八年级数学上学期期中真题重组卷（江苏苏州专用，范围：新教材苏科版八上第1章三角形、第2章实数的初步认识+八下第9章因式分解、第10章分式）

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 6 7 P A B B B C C B 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9、 x≠3 10、6 11、2 1 12、3 13、14 14、1.5 15、6 16、6 三、解答题（本大题共10小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(4分) 【答案102(x+2x-2) 2②y(-y)}2 【详解1（)解：2×-8=2(-4到=2(r+2x-2）.…(2分) ②解，-2少+=-2+)=(x-八.…（2分) 18.(4分)【答案】(10 1/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23+1 【详解】(1)解： a+223--) =2+1-3 =0:…(2分) (2解：2x6+5-2-(5+2]5-2) =2+2-5-[5-2] =2W5+2-V3-1 =V3+1 ,…(2分) 19.(4分)【答案】(1)3 睛 2m+1.m-4 【详解】(1)解：m-1m-1 2m+1+m-4 m-1 3(m-1) m-1 =3:…(2分) y22x-2y.4y (2)解：x-yxx ，y22(x-y)x x-y x 4y 2…(2分) 2/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(4分)【详解】(1)图形如图所示： D …(2分) 334 :点P在线段BC的垂直平分线上， :.PB=PC, .∠BCP=∠PBC, PD∥BC, .∠PBC=∠APD=34° ∠BCP=34°.…(2分) 21.(4分) 【详解】 证明：，AE∥BF .∠AEC=∠BFD.(1分) 在△AEC,△BFD中， CE=DF ∠AEC=∠BFD AE=BF △AEC≌△BFD(SAS) ，…(3分) 22.（5分) 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解： 设B种机器人每小时搬运水kg化工原料，则4种机器人每小时搬运 x+10)kg化工原料， 800600 根据题意得： x+10x, 解得：x=30,…（2分) 经检验，x=30为原方程的解，且符合题意，…(1分) 则x+10=40,…(1分) ·A种机器人每小时搬运4Okg化工原料，B种机器人每小时搬运30kg化工原料.…(1分) 23.(6分)【详解】(1) 解：是，理由如下： 在aCHB中，CH=2.4,HB=1.8,CB=3, ∴.CH2=2.42=5.76HB2=1.82=3.24CB2=9 ∴.CH2+HB2=BC2 ∴.CH⊥BH, ∴.CH是从村庄C到河边的最近路：…(3分) (2)解：设AC=x,则AB=AC=x, .AH=AB-BH=x-1.8. 在Rt△AHC中，AH+CH=AC2, ∴(x-1.8)}2+2.42=x2 解得：x=2.5. 即AC的长为2.5千米.…(3分) 24.(6分)【详解】(1)解：：BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线，∠ABC=40°，∠ACB= 80°， LCBF=20°，∠BCF=40°， 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴LBFC=180°-LCBF-∠BCF=120°， LDFE=∠BFC=120°：…(3分) (2)证明：过点F作FPLAB于点P,FG1BC于点G,FOLAC于点O, BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线， ..FP-FG-FO, ∠ABC=40°，∠BCF=40°， LFEP=∠ABC+LBCF=80°， ∠FBC=20°，∠ACB=80°， ∴LFD0=180°-∠FBC-∠ACB=80°， LFEP=∠FDQ, 在△FEP与△FDQ中， ∠FEP-∠FDO ∠FPE=∠FQD FP=FD △FEP≌△FDO(AAS), EF=DF.(3分) 25.(6分) 【详解】()解：依题意，。-12a+35=d-12a+36-1=(a-6-1=(a-7)a-5),…（2分) (2)解：M=a2-3a+1 =d-3a+- 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :a-3≥0 2 5 M的最小值为4：…(2分) (3)解：a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0, a2-2ab+b2+b2+4b+4+c2-6c+9=0. ∴.(a-b)2+(b+2)2+(c-3)2=0 又a-b≥0.(6+2}≥0(c-3y≥0 ∴.a-b=0,b+2=0,c-3=0, ∴a=b=-2,c=3, a+b+c=-2-2+3=-1.…(2分) 26.(8分) 【详解】解：(1)△ABC中，∠B=60°，∠C=30°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=90°， AB=2, ∴.BC=2AB=4, AD⊥BC, .∠ADB=90°， .∠BAD=90°-∠B=30°， :041, .CD=BC-BD=3, 故答案为1,3：…(2分) (2)在CD上截取DE=BD,连接AE, :AD⊥BC,DB=DE 6/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB=AE,…(1分) AB+BD=CD,CD=CE+DE, .CE=AB=AE,…(1分) ·∠B=∠AEB,LC=∠CAE .∠B=2∠C. .∠B+∠C=180°-∠A=180°-75°=105°. .∠C=35°；…(1分) (3)如图，在AC上截取AF=AB,连接EF, :AE平分∠BAC, .∠BAE=∠CAE, AB=AF,AE=AE ∴.△ABE2△AFE,…(1分) ∴.∠AFE=∠B,BE=FE .∠B=2∠C,∠B=∠AFE=∠C+∠CEF. .∠C=∠CEF, .EF=CF=BE,…(1分) .AB+BE=AF+CF=AC.·(1分) 27.(9分) 【详解】解：(1)在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E,连接DE、CE'、CE, 在△CDE'中，CE+DE>CD(三角形两边之和大于第三边)，…(1分) ~实物C与点C'关于平面镜AB对称， ∴AB垂直平分CC', CE=CE,…(1分) CE=CE”(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)，…(1分) 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .C'D=CE+DE,CE'+DE'>CD .CE'+DE'>CE+DE. 故答案为：三角形两边之和大于第三边：C"E;线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 (2)如图，作A关于I的对称点，连接AB,A'C并延长交EF分别为Q,P,则点P和点Q即为所求 】 P B …(3分) 图4 (3)如图，作点P关于OA的对称点P',过点P'作P'E⊥OB于点E,交OA于点D, E B P'E P'D+DE PD+DE =10cm, 过点P作PF⊥PD于F, ..PC=8cm. ..EF=PC=8cm ∴.P'F=10-8=2(cm) …(2分) :光线射出经过镜面D处反射到地面E点， .∠ADP=∠ODE=90°-60°=30°. 又：∠ODE=∠ADP=30°， .∠PDP'=60 8/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△PDP是等边三角形 ∴.P'F=DF=2cm」 ∴.PD=P'D=4cm.…(1分) 9/9 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级数学上册第1章三角形、第2章实数的初步认识+八年级数学下册第9章因式分解、第10章分式。 第一部分（选择题 共２４分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（    ） A．2，3，4 B．5，6，12 C．1，5，9 D．2，5，7 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知，，则代数式的值为（    ） A． B．30 C． D． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共７６分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若分式有意义，则x的取值范围是_________________． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为______． 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，，平分，于点M，点N是射线上的一个动点，若，则线段长的最小值是______． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当______时，分式的值比分式的值大1． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是__________．    14．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则________． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 16．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，等边，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD=CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE=45°，的面积为9，则DB=___． 三、解答题（本大题共10小题，满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）分解因式： (1)； (2)． 18．（4分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 19．（4分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 20．（4分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知：如图，射线和线段有公共端点． (1)①作线段的垂直平分线，交射线于点P； ②过P作射线，使 （以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）． (2)若，连接，则______． 21．（4分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，点、在上，且．求证：． 22．（5分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 23．（6分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 24．（6分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CE交于点F． （1）求∠DFE的度数； （2）求证：EF＝DF． 25．（6分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：___________； (2)若，则的最小值为___________； (3)已知，求的值． 26．（8分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）【问题引入】 （1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】 （2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 27．（9分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与实践： 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上补全证明过程． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（______）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ______，（______）， ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图步骤） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，求的长． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级数学上册第1章三角形、第2章实数的初步认识+八年级数学下册第9章因式分解、第10章分式。 第一部分（选择题 共２４分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题３分，满分２４分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（    ） A．2，3，4 B．5，6，12 C．1，5，9 D．2，5，7 【答案】A 【详解】解：A：∵， ∴可以构成三角形； B：∵， ∴不能构成三角形； C：∵， ∴不能构成三角形； D：∵， ∴不能构成三角形． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式，共个． 故选：B 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、分解错误，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，为的高， ∴平分，， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵是上的高，且， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：长和宽组成的长方形的对角线长为， 这根吸管经过矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形， 吸管的总长度为． 故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知，，则代数式的值为（    ） A． B．30 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ； 故选C． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【详解】解：∵， 方程两边乘，得 ， ， ， ∴ ． ∵ 解为非负数， ∴ ，即 ， ∴ ． 又 ∵ 分母 ， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上， 且 ． 故选：A． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 第二部分（非选择题 共７６分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题２分，满分１６分） 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若分式有意义，则x的取值范围是_________________． 【答案】 【详解】解：由分式有意义的条件，分母，解得； 故答案为． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：∵关于x的多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，，平分，于点M，点N是射线上的一个动点，若，则线段长的最小值是______． 【答案】2 【详解】解：过点P作于点H，如图所示： ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， 根据点到直线垂线段最短可知：线段长的最小值即为的长， ∴线段长的最小值是2； 故答案为2． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当______时，分式的值比分式的值大1． 【答案】 【详解】解：根据题意，得方程：， ， ， ， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是__________．    【答案】14 【详解】解：、分别是的高，为的中点，， 在中，， 在中，， 又， 的周长． 故答案为：14． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，，，则________． 【答案】 【详解】解：连接，， ∵是的平分线，，， ∴，，，     ∴， ∴，     ∵是的垂直平分线，     ∴，     ∴，     ∴，     ∴，     ∵，，     ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【答案】 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 16．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，等边，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD=CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE=45°，的面积为9，则DB=___． 【答案】6 【详解】解：如图，过点D作，与AB的延长线交于点G，过点E作于点H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是：6． 三、解答题（本大题共10小题，满分６０分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：．……（２分） （2）解：．……（２分） 18．（4分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）解： ；……（２分） （2）解： ．……（２分） 19．（4分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ；……（２分） （2）解： ……（２分） 20．（４分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知：如图，射线和线段有公共端点． (1)①作线段的垂直平分线，交射线于点P； ②过P作射线，使 （以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）． (2)若，连接，则______． 【详解】（１）图形如图所示： ……（２分） (2) 点P在线段的垂直平分线上， ， ， ∵， ， ．……（２分） 21．（4分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，点、在上，且．求证：． 【详解】 证明：∵ ∴……（１分） 在中， ∴．……（３分） 22．（５分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【详解】解： 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得：， 解得：，……（２分） 经检验，为原方程的解，且符合题意，……（１分） 则，……（１分） ∴种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料．……（１分） 23．（6分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【详解】(1) 解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路；……（３分） （2）解：设，则， ， 在中，， ， 解得：， 即的长为千米．……（３分） 24．（6分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CE交于点F． （1）求∠DFE的度数； （2）求证：EF＝DF． 【详解】（1）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°， ∴∠CBF＝20°，∠BCF＝40°， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝120°， ∴∠DFE＝∠BFC＝120°；……（３分） （2）证明：过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q， ∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴FP＝FG＝FQ， ∵∠ABC＝40°，∠BCF＝40°， ∴∠FEP＝∠ABC+∠BCF＝80°， ∵∠FBC＝20°，∠ACB＝80°， ∴∠FDQ＝180°﹣∠FBC﹣∠ACB＝80°， ∴∠FEP＝∠FDQ， 在△FEP与△FDQ中， ， ∴△FEP≌△FDQ（AAS）， ∴EF＝DF．（３分） 25．（６分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：___________； (2)若，则的最小值为___________； (3)已知，求的值． 【详解】（1）解：依题意，，……（２分） （2）解： ， ， 的最小值为；……（２分） （3）解：， ， ， 又，，， ，，， ，， ……（２分） 26．（８分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）【问题引入】 （1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】 （2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 【详解】解：（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为1，3；……（２分） （2）在上截取，连接， ∵， ∴，……（１分） ∵，， ∴，……（１分） ∴， ∴， ∵， ∴；……（１分） （3）如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴，……（１分） ∴， ∵，， ∴， ∴，……（１分） ∴．……（１分） 27．（９分）（25-26八年级上·江苏苏州·期中）综合与实践： 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上补全证明过程． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（______）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ______，（______）， ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图步骤） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，求的长． 【详解】解：（1）在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接、、， 在中，（三角形两边之和大于第三边），……（１分） 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ，……（１分） （线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等），……（１分） ，， ． 故答案为：三角形两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等． （2）如图，作关于的对称点，连接，并延长交分别为，，则点和点即为所求． ……（３分） （3）如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点， 则， 过点作于， ， ． ．……（２分） 光线射出经过镜面处反射到地面点， ． 又， ． 是等边三角形． ． ．……（１分） 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $