精品解析：浙江金华市南苑中学2026-2027学年八年级上学期10月学自测数学试题

2026学年第一学期八年级数学独立作业（一）检测卷 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 小华坐在教室的位置，用数对表示是，坐在小华前面一位同学的位置用数对表示是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的两边长分别为4厘米和7厘米，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个三角形三个内角的度数之比是，这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 如图，与交于点O，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 8. 图1是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成，若较短的直角边，斜边，若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 70 B. 76 C. 72 D. 80 9. 如图，在中，交于点，，，点为上方的动点，满足，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，，在上，连接，则以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二．填空题（共6小题，共18分） 11. 用适当的不等式表示“的3倍减去2的差比1小”__________． 12. 如图，是的一个外角．若，，则的度数是__________． 13. 点关于y轴对称的点的坐标是______． 14. 不等式的非负整数解的个数有______个； 15. 已知实数，，满足，．若，则的最大值为________． 16. 如图，在中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点，连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若，则______． 三．解答题（共8题，共72分） 17. 解不等式组和不等式： （1）解不等式组：． （2）解不等式：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在格点（每个小正方形的顶点称为格点）上 （1）在网格中画出面积为4的等腰三角形（不是直角三角形）； （2）在网格中画出面积为的等腰直角三角形． 19. 如图所示，在中，平分， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 20. 不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） （1）求线段的长度； （2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 21. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 22. 若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍余三角形： （1）顶角为的等腰三角形______倍余三角形（填“是”或“不是”）； （2）若是倍余三角形，三个内角分别为、、且，则__________； （3）如图，在中，，，在直线上是否存在一点，使得是倍余三角形，若存在，求出的度数． 23. 综合与实践 某项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装．一种规格的碗要装入包装盒，各类信息如下： 信息1 信息2 碗以及叠放后的尺寸（单位：） 两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：）和成本（单位：元） A盒：成本：3.5元/个 B盒：成本：2元/个 问题解决： （1）将个这样的碗叠放后，则碗的总高度________（用含的式子表示）； （2）叠放后的碗可横放也可竖放，则A盒最多可放入________个，B盒最多可放入________个； （3）若要买若干个A盒或B盒分装45个上述规格的碗（A，B盒都刚好装满），最少要花多少钱？ 24. 如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且满足． （1）填空：___________，___________ （2）如图1，若的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标； （3）如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期八年级数学独立作业（一）检测卷 一．选择题（共10小题，共30分） 1. 小华坐在教室的位置，用数对表示是，坐在小华前面一位同学的位置用数对表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：小华位置为，前面一位同学列数不变，行数减1，即，对应数对为． 2. 一个三角形的两边长分别为4厘米和7厘米，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两边长度确定第三边的取值范围，再对照选项筛选． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 两边之差，两边之和，因此第三边长度大于且小于，选项中只有符合条件． 3. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，故A、B错误； ∵， ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确． 4. 一个三角形三个内角的度数之比是，这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】三角形的类型由最大内角的度数决定，按比例分配求出最大内角的度数即可判定． 【详解】解：∵这个三角形的三个内角的度数之比是， ∴这个三角形的最大内角的度数为， ∴这个三角形是钝角三角形． 5. 如图，与交于点O，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，即可得出结果，找准对应角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 6. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的象限即可确定的取值范围． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴的取值范围是． 7. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 8. 图1是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成，若较短的直角边，斜边，若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 70 B. 76 C. 72 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC=6，从而可得CD=12，AD=6，再在Rt△BCD中，利用勾股定理可得BD=13，由此即可得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，直角边BC=5，斜边， ∴． ∵将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍， ∴CD=2AC=12，AD=AC=6， ∴在Rt△BCD中，， 则这个风车的外围周长是4(AD+BD)=4×(6+13)=76， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 9. 如图，在中，交于点，，，点为上方的动点，满足，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，结合，求出，设点到的距离为，求出，得出点在平行于且到距离为 2 的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，此时取得最小值，最小值为线段的长，，在中，根据勾股定理求出即可； 【详解】解：，，， ， ， ， 设点到的距离为， ，即， 解得， 点在平行于且到距离为 2 的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接， 此时取得最小值，最小值为线段的长，， 点到直线的距离为2， 点到直线的距离为2，点到的距离为， 在中，，， ， 的最小值是5． 10. 如图，，在上，连接，则以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得到，，，再由等边对等角可得，，据此结合三角形内角和定理和三角形外角的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴； 设交于点O， ∵， ∴，故③正确； 根据现有条件无法得到，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 二．填空题（共6小题，共18分） 11. 用适当的不等式表示“的3倍减去2的差比1小”__________． 【答案】 【解析】 【分析】理清运算顺序，抓住不等关系，将文字描述转化为数学不等式即可． 【详解】解：根据题意，的3倍表示为，的3倍减去2的差表示为， ∵差比1小，即差小于1， ∴列出不等式得． 12. 如图，是的一个外角．若，，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角定理“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”即可求出的度数． 【详解】解：∵, ∴, ∵，， ∴． 13. 点关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 14. 不等式的非负整数解的个数有______个； 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法与非负整数解的确定，熟练掌握一元一次不等式的解题步骤并准确筛选非负整数解是解题的关键． 先求解不等式的解集，再从解集中找出所有非负整数解并统计个数． 【详解】解：， ， ， ， ， 非负整数解为，，，共3个． 故答案为：3． 15. 已知实数，，满足，．若，则的最大值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据已知等式将和用表示，代入不等式得到的取值范围，再化简，根据的范围求最大值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，展开得，解得， ∵， 化简得， ∵， ∴， ∴的最大值为5． 16. 如图，在中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点，连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形等高模型及，，求出，同样根据点为的中点，求出，过作于，于，根据∠BAC的角平分线AD交BC于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，解题的关键是正确地作出辅助线． 三．解答题（共8题，共72分） 17. 解不等式组和不等式： （1）解不等式组：． （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集； （2）按去分母，去括号，移项合并，系数化为1的步骤求解不等式． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， 不等式两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在格点（每个小正方形的顶点称为格点）上 （1）在网格中画出面积为4的等腰三角形（不是直角三角形）； （2）在网格中画出面积为的等腰直角三角形． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为三角形面积为4，所以根据三角形面积公式，先确定满足乘积为４的底和高的格点长度组合，再结合等腰三角形两边相等的性质，以点A为顶点或边的端点，选取格点B、C，同时验证三角形不是直角三角形． （2）因为是等腰直角三角形且面积为，所以根据等腰直角三角形面积公式（为直角边长度），先计算出直角边的平方为5，再在格点中找到长度平方为5的线段作为直角边，以点A为直角顶点或边的端点，选取格点P、Q，验证三角形为等腰直角三角形． 【小问1详解】 取，上的高为4，使，作出， 是等腰三角形，面积，且三个内角都不是直角， 符合要求． 【小问2详解】 取点P、Q，，连接， 得到，即为所求． 验证：取点M、N，使， 则， ∴， ∴， ∵点M、A、N在同一条直线上， ∴， ∴是等腰直角三角形，面积，符合要求． 19. 如图所示，在中，平分， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记等腰三角形的判定是解本题的关键； （1）先证明，再证明，可得，从而可得答案； （2）先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 20. 不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） （1）求线段的长度； （2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】（1）线段的长度为 （2）该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴，即该车符合安全标准． 【解析】 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，． 【小问2详解】 略 21. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． （1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? （2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】（1）恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 （2）至少需要134张正方形硬纸片 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【小问1详解】 解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． 【小问2详解】 解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 22. 若一个三角形中存在一个内角的两倍与另一个内角的和等于，我们称该三角形为倍余三角形： （1）顶角为的等腰三角形______倍余三角形（填“是”或“不是”）； （2）若是倍余三角形，三个内角分别为、、且，则__________； （3）如图，在中，，，在直线上是否存在一点，使得是倍余三角形，若存在，求出的度数． 【答案】（1）是 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据顶角为的等腰三角形，得到等腰三角形的底角为，根据定义解答即可； （2）利用倍余三角形的定义，三角形内角和，计算即可． （3）分点D在点A的右侧，点D在点C的左侧，点D在点A的左侧，且在线段上三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：顶角为的等腰三角形的两个底角为， ， 顶角为的等腰三角形是倍余三角形． 【小问2详解】 解：是倍余三角形，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：当点D在点A的右侧时，如图所示， 设， 根据题意，得，， ，或， 解得或， 故或； 当点D在点C的左侧时，如图所示， 根据题意，得，， ， ， ，此种情况不成立； ， ， ； ，此种情况不成立； 当点D在点A的左侧，且在线段上时，如图所示， 根据题意，得，， ， 解得， 故； 综上所述，的度数为或或或． 23. 综合与实践 某项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装．一种规格的碗要装入包装盒，各类信息如下： 信息1 信息2 碗以及叠放后的尺寸（单位：） 两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：）和成本（单位：元） A盒：成本：3.5元/个 B盒：成本：2元/个 问题解决： （1）将个这样的碗叠放后，则碗的总高度________（用含的式子表示）； （2）叠放后的碗可横放也可竖放，则A盒最多可放入________个，B盒最多可放入________个； （3）若要买若干个A盒或B盒分装45个上述规格的碗（A，B盒都刚好装满），最少要花多少钱？ 【答案】（1） （2）10；5  （3）最少要花16元 【解析】 【分析】（1）分析单个碗和叠放碗的高度关系，因为1个碗高度为，每多叠1个碗高度增加，所以用一次函数模型建立n个碗叠放总高度的表达式． （2）计算A、B盒最多装碗数量时，先分别对比碗口直径和包装盒的长宽高尺寸，判断竖放的组数，结合包装盒高度计算可叠放的层数，得到竖放总数量，取最大值． （3）先设购买A盒、B盒的数量为未知数，因为两种盒子都刚好装满45个碗，所以根据（2）中得到的两盒最大容量列二元一次方程，再根据未知数为非负整数找出所有可行解，结合两种盒子的成本计算各方案总费用，比较后得到最小值． 【小问1详解】 解：从碗的尺寸图可知：单个碗的总高度是，每多叠1个碗，仅额外增加的高度 ， ∴个碗叠放的总高度： ． 【小问2详解】 解：碗的直径为，因此包装盒的内部尺寸只要，就可以容纳碗的横向直径，只需根据包装盒的尺寸限制，结合叠放高度公式计算最大容纳数： A盒尺寸：的宽与的长刚好匹配碗的直径， 可利用的最大高度为． 令叠放总高度， 解得， ∴， 即单组竖放最多叠5个碗； A盒长可以并排放下2组直径的碗， 总容量为个（每组竖放5个，是可实现的最大数量）． B盒尺寸： 的边刚好匹配碗的直径， 可利用的最大长度为． 令叠放总长度， 解得， ∴， 最多可放入5个碗． 【小问3详解】 解：设用个A盒、个B盒，刚好装满45个碗， 可得方程：， 化简为， ∴，其中为非负整数． 枚举所有符合条件的整数解，计算对应总成本： 当时，，总成本； 当时，，总成本； 当时，，总成本； 当时，，总成本； 符合“所有盒子都刚好装满”要求的最低成本为16元． 24. 如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且满足． （1）填空：___________，___________ （2）如图1，若的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标； （3）如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1）4， （2） （3）不发生改变，4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，图形和坐标，等腰三角形的性质． （1）将配方得，根据算术平方根和平方的非负性，即可求得的值； （2）利用可证明，得，则题目可解； （3）利用可证，则 ，所以 ， 则题目可求． 【小问1详解】 解：，  ，  ，  解得，，  故答案为：，； 【小问2详解】 解：直线交轴于点，交轴于点，  点，点，    ， ∴， ∵，  ，   ， 在和中，  ，  ；  ，  的坐标为，  ，  ，  的坐标为； 【小问3详解】 解：的值不发生改变；理由如下：  如图，，，为的中点，连接 ，   ，，，  ， ∴， ，  ， ， 即，  ∴， ∴，  ， 在和中，  ，  ，  ，  ，  ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $