专题特训7 相似三角形中的分类讨论问题&专题特训8 相似三角形与其他知识综合-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）九年级上 专题特训七 相似三角形中的分类讨论问题 类型一因相似三角形的对应元素不确定而引起分类讨论 1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8,AD=3,BC=4,P为边AB上的一个 动点，连接PD,PC.若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在锐角三角形ABC中，P是边AB上异于A,B的一点，过点P作直线截△ABC,所截得 的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线最多有 条 3.将三角形纸片（△ABC)按如图所示的方式折叠，使，点B落在边AC上，记为点B',折痕为EF. 已知AB=AC=3,BC=4.若△B'FC与△ABC相似，则BF的长是 类型二因位似图形或位似中心的不确定而引起分类讨论 4.[2025金寨期末]如图，在平面直角坐标系中，已知点E(一4,2)，F(一2，一2)，若△OEF与 △OE'F关于点O位似，S△oF:S△oEr=4:1,则点F的对应点F的坐标为 () A.(-1,-1) c克)成32加(-1.-1D减1w y个 0 (第4题) (第5题) 5*如图，直线y=3x+1与x轴、y轴分别交于A,B两点，△BOC与△B'OC'是以点A为位似 中心的位似图形，且相似比为)，则点B'的坐标为 6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(4,0),B(8,2),C(6,4).已知 △A1BC1的两个顶点坐标分别为(1,3)，(2,5).若△ABC和△A1B,C1位似，试画出 △A1B1C1,并写出第三个顶点的坐标. (第6题) 68 >“答案与解析”见P41 第三章图形的相似 专题特训)八相似三角形与其他知识综合 类型一相似三角形与函数知识综合 1.如图，ABCD,AC,BD交于点E,过点E作EF∥AB交BC于点F.已知AE=BC,CE=3.设 CF=x,AE=y. (1)求y关于x的函数表达式. (2)若CF=2,AB=8,求CD的长， (第1题) 2图，-次丽数y=-}十3与丽数y十的图架交于点4且与r箱y轴交于点日，D, 函数y=专十的图象与上轴轴交于点C.E。 16 (1)求点C,D,A的坐标. (2)能否说明△ECO与△BDO相似？ (3)动点P从点C出发沿射线CA以每秒4个单位长度的速度运动.同时，动点Q从点D出发 沿射线DB运动，且始终保持OP⊥OQ.设运动时间为t秒(t>O). ①△PC)与△QDO相似吗？请说明理由. ②求动点Q的运动速度。 ③设△APQ的面积为S,求S与t的函数关系式. 4 16 /炉3x+号 E D B Y=- 4x+3 (第2题) 类型二相似三角形与其他学科综合 3.某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜的成像规律，现将该实验的光路图抽象为如图所示的 数学几何图形，实物蜡烛AC发出的光线CE平行于直线AB,光线CE经过凸透镜MN后，经过 焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D,其中四边形AOEC是矩形，DB⊥AB,MN⊥AB. (1)将长为8cm的蜡烛AC进行移动，使物距OA为30cm,光线CO传播方向不变，移动光屏， 直到光屏上呈现一个清晰的像BD,测得此时的像距OB为12cm,求像BD的长度 69 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 (2)在(1)的条件下，已知光线CE平行于主光轴l,经过凸透镜MN折射后通过焦点F,求凸透 镜焦距OF的长、 (第3题) 4.[2025清远连州期末]为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力 表，但两面墙的距离只有3m.在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何 放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两名同学设计方案新颖，构思巧妙 甲 乙 A 0.035 图 例 5m B (第4题①) (第4题②) 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图②， 在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面 如图①所示为测试距离为AB=5m的大 镜(MN),由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整 视力表，可以用硬纸板制作一张测试距离 人的位置，使得视力表AB的上、下边沿A,B发出的 方案为AD=3m的小视力表.通过测量大视 光线经平面镜MN的上、下边沿反射后射人人眼处，通 力表中“E”的高度(BC的长)，即可求出小 过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN 视力表中相应的“E的高度(DF的长). (CE=5m,光路图作法：作CD⊥MN于点D,延长线 交A'B于点E,使得线段AB和A'B'关于MN对称). (1)甲的方案中，如果大视力表中“E”的高是0.035m,那么小视力表中相应“E”的高是多少米？ (2)乙的方案中，当视力表的全长(AB)为1.6m时，求平面镜MN的长. 70 >“答案与解析”见P41专题特训七相似三角形中的分类讨论问题 1.C∠B=90°，AD∥BC,.∠A=180°-∠B=90°. .∠A=∠B=90°.设AP=x,则BP=8一x.若边AB上 存在点P,使△PAD与△PBC相似，则分两种情况讨论： ①若△APD∽△BPC,则AP:BP=AD:BC,即x: (8-x)=3:4,解得x=头.②若△APDD△BCP,则 AP:BC=AD:BP,即x:4=3：(8-x),解得x=2或 x=6.综上所述，满足条件的点P的个数是3. 2.4如图①，作PEBC,则△AEP∽△ACB;如图②，作 PE∥AC,则△BPEC∽△BAC;如图③，作PE,使AE: AB=AP:AC,则△APE∽△ACB:如图④，作PE,使 BP:CB=BE:AB,则△BPE∽△BCA P ② ③ ④ (第2题) 3.号或2根据△BTC与△ABC相似时的对应关系，分 两种情况讨论：①当△B'FC∽△ABC时，BF-_FC AB一BC,由折 叠，得B'F=BF.又AB=AC=3,BC=,BF 二F,解得F=号.@当△BCFO△BCA时，背 ”BA C:四-解得球=2综上所述，的长是 号我2 4.D:△OEF与△OEF'关于点O位似，S△or: SaFr=4:1,△OEF△0EF,相似比为号，即 △OE'F与△OEF的相似比为2.：F(-2,-2),当 点F'在第三象限时，F‘(一1，一1).根据对称性，可知当点 F在第一象限时，F(1,1),∴.满足条件的点F的对应点 F'的坐标为(-1，一1)或(1,1). 53.2)或(-9.-2)：直线y=号x+1与x轴y轴 分别交于A,B两点，∴.令x=0,得y=1,令y=0,得x= 一3..点A和点B的坐标分别为(-3,0)，(0,1). .OA=3,OB=1.:△BOC与△B'OC是以点A为位 似中心的位议图形，且相似比为子一-侣-日 31 即OB=AO=20B'=2,A0'=6.当点B'在第 一象限时，点B的坐标为(3,2)；当点B'在第三象限时，点 B'的坐标为（一9，一2）.综上所述，点B'的坐标为(3,2)或 (-9,-2) 方法归纳 位似变换对应的坐标变化规律 规律一：关于原，点对称的位似图形对应点横、纵坐 标的绝对值的比=相似比 规律二：对应点到位似中心的距离（可分解为横向 距离、纵向距离)之比=相似比. 6.如图①②，△A1B1C1即为所求作.第三个顶点的坐标 分别为(3,4)，(0,4). ① 0 ② (第6题) 专题特训八相似三角形与其他知识综合 1.(I):EF∥AB交BC于点F,∴.△EFC∽△ABC. .CR-GB:AE=BC.CE=3.CF=.AF=y. 3z(0<x<3).(2)当x=CF= 2时y=AE=3产=6.：AB/CD.△ABE △CDE思是：AB=8g名CD= 2（①)：函数y=专十的图象与x轴交于点C当 4 y=0时，号x十9=0，解得x=-4点C的坐标为 (一4.0.”一次函数y=一圣x十3的图象与y箱交于 点D,.当x=0时，y=3.∴.点D的坐标为(0,3).解方 3 4x+3, 28 x=- 251 程组 得 .点A的坐标为 416 96 y= 3x十3 y=25' (一器碧》.2)能：函数y=- 4x+3的图象与 x轴交于点B,∴.当y=0时，x=4.点B的坐标为(4， 0以：函数y=专十的图象与y销交于点E点E 4 的坐标为(0,9).在△EC0与△BD0中，：OE:OB= 16 3 :4=4:3,0C:OD=4:3,..OE OB=OC OD. 又，∠EOC=∠BOD=90°，.△ECO∽△BDO. (3)①△PCO与△QDO相似.理由：：∠COE=∠POQ 90°，∴.∠COE-∠POE=∠POQ-∠POE,即∠COP= ∠DOQ.由(2)知△ECOn△BDO,∴.∠PCO=∠QDO.在 △PCO与△QDO中，，'∠COP=∠DOQ,∠PCO=∠QDO. .△P0O△QD0,②△P0On△QD0,:SS, 即。4 即QD=3小QD=3.·动点Q的运动速度为每秒3个单 位长度. 由题意得，AC=√(4)+（） 24 5 AD=√()+（罗-3）=子.由(2)知，∠P00 ∠QDO,又：∠QDO+∠OBD=90°，∴.易得∠CAB 90.4÷4=号（秒）.当1=号时，△APQ不存在，则分两 种情况：如图O,当0<时AP=AC-CP-生-4. AQ=AD+DQ=5+3,△APQ的面积=2AP·AQ 2(-4)(写+3）=-6r+号+路：如图@.当> 9时，AP=CP-AC=41-2AQ=AD+DQ=子+3， △APQ的面积=号AP·AQ=2(红-)（号+3） -6++(o<号 号+号 16 D B 0 3 y=- x+3 4 ① y x+ /3 16 3 E P A 0 t+3 3 y- ② (第2题)》 3.(1)由题意可得OB=12cm,AC=OE=8cm,OA= 30cm.AC⊥AB,DB⊥AB,.AC∥BD.∴.△AOC∽ △BO0.部-8器即品-器Bm= 5 cm. (2):OE⊥AB,DB⊥AB,∴.OE∥BD.∴.△EFOC∽ △Fa器-器器- 8 5 12-OF.OF=60 OF 7 cm. 4.(1)由题意知BC⊥AB,DF⊥AD,∴.∠CBA= ∠FDA=90°.又：∠CAB=∠FAD,∴.△CABO AD DF △FAD.AB-BC.由题意知AD=3m,AB=5m, C=6g5m含-。D附5DF=02Im,即小混力 表中相应“E”的高是0.021m.(2)由题意知，ABMN∥ A'B'.:MN∥A'B',CD⊥MN,.CE⊥A'B.:MN∥ A'B'.∴.∠MNC=∠A'B'C,∠NMC=∠B'A'C. △MCon△ABC答-是由题意知CE 5 m,DE=3m.A'B'=AB=1.6 m,..CD=CE-DE=2 m. 谷号MN=a6m平面镜MN长a刷m