山西太原市部分学校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

2026~2027高三10月联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案C 【解析】因为A={0,1,2},B={xx2=x}={0,1},所以A∩B={0,1}. 2.【答案】A 【解析1=二21=一2X(-）-21 1-i -2气-分母实致化得9D公-号2-1+所以 z=-1-i. 3.【答案】C 【折12月2=子61-红-0®得1z-2<. x-1≠0 4.【答案】D 【解析】对于A,函数f(x)=一x2的定义域为R,在(0，+∞)上单调递减，A错误； 对于B,函数f(x)=2-2x的定义域为R,f(-x)=2x-2=一f(x),函数f(x)为奇函数，B 错误； 对于C,函数f(x)=-1的定义域为（一∞，0）U(0,十o∞)，为奇函数，C错误； 对于D,函数f(x)=lnx|的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，f(-x)=ln-x|=f(x), 函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=lnx,因此f(x)在(0，+∞)上单调递增，D正确 5.【答案】C b 3 【解析】由6+3a-b=0得到a=623,又a>0,b>0,则6>3，所以a+36=6二3十36=6二3+3 6-3)+10≥25+10=16，当且仅当，33=36-3》，即a=-6=4时取等号. 6.【答案】B 【解析】如图所示，设扇形所在圆O的半径为rcm,则弦长的一半为AE=4,弦的中 点到圆心的距离为r一2，根据勾股定理得r2=(r一2)2十4，整理得4r=20,解得 =5,设扇形所对的圆心角为a,因为弦长为8cm,在直角△AOE中，可得cos ∠AOE= OE 3 1 0A=亏，所以∠A0E=53,即a=106,所以扇形的面积为S=2a2= 言×0·X5-。,三角形A408的面积为S-名×8X8=12,因为*314，所以弓形的面 36 积为S=S,-S,-265 36·x-12265×3.14-12≈11.1(cm)2 7.【答案】D 【解析】f(x)=x2-1 x+1的定义域为0，+6∞)，)=2x22x十)2二1，令 2x 0,可得：=号或z=-号（合），由了)在其定义域内的一个子案(a-1,®十1D内存在极值，可得： a-1≥0 1 a-1立，解得1<a<,所以实数a的取值范围为 (a+1>1 2 【高三数学参考答案第1页（共6页）】 8.【答案】D 【解析】对于A,由f(x)=f(2一x),得直线x=1是f(x)的图象对称轴，A正确； 对于B,由函数f(x)是奇函数，得f(x)=一f(x一2)=f(x一4)，则4是函数f(x)的一个周期，而当 x∈[2,3]时，f(x)=2一x,因此f(7)=f(3)=一1，B正确； 对于C,当x∈[一1,0]时，2-x∈[2,3]，则f(x)=f(2-x)=2一(2-x)=x,因此当x∈ [-5,-4幻时，x+4∈[-1,0]，f(x)=f(x十4)=x+4,C正确， 对于D,方程5f)=x十2f(x)-后+号，于是方程5f)=x十 1 y= 2的实根个数即为函数y=f(x)的图象与直线y=日x+号的交点个 数，由f(x)是奇函数，得当x∈[一1,1]时，f(x)=x,当x∈[1,3]时，2-x∈[-1,1]，则f(x)= f(2一x)=2一x,又函数f(x)的一个周期为4，在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y= 十号观察图象知，函数y=f)的图象与直线y=十号有五个交点，即方程5r)=1+2有 1 五个实数根，D错误。 9.【答案】BD 【解析】a3<b3台a<b,故“a<b”是“a3<b3”的充要条件，故A错误； 由Wb-a>1得b>a十l>a,能推出a<b,反之不成立，所以“√b-a>1”是“a3<b3”的充分不必要条 件，故B正确； 若a=1,b=-2,a2<b2,a3<b3不成立，故充分性不成立，若a=-2,b=-1,a3<b3,a2<b2不成立， 故必要性不成立，所以“a2<b2”是“a3<b3”的既不充分也不必要条件，故C错误； 0<名<日90<a<b,所以“0<名<日是。<3“的充分不必要条件，故D正确， 10.【答案】AC 0+n8一1+an2-号解得tama=士，又ee(份，所以 【解析1cos2a=coS'a-sina=cosa-sin2a=1-tan2a=7 tan a=- 4,故A正确； 3 tan a= _sin a sin a=- 5 7 联立 cos a 及a∈（x,解得 所以sina一cosa=5,故B错误； sin2a+cos a=1 cos a=-5 同理根据anB一号及8∈(6，》，解 mg=号 所以sin(a+B)=-sin acos叶cos asin=gX号 cos B=13 6,故C正确， 3 120 因n29=2ans9=gx号×名1器所以2+m号 +4X25 169 sin2B-4cos2B 144 25 =5.故D错误. 169 -4×169 11.【答案】ACD 【解析】对于A,由题意得f'(x)=1-n工，由lnx。=1→x,>1,函数y=xlnx在0，)上递减， 在（日，+∞）上递增，且当x∈(0，是)时，xnx<0.所以当0<x<,时，xlnx<1,故f'(x)>0;当 【高三数学参考答案第2页（共6页）】 x>xo时，xlnx>1,故f'(x)<0;由此xo是f(x)的极大值点，故A正确； 对于B,令h(x)=xlnx一1，则h'(x)=lnx+1(x>1),所以h(x)在(1，十o∞)上单调递增，由题意 得)=0，h()=2n多-1，由不等式n1+)<>0),取1=号·得n名<名所以 A()<号×号-1=<0，由此(》）A,又k)单调通指，所以<，则，>含>台 故B错误； 对于C,由题意，|MN=f(x。)= ,e,要证MN<e,只需证-1 In xo 1 e*o e <e2台xoeo>e2, 等价于1nx。十x>2,由xlnx。=1,得1nx,=】,所以只需证】十x>2,由于x>1,则1+x> 2成立，故C正确； ee西要证<e号，等价于 对于D,直线OM的斜率k=fx）-0_1nx,=x。 1 x0-0 好<e >,等价于h:一号因为h,所以十名>名曲于+-名 x06 由B已证>名，即-号>0，且：-专>0，又>0，所以 (。-)。-) >0,所以<e号，故D正确。 To 12.【答案】2 【解折中-名》-8=)士2+m》-2+2若+(m∈R)是纯虚数，则 (1-i)(1+i) 2 2 2 (2一m=0 2 ,解得m=2. 2+m ≠0 2 13.【答案】(1,4] 【解析]诺xE(一0,2习，则f)的取值范周是仔十).当>2时，f)-3十1og,分两种情形 讨论：若a>1,则f(x)在(2，十∞)单调递增，相应f(x)的取值范围是(3十log。2,十∞)，因此要使 了)的值城是各十∞，应当有3+log,2≥号两端都取a为底可得a≥a,解得1<a<4.当0 <a<1,则f(x)在(2，十∞)单调递减，相应f(x)的取值范围是(-∞，3+loga2),此时无法满足 f(x)的值域是 [径+，放合去综上可得1<a<4. 14.【答案)写 【解折】f(x)=sin2x-5cos2x=2sin(2x-子，由于fz,)+fc,)=0,所以2sin(2x1-号)= -2sin(2x:-子)，所以2x,-=-(2z:-子)+2kx或2x:-子-(2z,-3）+2kx+x∈2)，当 2江一子--(2x,一子)+2x时x1十，=音+，不妨设x1>0,x<0,由x1十：=智+x,当及 【高三数学参考答案第3页（共6页）】 =0时，x,-x=-2x>当≥1时，x,-x=智-2江十k>5,当k≤-1时，1十 =晋+k≤-所以0≤-行-则≤-由于>0，所以1z->经当2，- 吾=(2z:了)十2张x十元时，x1-:=十x,此时x-:≥受综上.-z:>骨，所以实数 m的最大值为 15.【解析】(1)因为x>0,y>0,所以4x+y≥2√4xy=4√xy, 2分 所以9y≥4四g,四台y≥品 4分 当且仅当4红=y,即x=号y=8时等号成立： 6分 (2)由4r十y=9xy得+4=9， …7分 x y 所以+y=号e+}+）=号6++）≥g6+22·号)-1， …9分 当且仅当2x=y,即x一弓y=号时等号成立， …10分 所以x十y的最小值为1，… 11分 由x十y≥2m2-m恒成立，则2m2一m≤1得(2m十1)(m-1)≤0，…12分 解得-子≤C1,所以实数m的取值范道为[]， …13分 16.【解析】(1)f(x)=2x-sinx,x∈(0，，求导可得f'(x)=2-cosx,x∈(0，对]，…2分 当x=时f'(）=-cos=2f(份）=×-sin= -1,…… ……4分 所以曲线f(x)在点（经，（经）》处的切线方程为y-(任-1=（女-），即y=分x-1:…7分 (2)由小问1可知，f'(x)=2-cosx,x∈(0，]， …8分 令fx)=0,解得x=否 …9分 所以当写<x≤元时，fx)>0,f6x)单调递增，… 11分 当0<x<时，f'(x)<0,f(x)单调递减， ……13分 所以)的极小位为f得)-台×管一m营-看-，无极大值… …15分 17.【解析】(1)因为f(x)=m·2r+2-x的定义域为R,所以f(一x)=m·2-x+2,…1分 当m=1时，f(一x)=2十22=f(x),f(x)为偶函数，…3分 当m=-1时，f(-x)=-2十2=一f(x),f(x)为奇函数， ……5分 当m≠士1时，则f1)-f(-1)=(2m+2）-(分m十2-号m-1）≠0,6分 f1)+(-1D=(2m+2)+(分m+2)=号(m+1)≠0，从而f(-1D≠±f, 所以∫(x)既不是奇函数也不是偶函数；…7分 【高三数学参考答案第4页（共6页）】 (2)当m=1时，f(x)=2+2x,存在x∈(0，十∞)，使得2十2-x=t·2+1成立，…8分 化商可得1一1芳- )，即=(（)+1在0+o)上有解，…10分 令u=2,因为x∈0，十∞)，所以u∈0,1)，即1=2-u十1在u∈0,1)上有解，…12分 2u+1=u-)十毛，因为u∈(0,1)，… 所以实数：的取值范国为[层小 15分 令2-骨-，得-智-音后刀，放对称巾心为管看0小其中∈7…4分 (2)由a)知，f(分-若）=sin(女-3+）=sinx f(分x+)=sim(e+看+5）=sin(e+）=cosx, …5分 则原不等式化为asin x-cosx≥2， 当x∈[紧引]时sinx>0,所以a≥2兰对任意的x∈ sin x 4’3 恒成立，…6分 设h(x)= 2+cos sin x 任取牙≤x<红：≤行，在此区间上y=e0sx单调递减y=snx单调递增， …7分 0<2+cos x2<2+cos x1,0<sin x1<sin 2, 从而h(x1)= 2+c0sx1>2+c0sx22+cos24=hz2), 9分 sin x1 sin x1 sin x2 2+② 所以h(x)在 匠，引上单调递减，故hx)r=h(任） 24十√2 =22+1, ………10分 √2 √2 故a≥1+2W2,故实数a的取值范围为[1十2√2，十∞)； 11分 (3)由a)知，g)=f(gx-）=sim(经x-）, ……12分 画出y=sin u,u∈ π17π 3’3 的图象如图： …13分 由图可知，其图象与y= 共有6个交点， 且4x1 34x2 【高三数学参考答案第5页（共6页）】 20 68 _116 则x1十x2=3,x十x=3,x十x6=3, 故x1十x2十…十x6=68. …17分 19.【解析】(1)因为2x2+2-4x=2(x一1)2≥0恒成立，且4x-(-x2+4x)=x2≥0恒成立， 所以当x∈（-∞，十o∞)时，2x2十2≥4x≥-x2十4x恒成立，…1分 故h1(x)是y=2x2十2与y=一x2十4x在区间（一∞，十∞）上的“分割函数”；…2分 又因为x十1-(-x2+4x)=x2-3x十1，当x=0与1时，其值分别为1和-1， 所以h2(x)≥一x2+4x与h2(x)≤一x2十4x在(-o∞，十o∞)上都不恒成立，…3分 故h2(x)不是y=2x2十2与y=-x2十4x在区间（一∞，十∞）上的“分割函数”；…4分 (2)h3(x)=ax2+cx+d(a≠0)是y=2x2+2与y=4x在区间(-∞，+∞)上的“分割函数”，则2x2 十2≥ax2十cx十d≥4x对一切实数x恒成立，…5分 因为(2x2+2)=4x,当x=1时，它的值为4， 可知y=2x2十2的图象在x=1处的切线为直线y=4x,…6分 它也是h3(x)=ax2十cx十d的图象在x=1处的切线，如图： 2a+c=4 c=4-2a 1=2x2+2y 所以a十c+d-4可得 …8分 d=a 所以2x2十2≥ax2+(4-2a)x十a≥4x对一切实数x恒成立， 1,4) 可得2-a≥0且a>0,即0<a≤2，…9分 又因为a=2时，h,(x)=ax2十(4-2a)x十a与y=2x2十2为相同函数，不合ya+cx+d小 题意， 故所求的函数为h3(x)=ax2十(4一2a)x十a(0<a<2);…10分 (3)关于函数y=x4-4x2,令y=4x3-8x=0,可得x=0,士√2，… 11分 当x∈(-∞，-√2)与x∈(0，W2)时，y'<0, 当x∈(-√2,0)与x∈(W2,十∞)时，y'>0, 可知士√2是函数y=x4一4x2的极小值点，0是极大值点，…12分 该函数与y=4x2一16的图象如图所示： 若函数h4(x)=kx十b是y=x4-4x2与y=4x2-16在区间[m,n]上的“分割函 数”，… …13分 故存在b。使得b≤b。且直线h4(x)=kx十b与y=x4一4x2的图象相切， 并且切点横坐标t∈[-2，-2]U2,2], 此时切线方程为y=(4t3-8t)x十4t2-3t4,即k=4t3-8t,b。=4t2-3t4,… …14分 设直线h4(x)=kx十b与y=4x2一16的图象交于点(x1,y1),(x2,y2), m由y-kxb,可得4红2-x-16-b=0,…15分 则由 y=4x2-161 所以|x1-x:=√1+xa)=4z1x?=√16+16+b≤√16+16+b。=√@=2)+16+4-30 =t6-7t4+8t2+16=√53-7s2+8s+16(s=t2∈[2,4])…16分 令k(s)=s3-7s2+8s+16(s∈[2,4])，k'(s)=3s2-14s+8=(3s-2)(s-4)≤0，（当且仅当s=4 时，'(s)=0),所以(s)严格减，故(s)的最大值为k(2)=12, 可知x1一x2的最大值为W12=2W3,所以n一m的最大值为2√3.…17分 【高三数学参考答案第6页（共6页）】2026~2027高三10月联考 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知集合A=(0,1,2),B=(x|x2=x),则A∩B= A.(0,2) B.(0} C.(0,1) D.(0,1,2) ?已知复数之满足2二一21其中为虚数单位)，则z子 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 3。不等式二2的解集是 A.{x|-2≤x≤1) B.{x|x≤-2) C.{x|-2≤x<1) D.(x|x>1)》 4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，十∞)上单调递增的是 A.f(x)=-x2 B.f(x)=2F-2-3 C.f(x)=-1 D.f(x)=In x x 5.a>0,b>0,b+3a一ab=0,则a+3b的最小值是 A.12 B.13 C.16 D.18 6.第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项 目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型， 拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为2c,弦长为 8cm求号形的面积约为（参考数据：=3.14,0s53”=子 A.8.2(cm)2 B.11.1(cm)2 C.9.1(cm)2 D.4.1(cm)2 【高三数学第1页（共4页）】 只只 扫描全能王创建 7,若函数f(x)=2-nx+1在其定义域内的一个子集(a-1a十1)内存在极值，则实 数a的取值范围为 A(2剖 ch引 8.设奇函数f(x)的定义域为R,且满足：(1)f(x)=f(2-x);(2)当x∈[2,3]时，f(x)=2 一x,则下列说法不正确的是 A.f(x)的图象存在对称轴 B.f(7)=-1 C.当x∈[-5，-4幻时，f(x)=x+4 D.方程5f(x)=x十2有四个实数根 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若a,b∈R,则“a3<b3”的充分不必要条件是 A.a<b B.√b-a>1 C.a2<62 10.已知ae(经，acb,},且cos2a=gtan9-号，则 A.tan a--4 B.sin a-cos a=1 5 C.sin(a+p)=-33 D.sin 28+4cos'B 1 5 sin'B-4cos'B5 11.在平面直角坐标系x0y中，已知直线工=。与函数f(x)=h的图象交于M点，与x e 轴交于N点，其中xoln zo=1,则 A.xo为f(x)的极大值点 B<号 C.|MN|<e-2 D.设直线OM的斜率为k,则k<e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若mER)是纯虚数，则m= 13.设a>0且a≠1，函数f(x)= -x+号< 的定义域为R若f(x)的值域为 3+logax,x>2 [}+∞，则a的取值范围为 14.已知函数f(x)=sin2x一5cos2x,实数x1,x2满足x1x2<0,f(x1)十f(x2)=0.若 |x1一x2>m恒成立，则实数m的最大值为 【高三数学第2页（共4页）】 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知x>0,y>0且4x+y=9xy. (1)求xy的最小值； (2)若对于任意的x,y均有x十y≥2m2一m恒成立，求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(z)=方-snxz∈0，为。 (1)求曲线y=f(x)在点(，f()》处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=m·2+2,其中m∈R. (1)讨论函数f(x)的奇偶性； (2)当m=1时，若存在x∈(0，十∞)，使得f(x)=t·2十1成立，求实数t的取值 范围. 【高三数学第3页（共4页）】 扫描全能王创建 18.(本小题满分17分) 已知函数fx)=sn+引eos+nkz+》-g (1)求f(x)的对称中心坐标； 2者a经-看》-f(仔+)≥2对任意的x∈匠， 恒成立，求实数a的取值 范围； (3)已知函数g(x)=f(得x一），记方程g(x)=在区间D,24]上的根从小到大依次 为x1,x2,,xn,求x1十x2十…十xn的值. 19.(本小题满分17分) 三个互不相同的函数f(x),g(x)和h(x)在区间D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)或恒有 f(x)≤h(x)≤g(x),则称h(x)为f(x)与g(x)在区间D上的“分割函数” (1)设h1(x)=4x,h2(x)=x十1，试分别判断h1(x)、h2(x)是否是y=2x2+2与y= 一x2十4x在区间（一∞，十∞）上的“分割函数”，请说明理由； (2)若二次函数h3(x)=ax2+cx+d(a≠0)是y=2x2+2与y=4x在区间 (一∞，十∞)上的“分割函数”，求h,(x); (3)设[m,n]三[-2,2]，若存在函数h4(x)=kx+b(k,b∈R),使得h,(x)为y=x 4x2与y=4x2-16在区间[m,n]上的“分割函数”，求n-m的最大值. 【高三数学第4页（共4页）】 扫描全能王创建