精品解析：重庆市育才中学校2026-2027学年九年级上学期数学自主作业（四）

重庆育才中学初2027届初三（上）数学自主作业（四） 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，任意数的相反数为． 【详解】的相反数是． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．根据轴对称图形的概念分别判断得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 3. 如图，在中，、分别是和上的点且，若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是菱形 D. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质、三角形中位线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质、三角形中位线及线段垂直平分线的性质是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质、三角形中位线及线段垂直平分线的性质进行排除选项． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，故不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故不符合题意； C、如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形；原说法错误，故不符合题意； D、根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知该说法正确，故符合题意； 故选D． 5. 已知反比例函数，在下列结论中，正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象经过点 C. 图象位于第一、三象限 D. 若，则函数值取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】本根据k的正负判断图象所在象限、增减性，再逐一验证选项即可． 【详解】解：由于反比例函数为， 则其图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 故A错误，C正确， 当时，，则图象经过点，而非， 故B错误， ∵当时，，当时，， ∴当时，或， 故D错误． 6. 估计的计算结果应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【详解】解：． ∵， ∴， ∴． 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有1个五角星，第②个图案有4个五角星，第③个图案有7个五角星，第④个图案有10个五角星…按此规律，第n个图形中有22个五角星，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给图形，依次求出图形中五角星的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图案中五角星的个数为：； 第②个图案中五角星的个数为：； 第③个图案中五角星的个数为：； …， 所以第n个图案中五角星的个数为个． 由得，． 8. 某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有人会做这道数学题．设一人每次教会了名同学，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：初始会做该题的人数为1， ∵第一节课1人教会名同学， ∴第一节课新增会做人数为，第一节课后会做总人数为， ∵第二节课会做的人每人教会名同学， ∴第二节课新增会做人数为， ∵全班共有人会做该题， ∴列方程得． 9. 如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，设与y轴交于点F， 设点，则点， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． ∵底边轴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 10. 如图，正方形中，点为边的中点，连接交对角线于点，连接．为上一点，连接，分别交、于点、，且满足．连接．则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，设正方形的边长为，根据勾股定理得，证明，根据等面积法求出，根据勾股定理得，证明，，根据比例式求出、的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 春晚表演的智能机器人依靠精密控制系统保持动作标准，单次动作修正耗时仅需秒，将数字用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 12. 若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据图象判断抛物线开口向上，结合对称轴，利用二次函数图象上点到对称轴的距离越远函数值越大这一性质进行比较即可． 【详解】解：如图，抛物线的开口向上， ， ． 14. 如图，点A、B在反比例函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E， ∵A、B的纵坐标分别是3和6， 代入函数关系式可得横坐标分别为4,2； ∴A（4,3），B（2,6）； ∴AC=4，BD=2，CD=3 由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC， ∴S四边形EBDC=S△AOE， ∴S△AOB=S四边形ABDC= ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是． 15. 若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足千位上的数字与百位上的数字之和比十位上的数字与个位上的数字之和大1，那么称这样的四位数为“古城密码数”．最小的“古城密码数”是________；若一个“古城密码数”M能被11整除，则M的最大值是________． 【答案】 ①. 1523 ②. 9273 【解析】 【分析】设四位数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d，根据题意得a，b，c，d互不相同且均不为0，满足，求最小数时高位尽可能小，求最大能被11整除的数时结合被11整除的数的特征推导约束，再让高位尽可能大得到结果． 【详解】解：设四位数M的千位为a，百位为b，十位为c，个位为d， 由题意知，a，b，c，d互不相同且均不为0，且， 要使“古城密码数”最小，则千位a取最小数1， ∴， ∴， 此时b的值从小到大分情况讨论： 当时，，有，不符合各位数互不相同，无解； 当时，，有，，不符合各位数互不相同，无解； 当时，，有，，，不符合各位数互不相同，无解； 当时，，有，，，，其中符合题意的c，d值为， ∴最小的“古城密码数”是1523； 设“古城密码数”， ∴ ， ∵一个“古城密码数”M能被11整除， ∴ ， ∴（k为整数）， ∵， ∴， ∵a，b，c，d都是1到9的整数， ∴的取值范围是， 此时k仅可能取，0，1， 要使M存在最大值，需a尽可能大，先取， 分情况讨论： ①当时，，则，不符合b，c取整数的条件，无解； ②当时，，则， ∴，而d的值大于9，不符合要求，无解； ③当时，，则，即， ∴， ∵，， ∴，则b从大到小讨论： （a）当时，，与重复，不符合，舍去； （b）当时，与重复，不符合，舍去； （c）当时，，四个数字为9，2，7，3，互不相同且均不为0，验证条件：，符合“古城密码数”定义，，是9开头的最大符合条件的数，比所有8及以下开头的数大， 综上所述，最小数是1523，最大值是9273． 16. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，使点落在边上点处，点落在上点处，过点作于点，交于点，连接，且．若，则________；的值为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】先由折叠得出相等的角和线段，利用平行线证明为等腰三角形，再通过判定建立比例关系，设未知数表示相关线段，列方程求出，进而得出 的长．利用同角的余角相等证明，根据相似三角形对应边成比例列出等式，化简得出最终比值． 【详解】解：由沿折叠得， ，，． 由沿折叠得， ，． ，， ， ． ， ， ． ， ， ， 在矩形中，  ， ， 四边形均为矩形， 设 ，则 ， ， 代入得，， 化简得 ， 解得正根 （负根舍去）． ．  ， ． ， ，  ． 又，   ， 由折叠知 ，，， 代入得：， 整理得：． 三．解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 将不等式组的解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和． 【答案】把表示在数轴上为 所有整数解的和为 【解析】 【分析】先分别求解不等式①、②，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集；在数轴上画出解集范围，从中找出所有整数解，最后计算整数解的和． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为：， 把表示在数轴上略， ∴整数解： ∴所有整数解的和为． 18. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先通过完全平方公式，单项式乘以多项式，分式的运算进行化简，然后通过负整数指数幂，化简绝对值求出的值，最后代入即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 19. 【数据收集】科技改变生活．实验室为了帮助某农场更快地筛选出优秀的种子，拟从甲、乙中选出一个更好的分类模型，部署到智能系统．现组织两者在轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率： 甲模型：，，，，，，，，，． 乙模型：，，，，，，，，，． 【数据整理】将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图： 【数据分析】 图中，利用折线统计图进行分析． 准确率/ 平均数 众数 极差 方差 甲 乙 和 图中，利用四分位数、箱线图进行分析． 准确率/ 最小值 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 最大值 甲 乙 （1）填空：________，________，________，________； （2）请根据轮基准测试的成绩，从甲、乙中选拔一个更好的分类模型，部署到智能系统，并说明理由． （3）若实验室对甲、乙两种模型共进行了轮基准测试，估计所有测试中准确率不低于的基准测试有多少轮？ 【答案】（1），，，； （2）选乙模型，理由：甲乙平均数相等，乙方差更小，测试准确率更稳定； （3）估计有轮． 【解析】 【分析】（1）先把甲、乙两组数据排序，根据众数定义找甲的众数；利用极差公式：极差最大值最小值计算乙的极差；第二四分位数就是中位数，算出乙的中位数；再找出甲的第三四分位数． （2）对比甲、乙的平均数、方差、极差等统计量，方差越小，数据波动越小、越稳定，以此选出更好的模型． （3）先分别统计甲、乙10轮测试中准确率的轮数，算出样本中不低于的频率，再用总轮数乘频率进行总体估计． 【小问1详解】 解：方法一：甲模型数据：，，，，，，，，，． 出现次数最多的数是，故． 乙模型数据：，，，，，，，，，， 从小到大排序得：，，，，，，，，，， ∴极差， 中位数即第二四分位数为第5、6个数据的平均数， ∴， 将甲模型数据从小到大排序得：，，，，，，，，，， 后5个数据的中位数即第三四分位数为， ∴； 方法二：甲模型数据：，，，，，，，，，． 出现次数最多的数是，故． 乙模型数据：，，，，，，，，，， 从小到大排序得：，，，，，，，，，， ∴极差， ∵， ∴第二四分位数为第5、6个数据平均数即， 将甲模型数据从小到大排序得：，，，，，，，，，， ∵， ∴第三四分位数为第8个数据，即； 【小问2详解】 解：选择乙模型． 理由：甲、乙平均数相同， ，，， 乙的方差更小，数据波动更小，成绩更稳定． 【小问3详解】 解：甲：，，，，，，共6轮． 乙：，，，，共4轮． 样本总数：轮，达标轮数：轮． ∴（轮）， 答：所有测试中准确率不低于的基准测试有轮． 20. 如图，已知锐角，为边上的高．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题． （1）作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若，，求证：． 【答案】（1） 解：如图射线即为所求； （2） 证明： ，为边上的高， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查用直尺和圆规作角的平分线，三角形全等的判定和性质以及垂直的判定； （1）按用直尺和圆规作角平分线的步骤作图即可； （2）先证明得，结合对顶角证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 十月，正是大闸蟹最肥美的时节．某水产商行从养殖基地购进一批大闸蟹，已知购买只母蟹和只公蟹共花费元；购买只母蟹和只公蟹共花费元． （1）求购买只母蟹和只公蟹的价格分别为多少元？ （2）某水产商行计划追加采购一批母蟹和公蟹，恰好养殖基地开展促销活动：母蟹每只降价元，公蟹每只降价元．在养殖基地用元购买母蟹的数量与用元购买公蟹的数量相同，求的值． 【答案】（1）购买1只母蟹的价格为80元，购买1只公蟹的价格为50元． （2）的值为4 【解析】 【分析】（1）设购买1只母蟹的价格为x元，购买1只公蟹的价格为y元．根据两次购买的总费用得到等量关系列二元一次方程组求解即可； （2）根据降价后购买两种蟹的数量相等列分式方程，求解后检验即可解答． 【小问1详解】 解：设购买1只母蟹的价格为x元，购买1只公蟹的价格为y元． 根据题意，得 ，解得． 答：购买1只母蟹的价格为80元，购买1只公蟹的价格为50元． 【小问2详解】 解：由题意可得：降价后母蟹单价为 元，公蟹单价为元． 由题意得： ， ， ， ， ． 检验：当时，且两种蟹的单价均为正数，符合题意． 答：m的值为4． 22. 反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点， （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为； 画出函数图象如下图： ； （2）或 （3）2 【解析】 【分析】（1）把，分别代入求出m，n的值，再运用待系数法求出a，b的值即可； （2）根据交点坐标，结合函数图象即可解答； （3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 ∵一次函数（）的图象与的图象交于，两点， ∴把，分别代入，得， ， 解得，， ∴，， 把，代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵直线与反比例函数交于点A（1，4），B（-2，-2） ∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图， 对于，当时，， 解得，， ∴点C的坐标为（-1，0） ∵A（1，4） ∴ 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系． 23. 综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 （1）结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； （2）结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】（1）方案一中的长度为，方案一不可行； （2）方案二可行，理由如下： 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点， ∴四边形和是矩形， ∴，，，， 设，则， ∵坡道的坡度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴方案二可行． 【解析】 【分析】过作于点，可得四边形是矩形，则，，由题意可知，坡道的坡度为，所以，解得，然后通过，然后与比较即可； 过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点，则有四边形和是矩形，所以，，，，设，则，根据题意得，然后证明，根据，即，解得，所以，，则，然后与比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，坡道的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为，且， ∴方案一不可行， 答：方案一中的长度为，方案一不可行； 【小问2详解】 略． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求该抛物线解析式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于D，点E为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； （3）如图2，在上取一点Q，连接，使，将抛物线沿射线方向平移2个单位得到新抛物线，点M为新抛物线上对称轴右侧的一动点，过M作交直线于点N，连接，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于H，交于Q，求出点C坐标得到直线解析式为；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，，由此可得到，则的最大值即为的最大值，故当点P为抛物线的顶点时，有最大值，即此时有最大值；作，过点E作，则，可推出当P、E、G三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；如图所示，过点G作于T，设直线交于R，设，可求出直线解析式为，则，可得，证明，则，据此可得答案； （3）如图3-1所示，过点O作于L，过点Q作轴于K，可求出，则解直角三角形得到，据此求出；证明是等腰直角三角形，得到，则，解直角三角形得到，则，利用勾股定理得到，则，据此可得将抛物线向右平移2个单位，向上平移6个单位得到新抛物线，则新抛物线的解析式为；在分点N在x轴上方和在x轴下方两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把代入到中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点P作轴于H，交于Q， 在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴的最大值即为的最大值， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当点P为抛物线的顶点时，有最大值，即此时有最大值， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，作，过点E作， ∴， ∴， ∴当P、E、G三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 如图所示，过点G作于T，设直线交于R，设，则， 在，， ∴， ∴， ∴点G在直线上，即直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当有最大值时，的最小值为； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，过点O作于L，过点Q作轴于K， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴将抛物线沿射线方向平移2个单位得到新抛物线，相当于将抛物线向右平移2个单位，向上平移6个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； 如图3-2所示，当点N在x轴上方时，设点S为射线上一点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 同理可得直线解析式为， ∴可设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； 如图3-3所示，当点N在x轴下方时，取点，过点W作轴于Z，过点Q作轴于U，设直线交x轴于S， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， ∴同理可得直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于证明，解（3）的关键在于求出移到后的抛物线解析式，并分类讨论． 25. 在中，是的中线． （1）如图1，若，，，求的面积． （2）如图2，点在延长线上，将绕点逆时针旋转得到，连接，，点为中点，连接交于点，连接，若，且，证明：． （3）如图3，若，，，点是上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，在上取中点，连接，当的值最小时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）12 （2）证明：连接， 绕点逆时针旋转得到， ，，， 点为中点， ，， ，，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 过点作于点A，交于点Q， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，求得该三角形的面积，根据三角形中线的性质，得到的面积是该三角形面积的2倍，求解即可． （2）连接，设，证明，，连接，证明，继而证明，得到，过点作于点A，交于点Q，得到，证明，得到，结合，等量代换即可得证． （3）过点N作，交的延长线于点K，证明，作射线，证明射线是的角平分线，继而判定点A，点C关于直线对称；取的中点，连接，故当的值最小时，的值最小，连接，交于点，故点P与点S重合时，取得最小，此时的值最小，利用三角函数解答即可． 【小问1详解】 解：是的中线，， ，， ，，， ，， ， ， ． 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 解：如图，过点N作，交的延长线于点K， ∵，，， ∴，，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作射线， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线， ∵， ∴， ∴点A，点C关于直线对称； 取的中点，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故当的值最小时，的值最小， 连接，交于点，故点P与点S重合时，取得最小，此时的值最小， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 故四边形的面积为： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学初2027届初三（上）数学自主作业（四） 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，、分别是和上的点且，若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是菱形 D. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 5. 已知反比例函数，在下列结论中，正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 图象经过点 C. 图象位于第一、三象限 D. 若，则函数值取值范围是 6. 估计的计算结果应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有1个五角星，第②个图案有4个五角星，第③个图案有7个五角星，第④个图案有10个五角星…按此规律，第n个图形中有22个五角星，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有人会做这道数学题．设一人每次教会了名同学，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点为边的中点，连接交对角线于点，连接．为上一点，连接，分别交、于点、，且满足．连接．则为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 春晚表演的智能机器人依靠精密控制系统保持动作标准，单次动作修正耗时仅需秒，将数字用科学记数法表示为________． 12. 若实数x，y满足，则的值为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 14. 如图，点A、B在反比例函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是__________． 15. 若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，满足千位上的数字与百位上的数字之和比十位上的数字与个位上的数字之和大1，那么称这样的四位数为“古城密码数”．最小的“古城密码数”是________；若一个“古城密码数”M能被11整除，则M的最大值是________． 16. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，使点落在边上点处，点落在上点处，过点作于点，交于点，连接，且．若，则________；的值为________． 三．解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 将不等式组的解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和． 18. 先化简，再求值： ，其中． 19. 【数据收集】科技改变生活．实验室为了帮助某农场更快地筛选出优秀的种子，拟从甲、乙中选出一个更好的分类模型，部署到智能系统．现组织两者在轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率： 甲模型：，，，，，，，，，． 乙模型：，，，，，，，，，． 【数据整理】将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图： 【数据分析】 图中，利用折线统计图进行分析． 准确率/ 平均数 众数 极差 方差 甲 乙 和 图中，利用四分位数、箱线图进行分析． 准确率/ 最小值 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 最大值 甲 乙 （1）填空：________，________，________，________； （2）请根据轮基准测试的成绩，从甲、乙中选拔一个更好的分类模型，部署到智能系统，并说明理由． （3）若实验室对甲、乙两种模型共进行了轮基准测试，估计所有测试中准确率不低于的基准测试有多少轮？ 20. 如图，已知锐角，为边上的高．利用直尺和圆规，根据要求作图，并解决后面的问题． （1）作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若，，求证：． 21. 十月，正是大闸蟹最肥美的时节．某水产商行从养殖基地购进一批大闸蟹，已知购买只母蟹和只公蟹共花费元；购买只母蟹和只公蟹共花费元． （1）求购买只母蟹和只公蟹的价格分别为多少元？ （2）某水产商行计划追加采购一批母蟹和公蟹，恰好养殖基地开展促销活动：母蟹每只降价元，公蟹每只降价元．在养殖基地用元购买母蟹的数量与用元购买公蟹的数量相同，求的值． 22. 反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点， （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 23. 综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 （1）结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； （2）结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． （1）求该抛物线解析式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于D，点E为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； （3）如图2，在上取一点Q，连接，使，将抛物线沿射线方向平移2个单位得到新抛物线，点M为新抛物线上对称轴右侧的一动点，过M作交直线于点N，连接，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，是的中线． （1）如图1，若，，，求的面积． （2）如图2，点在延长线上，将绕点逆时针旋转得到，连接，，点为中点，连接交于点，连接，若，且，证明：． （3）如图3，若，，，点是上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，在上取中点，连接，当的值最小时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $