故A错误， 由可得，结合，故，即，故B正确， 易知C正确， ，因为，故，，故，即，故D正确， 故选：BCD 10．BD 【分析】通过基本不等式及其适用的条件，判断选项中的最值是否成立. 【详解】对于A，因为不是定值，因此的最小值不是，A错误； 对于B，若，则，， 当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为，B正确； 对于C，因为，则， 可得， 当且仅当，等号成立，因为,无解,等号取不到 所以 的最小值取不到3，故C错误； 对于D，若， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D正确.故选：BD 11．ABD 【分析】利用同一函数的判断法则判断A，利用换元法求解值域判断B，利用命题的否定规则判断C，将原问题转化为恒成立问题，对二次项系数进行讨论，进而求解参数范围判断D即可. 【详解】对于A，，解得，所以定义域或，故A正确, 对于B，集合的分子为全体整数，集合的分子为全体奇数， 故是的真子集，故B正确， 对于C，令，则，， 所以，，解得，故C错误.； 对于D，若的值域为： 当时，时的值域无法覆盖全体实数（时为常数，时为），不满足； 当时，段单调递增，值域为； 若，段的最小值为，需，得； 若，段的最小值为，此时恒成立. 综上可得，故选项D正确.故选：ABD 12． 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 13．15 【分析】由已知条件可得，从而可知方程有两个相等的根5，从而可求出，的值 【详解】因为，，， 所以，所以方程有两个相等的根5， 所以，解得 所以 14．14 【分析】对的取值范围分类讨论后可求函数值，从而求中所有元素的和. 【详解】由题意知， ①当时，，，， ②当时，，，， ③当时，，，， ④当时，，，， ⑤当时，，，， 故中所有元素的和为. 故答案为：14 15．(1)或. (2). 【分析】（1）分别求两个集合的解集，再求并集和混合运算； （2）首先求，再根据条件，讨论和两种情况，列不等式求参数的取值范围. 【详解】（1）不等式， 即，解得：或， 所以或， 当时，，或，所以或. （2）或，若 当，即，得满足条件， 当，则或，解得：或， 综上可知，或. 16．（1）（）；（2） 【分析】（1）利用恒等式通过消元思想求解， （2）利用函数的单调性的定义证明即可；并利用函数的单调性求解不等式即可. 【详解】由可得：， 两式消去可得：（）， (2)证明：由于， 证明：，且， 则 ， ∵，    ∴， ∴，即， 故在上单调递增. ∵函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 17．(1)； (2)长80cm，宽40cm时，用纸量最少，为. 【分析】（1）根据已知用表示出宣传栏的长和宽，再应用矩形的面积公式写出表达式，注意定义域； （2）由（1）得，再应用基本不等式得，进而求的最小值，并确定取值条件，即可得. 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， ，整理得； （2）由（1）知，即， ，由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或， ，当且仅当，即时等号成立， 海报长80cm，宽40cm时，用纸量最少，最少用纸量为. 18．(1) (2) (3) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的有解、恒成立问题. 【分析】（1）由二次不等式的解集，得到对应二次方程的两根，利用韦达定理求，的值； （2）利用分离参数法转化为最值求解参数范围即可. （3）需要满足两个不等式和对都成立.. 【详解】（1）由题意得不等式的解集为， 则方程的根为， 得到，解得，故； （2）存在时，使成立，整理得成立，令，只需,当定义域为时求该函数取最大值， 此时，当且仅当时取等号 所以，可得. （3）当时 和对 都成立, 令，得在上恒成立， 当时，只需即可，解得； 当时，只需即可，解得（舍）； 综上 19．(1)0或-2 (2) (3) 【分析】（1）根据不动点的定义，解方程，即可求得答那； （2）对任意的实数，函数恒有两个不动点，即得恒有两个不等实数根，结合判别式，即可求得答案； （3）设，由题意得出，结合根与系数的关系可得，继而利用二次函数知识，即可求得答案. 【详解】（1）当时，, 令,即,则或, 即函数的不动点为0或-2； （2）令，即，即， 由于对任意的实数，函数恒有两个不动点， 即恒有两个不等实数根，即恒成立， 即恒成立，故； （3）由题意可设， 而的中点在函数的图象上， 故，则， 又是的两个不等实数根，则， 故，则 ， 由于，故，则当，即时，取最小值2， 此时取到最小值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $