专题03 导函数与原函数性质研究（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦导函数与原函数性质研究专题，涵盖图像关系、奇偶性对称性等核心考点，通过知识脑图搭建体系，考点分层突破，题型分类探究，辅以新题对点练与优题精练。 清单以考点深研与素养进阶为特色，基础梳理自主夯基，如导函数正负与原函数单调性关系，素养进阶提炼解题范式，如“原奇导偶、原偶导奇”规律推导，培养数学思维与应用意识。设高考母题探究与变式训练，标注易错点，助力学生自主复习，教师可据此精准指导，提升备考效率。

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03导函数与原函数性质研究 ----------------------◆》◆------ 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 考点01原函数与导函数的图像关系 。基础梳理·自主夯基 考点02原函数与导函数的奇偶性、对称性关系 @3素养进阶·答题技法突破一一提炼解题范式，是升答题素养 高考解密·母题探究 题型02原函数与导函数的奇偶性关系 题型O3导函数判断单调性结合奇偶性解不等式 题型01原函数与导函数图像关系 题型04根据导函数的奇偶性求解析式 题型05根据导函数构造原函数 ◎4优题精练•专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用 ----◆》父)◆----- 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识脑图核心脉络搭建 导函数正负决定原函数升降：导函数在x轴上方则原函数递增，下方 则递减 考点一：原函数 与导函数的图像 导函数零点与原函数极值点：零点两侧符号相反才是极值点；由正 变负为极大值，由负变正为极小值；符号不变则不是极值点 关系 导函数绝对值反映原函数变化快慢：绝对值越大原函数越陡峭，越 小越平缓 原函数奇则导函数偶，原函数偶则导函数奇 考点二：原函数 原函数轴对称则导函数中心对称，原函数中心对称则导函数轴对称 导函数与原函 与导函数的奇偶 导函数奇则原函数为偶函数，导函数偶则原函数为奇函数加常数 数性质研究 性、对称性关系 导函数关于直线对称则原函数关于点中心对称，导函数关于点中心 对称则原函数关于直线对称 看导函数图像判断原函数：只看导函数正负，高低与升降无关；极 值点对应导函数零点且两侧符号相反 奇偶性结合单调性解不等式：先用导数定单调性，再用奇偶性化为 同一单调区间比较 综合要点 根据导函数奇偶性求解析式：先求导函数解析式，再积分还原原函 数，注意加常数 构造原函数：将导函数与原函数的不等式整理为某辅助函数的导数 形式，判断单调性后解不等式或求参 儿考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基 一一核心必记 。考点01原函数与导函数的图像关系 可以通过导函数的图像推断原函数的单调性、极值、凹凸性等特征，也可以由原函数的图像判断导函数的 正负与零点。这一考点是导数应用的基础，也是高考中的常见题型。 1.导函数正负与原函数单调性 (1)若在区间I上恒有f(x)>0(≥0)，则f(x)在I上单调递增，图像呈上升趋势： (2)若在区间I上恒有f(x)<0(≤0)，则f(x)在I上单调递减，图像呈下降趋势： (3)若在区间I上恒有f(x)=0,则f(x)在I上为常数函数，图像为水平直线。 因此，观察导函数图像在轴上方还是下方，即可判断原函数的升降。导函数图像在X轴上方的区间，原 函数递增；在X轴下方的区间，原函数递减。 2.导函数零点与原函数极值点 2/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 导函数的零点（即f(x)=0的点）是原函数可能出现极值的位置，但并非所有零点都是极值点： (1)若导函数在零点处由正变负（即图像从x轴上方穿到下方），则原函数在该点处由增变减，取得极大 值； (②)若导函数在零点处由负变正（即图像从X轴下方穿到上方），则原函数在该点处由减变增，取得极小 值： (3)若导函数在零点处符号不变（即图像穿过X轴但两侧同号，或仅触碰x轴），则该点不是极值点，原 函数在该点处单调性不变。 3.导函数绝对值与原函数增减快慢 导函数的绝对值大小反映原函数变化的快慢：|f(x)|越来越大，原函数图像在该点附近越陡峭，变化越 快；|f(x)|越来越小，原函数图像在该点附近越平缓，变化越慢；导函数为0处，原函数图像切线水平。 4导函数的单调性与原函数的凹凸性 导函数f(x)本身的单调性，对应原函数f(x)的凹凸性：若f(x)单调递增，则fx)的图像下凸（凹 向上)，曲线开口向上：若f(x)单调递减，则(x)的图像上凸（凹向下），曲线开口向下；导函数由 增变减或由减变增的分界点，对应原函数的拐点。 这一关系在二阶导数f(x)存在时更为直接：f(x)>0对应下凸，f(x)<0对应上凸。 人35 【新题对点练】（多选）(2026云南模拟预测)已知函数f(四的定义域为2'2， f(田是函数f田 的导函数，且函数)=(x+f'()的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.当a=3时，f(x)有三个极值点 B.若a=-2,则f(x)的极大值点为-1 c.若f}-,则a-1 3/15 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.若到x,则6l 。考点02原函数与导函数的奇偶性、对称性关系 1、由原函数的奇偶性或对称性推导导函数 (1)若原函数fx)是奇函数，则其导函数f(x)是偶函数：若原函数f(x)是偶函数，则其导函数 f(x)是奇函数。 这一规律的直观理解是：奇函数图像关于原点对称，其切线斜率关于y轴对称，因此导函数为偶函数：偶 函数图像关于y轴对称，其切线斜率关于原点对称，因此导函数为奇函数。 (2)若原函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则其导函数f(x)的图像关于点(a,0)对称。若原函数 f(x)的图像关于点a,b)对称，则其导函数f(x)的图像关于直线x=a对称。 简记为“原轴对称则导中心对称，原中心对称则导轴对称”。 2、由导函数的奇偶性或对称性推导原函数 (1)若导函数f(x)是奇函数，则原函数f(x)中必有一个是偶函数。若导函数f(x)是偶函数，即原函 数可以表示为“奇函数加常数”的形式，此时原函数的图像关于点0，f(0)中心对称。 简记为“导奇原偶，导偶原则为奇函数加常数”。 (2)若导函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则原函数fx)的图像关于点a,f(a)川对称。若导函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称，则原函数fx的图像关于直线x=a对称。 注意：若导函数f(x)的图像关于点(a,b)对称，则无法推断原函数f(x)的图像的对称性。 【新题对点练】（多选）(2026湖南长沙三模)己知函数(x)及其导函数∫(x)的定义域均为R,若 f(2)=3 函数x+和(+2均为函数，则() A.f(0)=0 B.f(x+4)=f(x) C.函数（四）的图象关于点B0对称 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 素养进阶•答题技法突破 考点聚焦·解法深研 一一核心归纳 。题型01原函数与导函数图像关系◇ 悟解题关键 看导函数图像判断原函数： 1、导函数由正变负，则原函数先增后减，对应极大值点： 2、导函数由负变正，则原函数先减后增，对应极小值点： 3、导函数恒正（恒负），则原函数整体单调递增（递减）。 注意：导函数图像的“高低”与原函数图像的“升降”无直接关系，只看导函数的正负；原函数的极值 点对应导函数的零点，且该零点左右导函数符号必须相反。 【典例1)(25-26高二下广东广州期末)已知函数()的导函数=( 的图象如图所示，则下列结 论中正确的是() y=f(x) :4x5x6 A.函数)在区间 内单调递减 B.是函数 (的极大值点 C.导图数（因在区问任，）内单调递减 D.。是导函数代的极小值点 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f(x 【典例2】(25-26高三上·北京顺义·阶段检测)已知函数 的导函数)=ax+2x-1yf 的图 象如下图所示，则下列结论中正确的是() A.函数(x)有2个极值点 B.函数f()在区间(-l,)上单调递增 C.3M∈R,对于x∈R,f()>M D M∈R,3x∈R,f(x)<M 【变式1】(25-26高三上安徽六安阶段检测)已知函数f四的导函数f()m(+2x-,f(~的 图象如图所示，则下列结论中正确的是() A.函数f(w在-山，上单调递减 B.函数(x)有两个极值点 C.存在MER,使得fx)≥M成立 D.f()在（-2，)上没有零点 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(2526高=下湖北武汉期末)若儿冈是定义在区间 3,2)上的函数，其图象如图所示，设 f冈的导面数为四，则-fx->0 的解集为() A.（-2,-u1,2)B.H0u(2) c.（-3-2u(0,1) D.l,u@,) 《。题型02原函数与导函数的奇偶性关系念 悟解题关健 1、原函数奇则导函数偶，原函数偶则导函数奇；原函数轴对称则导函数中心对称，原函数中心对称则导 函数轴对称 2、导函数奇则原函数偶，导函数偶则原函数中心对称：若导函数关于直线X=a对称，原函数关于点 a,b中心对称；若导函数关于点a,0中心对称，原函数关于直线X=a对称 【典例1】(26-27高三上江苏南通阶段检测)已知函数儿~)及其导函数（冈的定义域均为R,记 8()=f()若f(2x+3到为偶函数，8(x+为奇函数则下列结论正确的是() A. (四)的图象关于直线=1对称 B.8(冈的图象关于点3,0)对称 c.f(x)是偶函数 D.台 【典例2】(26-27高三上江苏连云港阶段检已知面数/（及其导两数（四的定义域均为R,记 g=,石0-2微.s28-4,h司-0，n)e-<) 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.4 c.5 D.6 【度式】(25-26荷二下河南阶段检测)已知=儿3r是定义该为R的偶通数，f因的导西数 f满是f2+=f2-,则2o28)-() A.5 B.4 C.3 D.2 【变式2】.(2026湖北囊阳模拟预测)已知西数（闪及其导西数（因的定义域均为R,记 8)=f(y,若(+2-=2,8x-1)为偶函数，则下列说法不正确的是() A.f(0)+f()+f(2)=3 B.8(x+4)=g(x) C.f(x+4)=f(x) 。题型03导函数判断单调性结合奇偶性解不等式◇ 悟解题关健 先用导数确定原函数的单调区间，再用奇偶性将不等式化为同一单调区间上的函数值比较，最后脱去函 数符号求解。 【典例1】(25-26高二下四川凉山期末)设R上的可导函数f(x)满足x一2 四>0，且k+2)是偶函数. 若a=f0.5),b=f(og,3),c=f3③)，则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 【奥例2】(2026江苏模拟预测)已知定义在R上的可导商数f(冈满足f)+)-0,且当≥0时. f(✉)k1.若f(2m)+f-m)2m+ ,则m的取值范围是() A.（-0,- B.[-l,+o∞) D. 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26高二下·黑龙江期末)若函数(9)的定义域为R,它的导函数为f'()R,函数 y=xf0-2w和)=∫x+2 都是偶函数，又f0=0,当xe0,时，f>0 成立，则当 x∈[2025,2026) 时，一定有() A.f'(x)>0,且f(x)≥0 B.f'()<0,且f(x)≤0 C.f'(x)>0,且f(x)≤0 D.f'(x)<0,且f(x)≥0 【变式2】(26-27高三上浙江开学考试)已知∫"()为偶函数f(x)的导函数，且f(:,∫(~的定义域均 为R,若对，与(，0)，且<5，都有代)>代西)>0，则下列结论定成立的是（） A.T()<f(f) B.ff-)<ff(-2) c,I()<f(f(2) D.f'(f-)<f(f-2) 令题型04根据导函数的奇偶性求解析式◇ 悟解题关健 利用导函数的奇偶性求导函数的解析式，再根据导函数的解析式反推原函数的性质。注意由导函数的解 析式得原函数解析式时，需加上常数。 【典例1)(2526高三上贵州开学考试)已知定义在R上的函数)的导函数为 f'(x),f(0)=-l,y=f'(x)+2 是偶函数，y=(-3x2-1 奇函数，则下列说法正确的是() A."(0)=1 B.()+f(-x)=2 c.y=f(x+x2+1」 是奇函数 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.不等式f)≥0的解集为，0L+四) 【典例2】(25-26高二下山东济南期中)已知函数f()及其导函数∫'()的定义域都是R,若函数f) 是偶函数，函数8)=f)+ 也是偶函数，则不等式f闭<f6x-) 的解集是() u(ad) 。( （ 【变式1】(2025安微蚌埠三模)已知函数/（四及其导函数（冈的定义城都是R,若函数/儿是偶函 数，"()+e+ 也是偶函数，且f(a>f3a-) 则实数a的取值范围是() A（ B. e (? 。（G 【变式2】(2025江苏南通模拟预测)设定义域为R的函数”=的导函数为”=因，若 f✉)+(+旷也为偶函数，且f2a+4>f(d+）, 则实数a的取值范围是() A.（-0,-HU(3,+w) B.（0-3U(,+o) c.(3) D.（13) ◇题型05根据导函数构造原函数◆ 悟解题关键 由f(x)与f(x)的不等式，构造辅助函数F(x),使其导数恰好等于题设形式，再利用F(x)的符号 判断单调性求参或解不等式。 【典例1)(26-27高三全国一轮复习)函数()是定义在R上的偶函数，其导函数为（冈，且当 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x≤0时，2/()-（④）k0,则不等式f(x-2026)-f-0(x-2026<0 解集为() A.(-∞，2027) B.(2025,2027) C.（-∞，2025)U(2027,+o) D.（-∞，2024)U(2026,+∞) 【奥例2】(25：26商三金国一拾复习)定义在@，+切)上的函数冈的导离数为∫(，且了()<回 则对任意西(0+)，名名，下列不等式中定成立的有（) ①+)f()+fs),@f)*f)空f)+点fG) ③/2)<2*f0,④f)<fs) A.①②③ B.②④ C.②③ D.③ 【变式1】(25-26高=上广东佛山阶段检测)已知定义在R上的奇函数（仅）的图象是一条连续不断的 曲线， (四是的导函数，当x>0时.3f)+(>0,且2)-2 则不等式 (x+13f(x+)>16的解集为() A.(,+o) B.（0,-3U(1,+) c.(3) D.（∞，-u,+) 【变式2】(25-26高=下天津津南期末)已知函数f是定义在（←m,0小U(0,+o) 上的奇函数， f(国是的导通数当>0时，有对"()-3(>0恒成立，且0=2，则不等武 f<2x x2 的解集是() 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（∞-u(0,) B.（l,0u(1,+o) c.（l0u0,1) D.（w,-Ul,+∞) 优题精练•专题实战通关 1.《多选)(2526高二下福建南平期末)已知函数儿因及其导西数（冈的定义域均为R,记 g(-f(冈，若8w为偶两数且f0+2f-2)80)-,则() A.8(2026)=-1 B.8(x+4)=g(x) C.f(x)是奇函数 艺) 2.(多选)(2026河北邢台二模)已知函数 (因及其导西数（的定义域均为R,若2）=3，西 数f(3x+)和(x+2)均为偶函数，则（) A.f'"四=0 B.f'(x+8)=f() C.函数f(x)的图象关于点(3,0)对称 D. r0-3 3。（多选)(25-26高三上四川成都期末)函数f)=m+hr2+cx+de≠0。 的图象如图所示，设 了（是西数儿四的导函数。则下列结论正确的是〈） A.(x)> 的解集是(2,5) B.3a+2b+c=0 12/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Q.x=2时，f八因取得最大值 D.f)f(>0的解集是(，-U,2u(3,5) 4.(2627高三上江苏扬州开学考试)已知函数（因的定义域为0+四），导函数为代因，满足 寸(-f因=(-)e(e为自然对数的底数)，且0=0， 则下列说法正确的是() A.3f(2)>2f(3) B.f()在x=1处取得极大值 C.存在唯一的实数使得f()=2 。(25-26高二下重庆阶段检测)己知因是定义在Q+w)上的西数，其导西数是(，且当>0 时总有(f因，且f2)=2,则不等式x 的解集为() A.(0) B.(02) c.(1+o) D.(2,+∞) 6.(2526高=下四川南充期末)已知函数/（因的导函数为代冈，若对任意的eR,邾有 f>f,且0)=2026，则不等式/)-2026e<0 解集为() A.(0,+∞) B.（-o,0) 7.(25.26高二下重庆阶段检己知定义在←，0U(0+)上的偶西数f的导函数为（似，且 f)=2,当x>0时，(x)+2f()>0,则使得f(x)>成立的x的取值范围是(） A.(,+o) B.（1,0U(0,) c.（-0,-U(1,+∞) D.（∞，-u(0,1) 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(2026重庆洽中模拟预测)设定义在R上的函数（④的导函数为（冈，若儿）-f✉>0，且 -e,则不s小 的解集为() A.（-,e) B.(e,+) c.(0e) D.(0,e) 9.《多选)(2526高二下贵州贵阳阶段检)已知函数④的导函数'=∫代的图象如图所示，则 下列结论中错误的是() y=f(x) A.函数在区间，）上单调递减 B.函数（冈在=处取得极大位 C.导函数)在区间，)上单调递减 D.导西数儿刊在=无处取得极小值 10.(多选)(26-27高三上河北沧州开学考试)定义在R上的函数f()的导函数为∫'()，若对于任意 实数x,都有2f四+f'(,=2,且f0)=0,则() A.曲线y=f()在点(0，f(O》处的切线方程为y=2x B.函数 F(x)=ef(x) 为偶函数 e不等式ef2<0m解类为0n2) D.若方程)-(-=0有两个根，5<6)，则5 +x2>2a 14/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15/15专题03 导函数与原函数性质研究 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 原函数与导函数的图像关系 考点02 原函数与导函数的奇偶性、对称性关系 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 原函数与导函数图像关系 题型02 原函数与导函数的奇偶性关系 题型03 导函数判断单调性结合奇偶性解不等式 题型04 根据导函数的奇偶性求解析式 题型05 根据导函数构造原函数 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 原函数与导函数的图像关系 可以通过导函数的图像推断原函数的单调性、极值、凹凸性等特征，也可以由原函数的图像判断导函数的正负与零点。这一考点是导数应用的基础，也是高考中的常见题型。 1. 导函数正负与原函数单调性 （1）若在区间 上恒有 ，则 在 上单调递增，图像呈上升趋势； （2）若在区间 上恒有 ，则 在 上单调递减，图像呈下降趋势； （3）若在区间 上恒有 ，则 在 上为常数函数，图像为水平直线。 因此，观察导函数图像在 轴上方还是下方，即可判断原函数的升降。导函数图像在 轴上方的区间，原函数递增；在 轴下方的区间，原函数递减。 2. 导函数零点与原函数极值点 导函数的零点（即 的点）是原函数可能出现极值的位置，但并非所有零点都是极值点： (1)若导函数在零点处由正变负（即图像从 轴上方穿到下方），则原函数在该点处由增变减，取得极大值； (2)若导函数在零点处由负变正（即图像从 轴下方穿到上方），则原函数在该点处由减变增，取得极小值； (3)若导函数在零点处符号不变（即图像穿过 轴但两侧同号，或仅触碰 轴），则该点不是极值点，原函数在该点处单调性不变。 3. 导函数绝对值与原函数增减快慢 导函数的绝对值大小反映原函数变化的快慢：越来越大，原函数图像在该点附近越陡峭，变化越快；越来越小，原函数图像在该点附近越平缓，变化越慢；导函数为 处，原函数图像切线水平。 4. 导函数的单调性与原函数的凹凸性 导函数 本身的单调性，对应原函数 的凹凸性：若 单调递增，则 的图像下凸（凹向上），曲线开口向上；若 单调递减，则 的图像上凸（凹向下），曲线开口向下；导函数由增变减或由减变增的分界点，对应原函数的拐点。 这一关系在二阶导数 存在时更为直接： 对应下凸， 对应上凸。 【新题对点练】（多选）（2026·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．当时，有三个极值点 B．若，则的极大值点为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据函数的图象确定其零点，结合图象确定为正为负的解集判断AB；求出及其零点，进而求出参数值判断CD. 【详解】观察图象，得函数的零点为， 对于A，当时，，而，则， 由，得或；由，得或， 因此是的极小值点，0是的极大值点，函数有三个极值点，A正确； 对于B，当时，，由图象得当时，， 当时，，函数的极大值点为，B正确； 对于C，由，求导得，由，得或或， 因此，解得，C错误； 对于D，由，求导得，由，得或或， 因此或，解得或，D错误. 考点02 原函数与导函数的奇偶性、对称性关系 1、由原函数的奇偶性或对称性推导导函数 （1）若原函数 是奇函数，则其导函数 是偶函数；若原函数 是偶函数，则其导函数 是奇函数。 这一规律的直观理解是：奇函数图像关于原点对称，其切线斜率关于 轴对称，因此导函数为偶函数；偶函数图像关于 轴对称，其切线斜率关于原点对称，因此导函数为奇函数。 （2）若原函数 的图像关于直线 对称，则其导函数 的图像关于点 对称。若原函数 的图像关于点对称，则其导函数 的图像关于直线 对称。 简记为“原轴对称则导中心对称，原中心对称则导轴对称”。 2、由导函数的奇偶性或对称性推导原函数 （1）若导函数 是奇函数，则原函数 中必有一个是偶函数。若导函数 是偶函数，即原函数可以表示为“奇函数加常数”的形式，此时原函数的图像关于点 中心对称。 简记为“导奇原偶，导偶原则为奇函数加常数”。 （2）若导函数 的图像关于直线 对称，则原函数 的图像关于点 对称。若导函数 的图像关于点 对称，则原函数 的图像关于直线 对称。 注意：若导函数的图像关于点 对称,则无法推断原函数的图像的对称性。 【新题对点练】（多选）（2026·湖南长沙·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】BD 【分析】根据是偶函数得出函数关于轴对称，即，两边求导得出导函数关于点中心对称；为偶函数，则，得出，由中心对称得出，进而得出，故是周期为4的周期函数；再根据上述性质求出判断选项A；由周期性判断选项B；由的性质判断选项C；求出一个周期内的和，再利用导函数的周期性计算判断选项D． 【详解】是偶函数，则，两边对求导得， 则导函数关于点中心对称，令，得， 为偶函数，则， 则导函数关于轴对称，故， 由中心对称性，， 联立可得， 令，则， 则，故是周期为4的周期函数； 选项A：由，令得， 已知，故，故A错误； 选项B：是周期为4的周期函数，故，故B正确； 选项C：关于轴对称，无法证明关于点中心对称，故C错误； 选项D：，，，， 一个周期内的和为：， 又，， 故，故D正确． 素养进阶·答题技法突破 题型01 原函数与导函数图像关系 看导函数图像判断原函数： 1、导函数由正变负，则原函数先增后减，对应极大值点； 2、导函数由负变正，则原函数先减后增，对应极小值点； 3、导函数恒正（恒负），则原函数整体单调递增（递减）。 注意：导函数图像的“高低”与原函数图像的“升降”无直接关系，只看导函数的正负；原函数的极值点对应导函数的零点，且该零点左右导函数符号必须相反。 【典例1】（25-26高二下·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间内单调递减 B．是函数的极大值点 C．导函数在区间内单调递减 D．是导函数的极小值点 【答案】D 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增，故A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，由图象可知导函数在区间内单调递增，故C错误； 选项D，由图象可知导函数在区间内单调递减，导函数在区间内单调递增， 所以是导函数的极小值点，故D正确. 【典例2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数的导函数，的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数在区间上单调递增 C．，对于 D． 【答案】D 【分析】根据给定图象，求出函数的单调区间及极值、最值情况，再逐项判断得解. 【详解】观察图象知，当时，；当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 对于A，是函数的唯一极值点，且为极大值点，A错误； 对于B，，函数在区间上单调递减，B错误； 对于C，，函数值域为，因此不存在， 使得对于，C错误； 对于D，由选项C知，函数值域为，，D正确. 故选：D 【变式1】（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）已知函数的导函数，的图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A．函数在上单调递减 B．函数有两个极值点 C．存在，使得成立 D．在上没有零点 【答案】C 【分析】结合函数的图象，根据导函数与函数的单调性、极值的关系确定函数的单调性和极值，由此可判断A、B、C， 再结合零点存在性定理判断D. 【详解】观察图象可得当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，且仅在时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数有一个极值点，故B错误， 对于C，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以取为小于等于的常数，则有恒成立，故C正确 ； 对于D，函数在区间上单调递增，但由于无法确定和的正负， 所以无法判断零点情况，故D错误； 故选：C. 【变式2】（25-26高二下·湖北武汉·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则不等式的解集等价于两种情况： 或， 由图象可知，区间上，函数单调递减，： 区间上，则乘积为负，不满足； 区间上，则乘积为正，满足条件； 区间上，函数单调递增，： 区间上，则乘积为负，不满足； 区间上，则乘积为正，满足条件； 区间上，函数单调递减，，且，乘积为负，不满足； 综上，满足的解集为， 则，解得； ，解得， 故的解集． 题型02 原函数与导函数的奇偶性关系 1、原函数奇则导函数偶，原函数偶则导函数奇; 原函数轴对称则导函数中心对称，原函数中心对称则导函数轴对称 2、导函数奇则原函数偶，导函数偶则原函数中心对称；若导函数关于直线 对称，原函数关于点 中心对称；若导函数关于点 中心对称，原函数关于直线 对称 【典例1】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是偶函数 D． 【答案】B 【分析】由的偶函数条件得到的对称关系并求导判断B，再用反例排除A、C、D. 【详解】因为为偶函数，所以. 令，则，所以，即. 两边关于求导，得. 又，所以，即， 因此的图象关于点对称，B正确. 为排除A、C、D，取，则为偶函数， 且为奇函数，满足题设条件. 此时，，所以的图象不关于直线对称，A不正确. 又，所以不为偶函数，C不正确. 当时，依次为，并以为周期. 因为，所以，D不正确. 【典例2】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则（  ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据为偶函数，可得，两边求导后可得，令，得，令，得；由，可得的周期为6，进而得，从而可得答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 两边同时求导得，即， 所以，即， 令，得， 令，得，又因为，所以， 由，所以， 所以的周期为6，则， 而，所以， 所以. 【变式1】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】首先根据偶函数的定义推导的关系式，对关系式两边求导得到满足的奇偶性相关等式；再结合导函数的轴对称条件推导的周期，最后利用周期与特殊点的导数值计算即可. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即， 两边求导，可得：，可得． 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替，可得. 将代入中，可得①． 用代替可得②． 由②-①可得：. 所以是周期为8的周期函数. 所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得，所以，即．故选C． 【点睛】方法归纳：本题为函数性质综合应用的典型题型，可记忆通用结论：可导偶函数的导函数为奇函数，可导奇函数的导函数为偶函数；若函数满足，则函数图象关于直线对称；若函数同时满足对称性与奇偶性，可推导得到函数的周期，利用周期可将大自变量的函数值转化为已知的小自变量函数值求解. 【变式2】．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断. 【详解】对于A选项：令，则； 令，则，所以，故A正确； 对于B选项：因为， 两边求导，得，即，即； 因为为偶函数，所以， 所以，故成立，故B正确； 对于C选项：因为， 所以，（为常数） 未必为0，故C错误； 对于D选项：因为， 令，则，故D正确. 题型03 导函数判断单调性结合奇偶性解不等式 先用导数确定原函数的单调区间，再用奇偶性将不等式化为同一单调区间上的函数值比较，最后脱去函数符号求解。 【典例1】（25-26高二下·四川凉山·期末）设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据导数不等式确定的单调性，再由是偶函数推出的对称轴为，比较三个自变量到对称轴的距离即可判断函数值大小. 【详解】由，可得当时，，故，在上单调递增； 当时，，故，在上单调递减； 因为是偶函数，故对任意实数有，即的图象关于直线对称， 因为，结合的单调性与对称性可知，自变量到对称轴距离越大，函数值越大， 故，即. 【典例2】（2026·江苏·模拟预测）已知定义在上的可导函数满足，且当时，．若，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，对函数求导并利用导函数符号以及函数奇偶性得出函数的单调性，将不等式变形利用其单调性解不等式即可. 【详解】可知函数为奇函数， 令，则， 当时，，即，也即； 可知函数在时单调递减， 且满足，因此可得为奇函数， 根据奇函数性质可知在上单调递减， 由可得， 即，因此，解得； 因此的取值范围是. 【变式1】（25-26高二下·黑龙江·期末）若函数的定义域为，它的导函数为，函数和都是偶函数，又，当时，恒成立，则当时，一定有（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性、对称性以及周期性，分析导函数和原函数的单调性，即可得到结果. 【详解】因为是偶函数，且是奇函数， 所以是奇函数，即， 由此可得的图象关于点对称，所以， 所以， 两边求导得，，即， 则的图象关于直线对称， 因为，所以， 又因为是偶函数， 所以函数的图象关于直线对称， 即的图象关于点对称， 又因为，所以，， 由此可得，函数是周期为的周期函数， 当时，， 由时，，关于对称， 可得时，，， 所以，又， 所以时，， 由时，，单调递增且， 所以时，， 所以由的图象关于点对称，可得当时，， 又函数是周期为的周期函数，所以当时，； 综上，时，，且. 【变式2】（26-27高三上·浙江·开学考试）已知为偶函数的导函数，且，的定义域均为，若对，，且，都有，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数导函数是奇函数，判断、的单调性，再比较自变量大小判断选项. 【详解】因为为偶函数，所以，故，所以为奇函数，且，因为对，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又为偶函数，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减， 可得在上单调递减，可得，所以，A错误； 因为，但不能确定和的正负，所以不能确定和的大小关系，B错误； 因为，在上单调递减，所以，C正确； 因为，在上单调递减，所以，D错误，故选C． 【点睛】偶函数的导数为奇函数，借助奇偶性可由一侧单调性直接推出另一侧单调性. 题型04 根据导函数的奇偶性求解析式 利用导函数的奇偶性求导函数的解析式，再根据导函数的解析式反推原函数的性质。注意由导函数的解析式得原函数解析式时，需加上常数。 【典例1】（25-26高三上·贵州·开学考试）已知定义在上的函数的导函数为是偶函数，是奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是奇函数 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】由为奇函数，求得，令，可判定A正确；当时，，可判定B不正确；令，由是偶函数，得到，得到，可判定C正确；联立方程组，求得，得到，可判定D不正确. 【详解】对于A中，由为奇函数， 可得，即， 令，可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，当时，，所以B不正确； 对于C中，令，可得， 因为是偶函数，所以为偶函数，即， 则，而，故即, 故即为奇函数，所以C正确； 对于D中，因为是偶函数，可得， 即，联立方程组，可得， 又因为，可得， 令，即，解得，即不等式的解集为，所以D不正确. 故选：AC. 【典例2】（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得，再求导并利用基本不等式可判断的单调性，解不等式可得结果. 【详解】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 又是偶函数， 则， 可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得， 则不等式的解集是. 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为减函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则在上恒成立， 所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数， 故当时，，所以，函数在上为减函数， 由可得， 即，解得或. 故选：D. 【变式2】（2025·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令，判断的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为为偶函数， 所以，所以， 令， 因为为偶函数， 则，即， 即， 所以， 当时，，即在上单调递减，则在上单调递增， 由，即， 所以，即，解得或， 即实数的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，从而推导出，即可得到函数的单调性. 题型05 根据导函数构造原函数 由 与 的不等式，构造辅助函数 ，使其导数恰好等于题设形式，再利用 的符号判断单调性求参或解不等式。 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据题意分析的单调性和奇偶性，分类讨论是否为0，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，， 因为，可知函数为的偶函数， 又因为， 当时，， 若，则，即； 若，则，，可得， 可知在内单调递减，则在内单调递增. 对于不等式， 当，即时，可得，符合题意； 当，即时，可得， 即，可得，解得，且； 综上所述：不等式解集为. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，，下列不等式中一定成立的有（    ） ①；②； ③；          ④． A．①②③ B．②④ C．②③ D．③ 【答案】A 【分析】① 利用单调递减，由得两个不等式，分别乘后相加即证；② 将不等式移项整理为，由单调递减判断乘积符号为负，故成立；③ 由 及单调递减得，即成立；④ 取常数函数满足条件，结合条件得出矛盾，故④错误. 【详解】已知定义域上，两边乘正数得. 构造，则，因此在上单调递减. 对①，令，则，由单调递减知 ，， 将第一个式子乘以：，第二个式子乘以：， 相加得，故 ① 成立. 对②，由单调递减，不妨设，则 ， 即，整理得：. 将不等式②移项整理得 ， 因为，且单调递减， 若，则，且，即，乘积为负，不等式成立； 若，则，且，即，乘积为负，不等式成立. 故②成立. 对③，因为，所以，由递减得， 即，故③成立. 对④，取（常数函数），满足，符合题设条件. 取，则，，不成立，故④不成立. 综上，①②③成立. 【变式1】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质即可求解. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为是奇函数，且图象连续不断，所以是偶函数， 由于，所以， 因为等价于，得，解得或， 因此不等式的解集为. 【变式2】（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由题设条件得到函数的单调性，将原不等式转化为 与 、的大小关系，分段讨论解集. 【详解】设，，求导得， 已知时，，且，因此时， 即在上单调递增. 又是奇函数，因此， 故是偶函数，且在上单调递减. 由得，故. 对原不等式 分两种情况讨论： 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在上单调递增，故； 当时，不等式两边同乘，得， 两边同除以，得， 因为在递减，故. 综上，不等式的解集为. 优题精练·专题实战通关 1．（多选）（25-26高二下·福建南平·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】AB 【分析】先求的周期，再求，再举出不是奇函数但是满足题意的函数，最后根据周期性讨论的值. 【详解】由题可知：，由得，对两边求导得：，即得， 所以关于中心对称，所以，因为为偶函数，所以， 根据关于中心对称得，所以，所以， ，所以A正确，B正确； 对于C，令，其导数为偶函数，且满足，，但是不是奇函数，C错误； 对于D，因为，所以，即， 的周期为8，考虑的前八项，其中，，， ， 因为可为任意实数，所以不一定为，所以D错误. 2．（多选）（2026·河北邢台·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（   ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合函数的对称性的性质即可求解A，由周期函数的定义即可求解B，根据原函数与导数的关系即可求解C，根据函数周期性的性质即可求解D. 【详解】因为是偶函数，所以，则， 所以函数的图象关于直线对称， 由两边求导得，得， 令，则，A正确； 因为函数为偶函数，所以， 所以，所以函数的图象关于对称， 所以函数，则， 所以，则，故，B正确； 因为的周期为，且，故， 所以，为常数，因此， 由，所以，则， 由，故，故，即， 所以函数的图象关于直线对称，C错误； 因为，所以，且， 又，所以，则， 综上，， 所以，D正确. 3．（多选）（25-26高三上·四川成都·期末）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（    ） A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是 【答案】BC 【分析】根据图象可得出以及的解集，根据图象的上升下降可得以及的解集.由此可判断A、D项；由图象分析可知，结合极值点代入计算后可判断B项，联立即可得到的关系，代入导函数整理即可判断C项. 【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增， 所以的解集是，故A项错误； 对于B项，因为．又由图象知，函数在处取得极小值，所以有，故B项正确； 对于C项，由图象知，当时，单调递增，则； 当时，单调递减，则，当时，单调递减，则．所以的解集为，的解集为． 又为二次函数，根据二次函数的图象可知． 因为函数在以及处取得极值， 所以有，即，所以， 所以， 因为，所以时，取得最大值，故C项正确； 对于D项，由可得或． 由图象知，当时，． 又的解集为，所以由，可得 由图象知，当时，，又的解集为． 所以由可得． 所以，的解集是，故D项错误． 4．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，导函数为，满足（e为自然对数的底数），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处取得极大值 C．存在唯一的实数使得 D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，结合单调性可得，从而判断A；根据导数运算可设，由，从而可得的值，于是得函数的解析式，求导确定单调性得的极值点即可判断B；根据单调性结合函数确定的根是否唯一即可判断C；根据单调性确定函数值大小即可判断D. 【详解】设，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，即，得，故选项A不正确； 可设，可得，所以，所以， 所以，由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故选项B不正确； 又因为，可得函数大致图象如下： 结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确； 由于，而， 所以，故选项D不正确. 5．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，求导可得，再利用单调性解不等式即可． 【详解】设，， 则当时，单调递增， ，即，又， ，解得． 6．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求得且，把不等式转化为，得到，结合单调性，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 7．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知定义在上的偶函数的导函数为，且，当时，，则使得成立的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解即可. 【详解】由题意，设，则， 当时，有，所以当时，， 所以函数在上为增函数， 因为函数是偶函数，所以是偶函数， 由，得，又，所以， 所以，所以，又函数在上为增函数， 所以，解得或，所以成立的的取值范围是. 8．（2026·重庆渝中·模拟预测）设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导可知单调递增. 将不等式转化为，利用单调性得 ，解得. 【详解】设函数，由于， 得，则在上单调递增，， 则，即， 于是，解得． 9．（多选）（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（     ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在处取得极大值 C．导函数在区间上单调递减 D．导函数在处取得极小值 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用与的关系，以及函数极值（点）的定义，结合的图象，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的导函数的图象， 对于A，当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减，所以A错误； 对于B，当时，，在区间上单调递增， 其中，所以在两侧的单调性相同， 则不是函数的极值点，所以B错误； 对于C，由导函数的图象知，在区间上单调递增，所以C错误； 对于D，由导函数的图象知， 在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以是函数的极小值点， 即导函数在处取得极小值，所以D正确. 10．（多选）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）定义在上的函数的导函数为，若对于任意实数，都有，且，则（     ） A．曲线在点处的切线方程为 B．函数为偶函数 C．不等式的解集为 D．若方程有两个根，（），则 【答案】AD 【分析】根据已知，可解得，利用求切线的方法即可判断A；利用奇偶函数的定义可判断选项B；将代入不等式即可求解；利用函数和的图象变化情况及交点情况可判断选项D. 【详解】由得，即. 设，由得，所以. 所以，则. 对于选项A，，，所以曲线在点处的切线方程为，故A正确； 对于选项B，，的定义域为，， 又，所以为奇函数，故B错误； 对于选项C，由得，即，所以，即，解得， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D，由得函数在上单调递增，而为开口向上，且对称轴为的二次函数. 由方程有两个根，（）可知满足. 设的两个交点为，则，且. 又在上单调递增，所以，则， 即，所以，故D正确. $