第二十五章 一元二次方程 单元检测卷-2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章 一元二次方程单元检测卷 （时间：120分钟 满分：100分） 一．选择题（每小题2分，共15小题，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 2．若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 3．把一元二次方程x（4x﹣1）＝2x+3化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．4，1，3 B．4，﹣3，﹣3 C．4，﹣2，3 D．1，﹣3，﹣3 4．一元二次方程x（x﹣1）＝x的根为（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝1 5．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　） A．8 B． C．9 D．10 6．下列方程中，没有实数根的是（　　） A．2x2＝x B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣x﹣9＝0 D．3x2＝2x﹣1 7．若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 8．用配方法解方程x2+10x+7＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+5）2＝18 B．（x+5）2＝3 C．（x+5）2＝32 D．（x+5）2＝17 9．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 10．已知代数式x2﹣2x﹣3与﹣x﹣1互为相反数，则x的值是（　　） A．﹣1，2 B．﹣1，4 C．1，﹣2 D．1，﹣4 11．已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 12．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（　　） A．1+x+x2＝64 B．x（x+1）＝64 C．（1+x）2＝64 D．2x（x+1）＝64 13．已知方程x2﹣9x+14＝0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 14．某校计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为248平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为（　　） A．（20﹣2x）（15﹣x）＝248 B．20x+2×15x﹣2x2＝248 C．20×15﹣20x﹣15x+2x2＝248 D．（20﹣x）（15﹣x）＝248 15．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+5＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k D．k且k≠0 二．填空题（每小题2分，共4小题，共8分） 16．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0没有实数根，则k的取值范围为___________． 17．关于x的方程是一元二次方程，则m为_____． 18．某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了28场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有x个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为 ___________________ ． 19．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3×3积幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“3×3积幻方”只呈现了4个小方格中的数，则其中x的值是_______． 三．解答题（共8小题，共62分） 20．(8分)解下列方程： （1）x2+8x＝9（用配方法解）； （2）3x2﹣5x＝2（用公式法解）. 21．(7分)用合适的方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）（x+3）2＝2x+6． 22．(6分)某农产品公司购进一批红枣，六月份售出500袋，七，八月份销量持续上升，八月份售出720袋．求七，八这两个月的月平均增长率． 23．(6分)中华人民共和国国旗上有五颗极富美感的正五角星，这种视觉上的美感与正五角星中线段的比例有一定关系．在如图所示的正五角星中，线段AB上AC与CB的比等于CB与AB的比，这个比值是多少？ 24．(7分)在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“x（x+1）＝﹣3x﹣3”让同学们解答，甲、乙两位同学的做法如表所示． 甲同学 解：原方程可化为x（x+1）＝﹣3（x+1） 即（x+1）（x+3）＝0， 当x+1＝0时，解得x＝﹣1， 当x+3＝0时，解得x＝﹣3， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣3． 乙同学 解：原方程可化为x2+4x＝3， x2+4x+4＝3+4， （x+2）2＝7， ∴， ∴，． （1）小组在交流过程中发现有一位同学做错了，则做错的是_____ 同学（填“甲”或“乙”）； （2）根据做错的同学所使用的方法写出正确的解答过程． 25．(8分)已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求m的值． 26．(8分)某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件，经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价x元． （1）降价后每件衬衫的盈利为____________ 元，降价后每天可售出的衬衫____________________ 件；（用含x的代数式表示） （2）若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 27．(12分)定义：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根是x1＝1，x2＝2，此时|x1﹣x2|＝|1﹣2|＝1，则方程x2﹣3x+2＝0是“邻根方程”．（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是_____ （填序号）． ①x2＝1；②x2+4x+4＝0；③x2﹣x＝0． （2）已知方程（x﹣k）（x﹣3）＝0是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程x2﹣bx+c＝0是“邻根方程”，求证：b+2c+1≥0． 第二十五章 一元二次方程单元检测卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝1 B．3x+2y＝1 C． D．ax2+bx+c＝0 解：A、x2﹣5x＝1，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、3x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0可得4﹣6+a＝0， 解得a＝2， 故选：A． 3．把一元二次方程x（4x﹣1）＝2x+3化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．4，1，3 B．4，﹣3，﹣3 C．4，﹣2，3 D．1，﹣3，﹣3 解：x（4x﹣1）＝2x+3， 4x2﹣x＝2x+3， 4x2﹣x﹣2x﹣3＝0， 4x2﹣3x﹣3＝0， ∴二次项系数是4、一次项系数是﹣3、常数项是﹣3， 故选：B． 4．一元二次方程x（x﹣1）＝x的根为（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝1 解：x（x﹣1）﹣x＝0， x（x﹣1﹣1）＝0， x＝0或x﹣1﹣1＝0， 所以x1＝0，x2＝2． 故选：C． 5．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　） A．8 B． C．9 D．10 解：∵关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＝36﹣4k＞0， 解得：k＜9， ∴k的可能值为8． 故选：A． 6．下列方程中，没有实数根的是（　　） A．2x2＝x B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣x﹣9＝0 D．3x2＝2x﹣1 解：将各选项方程化为一般式ax2+bx+c＝0，再根据一元二次方程的判别式Δ＝b2﹣4ac，判断是否有实数根如下： A．2x2＝x化成一般式为2x2﹣x＝0，由Δ＝（﹣1）2﹣4×2×0＝1＞0，则方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．x2+2x+1＝0，由Δ＝22﹣4×1×1＝0，则方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．x2﹣x﹣9＝0由Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣9）＝37＞0，则方程有两个不等的实数根，不符合题意； D．3x2＝2x﹣1化成一般式为3x2﹣2x+1＝0，由Δ＝（﹣2）2﹣4×3×1＝﹣8＜0，则方程没有实数根，符合题意． 故选：D． 7．若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 解：由条件可知两根满足，， 在方程x2﹣4x+3＝0中，a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴，， 又∵， 代入x1+x2＝4，x1x2＝3， 得． 故选：C． 8．用配方法解方程x2+10x+7＝0时，配方后正确的是（　　） A．（x+5）2＝18 B．（x+5）2＝3 C．（x+5）2＝32 D．（x+5）2＝17 解：原方程移项可得： x2+10x＝﹣7， x2+10x+25＝﹣7+25， （x+5）2＝18． 故选：A． 9．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 解：∵x2+kx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 10．已知代数式x2﹣2x﹣3与﹣x﹣1互为相反数，则x的值是（　　） A．﹣1，2 B．﹣1，4 C．1，﹣2 D．1，﹣4 解：∵代数式x2﹣2x﹣3与﹣x﹣1互为相反数， ∴x2﹣2x﹣3﹣x﹣1＝0， x2﹣3x﹣4＝0， a＝1，b＝﹣3，c＝﹣4， b2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4） ＝9+16 ＝25， ， x1＝4，x2＝﹣1， 故选：B． 11．已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 解：由题意，∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4， 当第三边为4时，6﹣3＜4＜6+3，能构成三角形， ∴周长为3+6+4＝13； 当第三边为2时，2+3＝5，不能构成三角形，不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为13， 故选：C． 12．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（　　） A．1+x+x2＝64 B．x（x+1）＝64 C．（1+x）2＝64 D．2x（x+1）＝64 解：由题意，∵经过两轮传染后，共64人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人， ∴（x+1）+x（x+1）＝64， ∴（1+x）2＝64． 故选：C． 13．已知方程x2﹣9x+14＝0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 解：∵x2﹣9x+14＝0， ∴（x﹣7）（x﹣2）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣7＝0， 解得x＝2或x＝7， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 故选：D． 14．某校计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为248平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为（　　） A．（20﹣2x）（15﹣x）＝248 B．20x+2×15x﹣2x2＝248 C．20×15﹣20x﹣15x+2x2＝248 D．（20﹣x）（15﹣x）＝248 解：根据矩形的面积公式可列出关于x的一元二次方程：（20﹣2x）（15﹣x）＝248． 故选：A． 15．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+5＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k D．k且k≠0 解：由条件可知k≠0， ∵方程有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×k×5≥0，即16﹣20k≥0， 解得， 综上，k的取值范围是且k≠0． 故选：A． 二．填空题（共4小题） 16．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，则k的取值范围为k　 ． 解：由条件可得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×k<0， 解得：k． 故答案为：k． 17．关于x的方程是一元二次方程，则m为　3　 ． 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴m＝3． 故答案为：3． 18．某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了28场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有x个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为 　28　 ． 解：根据题意得：28． 故答案为：28． 19．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3×3积幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“3×3积幻方”只呈现了4个小方格中的数，则其中x的值是　16　 ． 解：9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等． 根据题意，可得x（x﹣14）＝（x+16）×1， 去括号，得x2﹣14x＝x+16， 移项，得x2﹣14x﹣x﹣16＝0， 合并同类项，得x2﹣15x﹣16＝0， 因式分解，得（x﹣16）（x+1）＝0， 解得x1＝16，x2＝﹣1， ∵9个小方格中的正整数互不相等， ∴x＝16，即x的值是16． 故答案为：16． 三．解答题（共8小题） 20．解下列方程： （1）x2+8x＝9（用配方法解）；（2）3x2﹣5x＝2（用公式法解）. 解：（1）x2+8x+16＝25， （x+4）2＝25， x+4＝±5， 所以x1＝1，x2＝﹣9； （2）方程化为一般式为3x2﹣5x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49， ∴x， ∴x1＝2，x2； 21．用合适的方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣8＝0；（2）（x+3）2＝2x+6． 解：（1）x2﹣2x﹣8＝0， （x﹣4）（x+2）＝0， x﹣4＝0或x+2＝0， x1＝4，x2＝﹣2； （2）（x+3）2﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x+3﹣2）＝0， x+3＝0或x+3﹣2＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝﹣1． 22．某农产品公司购进一批红枣，六月份售出500袋，七，八月份销量持续上升，八月份售出720袋．求七，八这两个月的月平均增长率． 解：设七，八这两个月的月平均增长率是x， 由题意得：500（1+x）2＝720， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：七，八这两个月的月平均增长率是20%． 23．中华人民共和国国旗上有五颗极富美感的正五角星，这种视觉上的美感与正五角星中线段的比例有一定关系．在如图所示的正五角星中，线段AB上AC与CB的比等于CB与AB的比，这个比值是多少？ 解：设AB＝1，BC＝x，则AC＝AB﹣BC＝1﹣x， ∵线段AB上AC与CB的比等于CB与AB的比， ∴， ∴BC2＝AB•AC， ∴x2＝1•（1﹣x）， 整理得：x2+x﹣1＝0， 解得：x1，x2（舍去）， ∴， ∴这个比值是． 24．在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“x（x+1）＝﹣3x﹣3”让同学们解答，甲、乙两位同学的做法如表所示． 甲同学 解：原方程可化为x（x+1）＝﹣3（x+1） 即（x+1）（x+3）＝0， 当x+1＝0时，解得x＝﹣1， 当x+3＝0时，解得x＝﹣3， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣3． 乙同学 解：原方程可化为x2+4x＝3， x2+4x+4＝3+4， （x+2）2＝7， ∴， ∴，． （1）小组在交流过程中发现有一位同学做错了，则做错的是　乙　 同学（填“甲”或“乙”）； （2）根据做错的同学所使用的方法写出正确的解答过程． 解：（1）甲用因式分解法，移项后提取公因式得到（x+1）（x+3）＝0，求解过程完全正确；乙在移项时出现符号错误，将﹣3x移到左边后，右边的常数项﹣3错误写成了3，违背了等式移项要变号的规则，因此乙做错了． 故答案为：乙； （2）原方程先展开移项整理：x（x+1）＝﹣3x﹣3， x2+x＝﹣3x﹣3， 移项得：x2+4x＝﹣3， 配方得：x2+4x+4＝﹣3+4， 即（x+2）2＝1， 开平方得：x+2＝±1， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣3． 25．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求m的值． （1）证明：Δ＝（m﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣4m+4+4m ＝m2+4， ∵m2≥0， ∴m2+4≥4＞0， 即Δ＞0恒成立， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系： x1+x2＝﹣（m﹣2）＝2﹣m，x1x2＝﹣m， （x1+1）（x2+1）＝﹣1， x1x2+x1+x2+1＝﹣1， ﹣m+2﹣m+1＝﹣1， 解得m＝2． 26．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件，经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价x元． （1）降价后每件衬衫的盈利为　（120﹣x）　 元，降价后每天可售出的衬衫　（20）　 件；（用含x的代数式表示） （2）若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 解：（1）设每件衬衫降价x元，则降价后每件衬衫的盈利为420﹣x﹣300＝（120﹣x）元，每天可售出的衬衫201＝（20）件． 故答案为：（120﹣x），（20）； （2）根据题意得：（120﹣x）（20）＝1920， 整理得：x2+80x﹣4800＝0， 解得：x1＝40，x2＝﹣120（不符合题意，舍去）． 答：每件衬衫应降价40元． 27．定义：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且|x1﹣x2|＝1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根是x1＝1，x2＝2，此时|x1﹣x2|＝|1﹣2|＝1，则方程x2﹣3x+2＝0是“邻根方程”．（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　③　 （填序号）． ①x2＝1；②x2+4x+4＝0；③x2﹣x＝0． （2）已知方程（x﹣k）（x﹣3）＝0是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程x2﹣bx+c＝0是“邻根方程”，求证：b+2c+1≥0． （1）解：一元二次方程x2＝1的两个根是x1＝1，x2＝﹣1，此时|x1﹣x2|＝|﹣1﹣1|＝2≠1，故方程x2＝1不是“邻根方程”； 一元二次方程x2+4x+4＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝﹣2，此时|x1﹣x2|＝|﹣2﹣（﹣2）|＝0≠1，故方程x2+4x+4＝0不是“邻根方程”； 一元二次方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝1，x2＝0，此时|x1﹣x2|＝|1﹣0|＝1，故方程x2﹣x＝0是“邻根方程”； 故答案为：③； （2）解：解方程（x﹣k）（x﹣3）＝0，得x1＝k，x2＝3， 方程（x﹣k）（x﹣3）＝0是“邻根方程”， ∴|k﹣3|＝1， ∴k﹣3＝1或k﹣3＝﹣1， 解得k＝2或k＝4． （3）证明：设方程x2﹣bx+c＝0的两个根为x1，x2， 则x1+x2＝b，x1x2＝c，且Δ＝（﹣b）2﹣4×1×c＝b2﹣4c≥0， ∵方程x2﹣bx+c＝0是“邻根方程”， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴， ∴， ∴b2﹣4c＝1， ∴， ∴ ， 而（b+1）2≥0， ∴， 故b+2c+1≥0． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/14 21:56:13；用户： 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $