专题特训6 相似三角形判定的常考模型-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

3.(5√0-5√2)在正方形ABCD中，AB的长为10cm, 连接PD,∴.AD=AB=10cm.E是线段AD的黄金分 割点(DE>AE),DE=5,1AD=5,1×10= 2 (55-5)cm.:四边形DEPQ是正方形，∴.PE=DE, ∠PED=90.∴.PD=√PE2+DE2=√2DE= √2×(5√5-5)=(5√10-5√2)cm. 4.(1):D是线段AC的黄金分割点，且AD<CD, .AD CD=CD AC.AB=CD..'AD AB= AB:AC.又：∠A=∠A,.△ABD∽△ACB. ∴.∠ADB=∠ABC.(2)由(1)，得△ABD∽△ACB. 0怨：AB=(D器C:D是线段AC CB AC 的黄金分制点，且AD<CDCD=5AC.BD 2 CB 5,BC=4cm5D=(252》cm 5.A取AB的中点E,连接CE,此时CE为中线，AE= BE-号AB-1,由新定义可知需-5，：AB-AC 2,CE=√5-1.设BD=x,则DE=BE-BD=1-x AD=AE+DE=1+1-x=2-x,CD LAB, .在Rt△CDE中，CD=CE2一DE2,在Rt△CDA中， CD2=AC2-AD2..(5-1)2-(1-x)2=22-(2-x)2, 解得x=5-25:BD=5-26 2 2 ®（信≥）”：线段AB的张为1P,是线段AB的蓝 金分制点AP,<B即，BP,=5,AB.:AP, 2 AB-5AB-85,AB=3≥5.：R,是线段 2 AP,的黄金分割点(AP:<P,P)易得AP,=35 2 AP,=(③，5).：卫是线段AP:的黄金分制点AP,< P,P,易得AP=(3,5)）.以此类推，得AP. 3 方法归纳 黄金分割简记法 黄金分割定义中的线段比可简记为长：全=短： 长，如果C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,那么 AC-5 AB.61AB.C5AB. 7.(1)AN=BM,AN⊥BM.,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=DA,∠BAD=∠ADC=90°.又AM=DN, .△ABM≌△DAN...∠ABM=∠DAN,BM=AN.又 :∠BAD=90°，即∠BAN+∠DAN=90°，∴.∠BAN+ ∠ABM=90°..∠ATB=180°-（∠BAN+∠ABM)= 90°..AN⊥BM.综上所述，AN=BM,AN⊥BM. (2).∠ATB=90°，E是AB的中点，∴.TE=BE=AE. ∴.∠EBT=∠ETB,∠EAT=∠ATE.又：∠ABM= ∠DAN,∠ETB=∠DTM,.∠DTM=∠DAN.又 :∠MDT=∠IDA△MDTO△TDA.:0 跃DT=-NMD·AD,:四边形ABCD为正方据， .AB/CD.∴.∠TND=∠EAT.又，∠EAT=∠ATE, ∠ATE=∠DTN,.∠TND=∠DTN.∴.DT=DN.又 ,AM=DN,∴.DT=AM.又DT2=MD·AD, AM-MD·AD.即A把M是线段AD的黄 金分割点. 8.(1)√5.由题知四边形BCNM为正方形，且MN=2, .BC=NC=2,∠NCB=90°.又·矩形MNAF与矩形 FACB全等，.NA=CA=1.在Rt△ABC中，由勾股定理 得AB=√AC2+BC2=√5.(2)四边形BADQ是菱形. 理由：由折叠可知AB=AD,BQ=DQ,∠BAQ=∠DAQ, :BQ∥AD,∴.∠AQB=∠DAQ.∴.∠AQB=∠BAQ. ∴.AB=BQ,即AD=AB=BQ=DQ..四边形BADQ 为菱形.(3)图④中的黄金矩形有矩形BCDE,矩形 MNDE.理由不唯一，如：，AD=AB=√5，AN=AC=1, CD=5-1.N0=6+1.“畏=52矩形 BCDE是黄金矩形 专题特训六相似三角形判定的常考模型 1.连接DE.,点G是△ABC的重心，∴.E,D分别是 AB,BC的中点.∴.DE是△ABC的中位线.∴.DE∥AC, DE DG DE=2AC.·.易得△DEG△ACG.·AC=AG, %形专AD=3G 2:FED.i△AFEn△ADCS-怎 :AP=3AD=5AE=4号-表解得AC-裂 31 2):AC-婴AE-4AD-5AB-空A铝怎 ·ABAC g∠A=∠A△ADEO△AC. 3.(1)如图，在矩形ABCD中，OD=OC,AB∥CD, ∠BCD=90°，∴.∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90°.DE= BE,.∠1=∠2.BE平分∠CBD,.∠1=∠6. ∴.∠3=∠6.∴.∠OFB=∠6+∠5=∠3+∠5=90° ∴.BF⊥AC.(2)与△OBF相似的三角形有△ECF, △BAF,理由：由(1)，可得∠1=∠4.：∠AFB=∠BFO, .△BAF∽△OBF.由(1)，可得∠1=∠3.∠EFC ∠OFB,∴.△ECF∽△OBF.(3)由(2)，得△ECF∽ △0BF话-品：0F=8BF=2号儒 .3CF=2BF①.由(2).得△BAFn△OBF.OF= BF BFBF2=OF·AP..BF2=3(OA+3)②.：在矩 A 形ABCD中，OA=OC=OF+CF,.OA=3+CF③.联 立①②③，可得BF=1+J19(负值舍去)..DE=BE= EF+BF=2+1+J19=3+√19. ✉C 4 NB (第3题) 4.(1),四边形ABCD为正方形，∴.∠A=∠D=90°， AB=BC=CD=AD,AD∥BC.:∠BEF=90°， .∠AEB+∠ABE=∠DEF+∠AEB=90°..∠ABE= ∠DEF.∴.△ABE∽△DEF.(2),AB=BC=CD= AD=4,CF=3FD,.DF=1,CF=3..△ABE∽ △DEr器提E-是E=2AD/ C易得△BDF△CF.8-,即忌=行 3 .CG=6.∴.BG=BC+CG=4+6=10. 5. 思路导引 (1) ∠CPD+∠APB=180°-∠APD ∠BAP+∠APB=180°-∠B ∠APD=∠B AB=AC ∠BAP= ∠CPD ∠B=∠C △ABP∽△PCD CPCD →AB·CD=CP·BP (2) PDI∥AB △ABP∽△PCD △CDP∽△CAB PC_CD 光=器 品-能 器品 代入求BP (3) ∠APD=∠B=∠C ∠PAD=∠CAP △PAD∽△CAP M=P7(C4=6) PA-AD AD=PA 6 PA⊥BC →PA最小→AD最小 (1):AB=AC,∠B=∠C.∠APD=∠B, .∠CPD+∠APB=180°-∠APD=180°-∠B. :∠BAP+∠APB=180°-∠B,.∠BAP+∠APB= ∠CPD+∠APB.∴.∠BAP=∠CPD.∴.△ABP∽△PCD. A-BR÷AB·CD=CP·BP.(2)△ABP∽ △PD,答=品即S=:PD∥AB, i△CDPACAB..e-S-g 部：AB=AC=6,C=8g-那BP=号 (3).·∠APD=∠B=∠C,∠PAD=∠CAP,.△PAD∽ △CP,器架AD-Pg当PA最小时，AD 最小，若PA⊥BC,AD有最小值，此时AP= VAB-BP=√6-4=25AD=20-10 63 6.:D为边BC的中点，.BD=CD.AB=AC, .AD⊥BC,即∠ADB=90°.：∠BAC=120°，AB=AC 4.∠B=∠C=2180°-∠BAC)=30.AD=2. ∴.CD=BD=√AB-AD2=2√3.设AF=m.分情况讨 论：①当点E在线段AB上，点F在线段CA上时， ,AE=4AF,AF=m,∴.AE=4m,CF=4-m.∴.BE 4一4m.由题意，得∠EDF=30°.，∠EDC=∠EDF+ ∠CDF=∠B+∠BED,∠EDF=∠B=30°，∴.∠BED ∠DF.:∠B=∠C△EBD△R.÷8既-80， 后汽解得m5耳我a不合 2 题意，舍去).AF=5一)②团.②如图①.当点E在线段 2 AB上，点F在CA的延长线上时，，AF=m,∴.CF=4十 m.:AE=4AF,∴.AE=4m.∴.BE=4-4m.同①，易得 △EBD△DF.·咒-0即20-Y解得 2√34+m m=一3+1 2 或m=一3，压（不合题意，舍去. 2 ·AF=-3+3.③如图②，当点E在线段BA的延长 2 线上，点F在线段AC上时，，AE=4AF,AF=m, .AE=4m,CF=4-m.∴.BE=4十4m.同①，易得 △EBD△F.5-80每结智把=解得 234-m m=3+3或m=3-)⑧（不合题意，舍去）.AF= 2 2 3+,.综上所述，AF的长为5团或3+国 2 2 2 或3+13 2 E ② (第6题) 3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 1D:AB/CDEF能能故遂项D错误 2.D .AD:DB=2:3,..BD AB=3:5..'DE/ c-胎号Ac-15cE-g 3.6:12儿3,5∥s,且相邻两弦之间的距离相 等，P是弦1上一点，过点P作射线PA,交弦l6于点A, 交装，于点E,AP=105=AE=号AP 3×10=6 4；片DE/BC.EF//AB,AD:DB=3:5, AE 3 CE CF 5 CF 5 E元=5'AEBF=3BC=8· 5..DEBC.∴. DAB-AE+BE-15. AE-1:DFCE需票：AE-EF+ AF=10,.EF=3 10 方法归纳 运用平行线分线段成比例求线段长的方法 先确定图形中的平行线，由此联想到被一组平行线 截得的线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段， 写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出 待求线段的长」 6.A如图，过点C作CE∥AD,交BA的延长线于点E. .∠BAD=∠E,∠ACE=∠CAD.,AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD.∴.∠E=∠ACE.∴.AC=AE.第三章图形的相似 专题特训六相似三角形判定的常考模型 类型一 平行线(A,X)型 模型示例：主要有两种类型：A型（如图①）和X型（如图②），其中X型也可归于旋转型 1.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫作三角形的重心.如图，点G是△ABC的重心.求证： AD=3DG. 2.如图，FECD,AF=3,AD=5,AE=4. (第1题) (1)求AC的长， (2若AB-空求t,△ADEn△AC (第2题， 类型二 翻折（相交线、母子）型 模型示例：主要包含相交线型（含有公共角或对顶角），如图①所示；母子型（相交线的特殊情形），如图②所示 ② 3.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE,AC,BD相交于点O,BE,AC相交于点F. (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由. (3)若OF=3,EF=2,求DE的长， (第3题) 57 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 类型三一线三等（直）角型 模型示例：如图①所示为一线三等角型，如图②所示为一线三直角型（一线三等角的特殊类型）. ① 4.如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF=3FD,∠BEF=90°. (1)求证：△ABE∽△DEF. (2)若AB=4,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长. (第4题) 5.[2025蚌埠期末]如图①，在△ABC中，AB=AC=6,BC=8,P,D分别是边BC,AC上的点，且 ∠APD=∠B. (1)求证：AB·CD=CP·BP. (2)如图②，若PD∥AB,求BP的长 (3)当点P在边BC上运动时，求线段AD长的最小值. 1 2 (第5题) 6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4,取边BC上的中点D,连接AD,E为射线BA 上一点（不与点A,B重合），连接DE,将射线DE绕点D按顺时针方向旋转30°交射线CA于点 F.当AE=4AF时，求AF的长， D (第6题) 58 “答案与解析”见P33