精品解析：四川内江市第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

内江一中高2028届高二上期10月月考数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡规定的位置上，条码要粘贴在条码框内. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色笔迹的签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知随机事件和互斥，且，，则 A. 0.5 B. 0.1 C. 0.7 D. 0.8 3. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 4. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 6. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ） A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球 C. 至少有一个白球；红､黑球各一个 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 7. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列命题，其中正确的是（    ） A. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 B. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 D. 向量在向量上的投影向量的模长为 10. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与相互独立 D. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 把一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，其中有次正面朝上，次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 13. 现从甲乙口袋各摸出一个球，如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ，则摸出的两个球至少有1个红球的概率为_________(请用分数表示) 14. 已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为上的动点，则的最小值为________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： （1）两人中只有一人成功破译的概率； （2）密码被成功破译的概率． 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求. 17. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，，分别为，的中点． （1）若点是线段上的点，且，判断点是否在平面内，并证明你的结论； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立周年”知识竞赛．现有、两类问题，竞赛规则如下： ①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束． ②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于个，则“星队”可进入下一轮．已知甲同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．乙同学能答对类中问题的概率为，答对类中问题的概率为． （1）设“甲答对个，个，个问题”分别记为事件、、，求事件、、的概率； （2）求“星队”能进入下一轮的概率． 19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，． （1）若四棱锥的体积为1，求的长； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中高2028届高二上期10月月考数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡规定的位置上，条码要粘贴在条码框内. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色笔迹的签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标运算计算得解. 【详解】因为，所以，所以，，所以，解得，. 故选：C. 2. 已知随机事件和互斥，且，，则 A. 0.5 B. 0.1 C. 0.7 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】由，可求出，进而可求出. 【详解】因为事件和互斥，所以, 则，故. 故答案为A. 【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式，考查了对立事件的概率求法，考查了计算求解能力，属于基础题． 3. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 4. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】连接，如下图所示： 因为为的中点，则， 因为点在上，且，则， 因为， 故选：B. 5. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 6. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（    ） A. 至少有一个白球；都是白球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球 C. 至少有一个白球；红､黑球各一个 D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答. 【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是； 对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是； 对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是； 对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是. 故选：C 7. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则得到，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律建立方程求解即可. 【详解】由向量加法法则可得， 所以. 因为，，且，是棱上的两点，所以，，即，. 又二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 因为，，， 所以，即， 整理得，解得. 因为线段长度为正，所以. 8. 如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果. 【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，， 则，， 由得，即， 由于，所以，， 所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段， 由图知：， 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 给出下列命题，其中正确的是（    ） A. 已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 B. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 D. 向量在向量上的投影向量的模长为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的基础应用，结合点到直线的距离计算、空间基底的判定、空间点的对称变换、投影向量模长计算，逐一验证各选项即可. 【详解】对于A，由已知条件可得，，所以，， ，所以， 因此点到直线距离公式为，故A错误； 对于B，空间基底要求三个向量不共面（线性无关），由于，说明三个向量线性相关、共面，不能作为空间基底，故B错误； 对于C，空间中点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标、竖坐标取相反数，故的对称点为，故C正确； 对于D，向量在上投影向量的模长为，计算得，，故模长为，故D正确. 10. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与相互独立 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用古典概型来计算各事件概率，利用独立事件的定义，利用对立事件概念即可判断各选项. 【详解】对于A，事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为， 事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，显然得到点数为时， 事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，故A错误； 对于B，事件A为“得到的点数为奇数”， 事件B为“得到的点数不大于4”， 故得到点数为，表示事件发生，即，故B正确； 对于C，由事件A为“得到的点数为奇数”，则， 事件C为“得到的点数为质数”， 则， 而得到点数为，表示事件发生，即， 此时，所以事件与事件不相互独立，故C错误； 对于D，而得到点数为，表示事件发生，即， 所以，故D正确， 故选：BD. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 把一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，其中有次正面朝上，次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 【答案】## 【解析】 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，结果只有两种，正面朝上和反面朝上， 且两种结果出现的可能性相同， 所以掷一次硬币正面朝上的概率是． 13. 现从甲乙口袋各摸出一个球，如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ，则摸出的两个球至少有1个红球的概率为_________(请用分数表示) 【答案】 【解析】 【分析】先求出至少有1个红球的对立事件的概率，然后利用对立事件概率的性质计算即可. 【详解】至少有1个红球的对立事件是两个都不是红球，那么求出两个都不是红球的概率即可； 两个都不是红球的概率为，至少有1个红球的概率. 故答案为：. 14. 已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将立体图形中线段和的最值问题转化为展开后平面图形的线段最值问题求解即可，也可以借助空间直角坐标系求解. 【详解】方法一：如图1，连接. 因为正四棱柱的底面边长为1，侧棱， 所以，所以. 由正四棱柱的结构知，即，四边形为矩形. 将平面沿展开至平面，点至点，如图2. 则的最小值即的长度. 在中，， 由余弦定理得. 故答案为：. 方法二：如下图，建立空间直角坐标系： 则， 因为为上的动点，由可知， 所以可设， 所以， 所以， 令，则即， 求最小值即求平面直角坐标系中，点到点的距离之和的最小值， 如下图，作点关于x轴的对称点， 则所求最小值为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： （1）两人中只有一人成功破译的概率； （2）密码被成功破译的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件乘法概率公式和互斥事件的概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件乘法概率公式和对立事件的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B， 则，， 设“甲乙只有一人破译出密码”为事件C，则， 故两人中只有一人破译出密码的概率为. 【小问2详解】 密码未被破译的概率为， 密码被成功破译的概率为． 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解； （3）根据夹角公式结合数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 如图，连接， 因为， 在中，根据向量减法法则可得， 因为底面是平行四边形， 所以， 因为且， 所以， 又因为为线段的中点， 所以， 在中，； 【小问2详解】 因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是， 所以， ， ， 由（1）可知， 所以在平行四边形中，， ， 所以，故对角线的长为； 【小问3详解】 因为， 所以 . 17. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，，分别为，的中点． （1）若点是线段上的点，且，判断点是否在平面内，并证明你的结论； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）点在平面内，证明如下： 连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 又，得，， 所以， 所以、、、四点共面，即点在平面内． （2） 【解析】 【分析】（1）连接、交于，连接，以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出、、，即可得到，从而得到、、、四点共面，即可得证； （2）利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， 设平面的法向量，由，得， 令，则，，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立周年”知识竞赛．现有、两类问题，竞赛规则如下： ①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束． ②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于个，则“星队”可进入下一轮．已知甲同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为．乙同学能答对类中问题的概率为，答对类中问题的概率为． （1）设“甲答对个，个，个问题”分别记为事件、、，求事件、、的概率； （2）求“星队”能进入下一轮的概率． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件的概率公式可求得的值，利用独立事件的概率公式可求得、的值； （2）设“乙同学答对个、个问题”别记为事件、，计算出、的值，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 解：甲同学能答对类中问题的概率为，能答对类中问题的概率为， ，，． 【小问2详解】 解：设“乙同学答对个、个问题”别记为事件、， 乙同学能答对类中问题的概率为，答对类中问题的概率为． ，， 设事件表示““星队”能进入下一轮”， ， 故“星队”能进入下一轮的概率为． 19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，． （1）若四棱锥的体积为1，求的长； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，连接，根据面面垂直得性质可得底面，设，求出，再根据锥体的体积公式即可得解； （2）取的中点，连接，则，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 如图，过作于，连接， 因为侧面底面，且侧面底面面， 所以底面， 设，因为， 所以， 在菱形中，，则为等边三角形， 则， 所以四棱锥的体积， 解得； 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， ，令，得， 则， 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $