第二十五章 《一元二次方程》单元测试卷 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章《一元二次方程》单元测试卷 人教版九年级数学上册 （满分100分，建议用时90分钟） 学校：__________　班级：__________　姓名：__________　得分：__________ 一、基础巩固（共40分） （一）选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2. 一元二次方程 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，3，−1 B．2，−3，−1 C．2，−3，1 D．2，3，1 3. 若 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值为（　　） A．1 B．−1 C．0 D．2 4. 方程 的解是（　　） A． B． C． D． 5. 用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（　　） A． B． C． D． 6. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． （二）填空题（每小题3分，共12分） 7. 若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是________。 8. 将方程 化为一般形式为________，它的一次项系数是________。 9. 若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 = ________。 10. 如图，一块矩形菜地的长比宽多 3 m，面积是 40 m²。设菜地的宽为 m，则可列方程________，菜地的宽为________m。 （三）解答题（共10分） 11.（5分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 12.（5分）已知关于 的一元二次方程 的一个根是 1，求 的值及方程的另一个根。 二、综合运用（共40分） 13.（8分）已知关于 的一元二次方程 。 （1）求证：无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若 x = 1 是该方程的一个根，求 m 的值及方程的另一个根。 14.（8分）某公司 2024 年的营业额为 500 万元，2026 年的营业额为 720 万元。若这两年营业额的增长率相同，求这两年的平均增长率。 15.（8分）如图，某小区计划在一块长 32 m、宽 20 m 的矩形空地 ABCD 上修建三条同样宽的道路，其中两条道路与 AD 平行，另一条道路与 AB 平行，其余部分种草。若种草面积为 504 m²，求道路的宽度。 16.（8分）某商店销售一种玩具，每件进价 100 元，售价 150 元时每天可售出 30 件。为了促销，每件每降价 1 元，每天可多售出 2 件。若商店要使每天销售这种玩具的利润为 2000 元，且为了尽可能减少库存，每件玩具应降价多少元？ 17.（8分）已知关于 的一元二次方程 有实数根。 （1）求 m 的取值范围； （2）若 m 取满足条件的最大整数，求此时方程的根。 三、拓展题（共20分） 18.（6分）【新定义】若一元二次方程 （）满足 ，则称这样的方程为“和谐方程”。 （1）判断方程 是否为“和谐方程”，并说明理由； （2）若关于 x 的方程 （）是“和谐方程”，求 m 的值及方程的根； （3）试说明：“和谐方程”一定有一个根为 1。 19.（6分）如图，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6 cm，BC = 8 cm。点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以 1 cm/s 的速度向点 B 移动；同时点 Q 从点 B 出发，沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动。设移动时间为 s，问：当 为何值时，△PBQ 的面积等于 8 cm²？ 20.（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感。 （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人； （2）若流感得不到有效控制，经过三轮传染后，患流感的人数会不会超过 700 人？请说明理由。 参考答案与解析 一、选择题答案速查：1. D　2. B　3. A　4. C　5. A　6. A 一、基础巩固 1. D　【解析】A 化简后为 ，是一元一次方程，不符合；B 中 m 的取值不确定，若 m = 1 就不是一元二次方程；C 中分母含未知数 x，是分式方程；D 只含一个未知数 x，最高次数是 2，且二次项系数 2 ≠ 0，是一元二次方程。故选 D。 2. B　【解析】 移项得 ，所以二次项系数为 2，一次项系数为 −3，常数项为 −1。故选 B。 3. A　【解析】把 代入方程得 1 − a + b = 0，即 a − b = 1。故选 A。 4. C　【解析】移项得 ，提公因式得 ，所以 。注意：方程两边不能直接约去 (x − 3)，否则会漏掉根 x = 3。故选 C。 5. A　【解析】，移项得 ，两边同加 9 得 ，即 。故选 A。 6. A　【解析】方程有两个不相等的实数根，则 ，解得 。故选 A。 二、填空题 7. 。　【解析】一元二次方程要求二次项系数不为 0，即 m − 2 ≠ 0，所以 m ≠ 2。 8. ；−5。　【解析】 去括号得 ，移项得 ，所以一次项系数是 −5。 9. 1。　【解析】方程有两个相等的实数根，则 ，解得 k = 1。 10. （或 ）；5。　【解析】长为 (x + 3) m，由面积为 40 m² 得 ，整理得 ，因式分解得 ，解得 （不合题意，舍去），，所以菜地的宽为 5 m。 三、解答题 11.（5分） （1）用直接开平方法：由 得 ，即 2x − 1 = 3 或 2x − 1 = −3，所以 。 （2）因式分解得 ，所以 。 12.（5分）把 x = 1 代入方程得 1 − 4 + m = 0，解得 m = 3。此时方程为 ，因式分解得 ，所以 ，即方程的另一个根是 3。 二、综合运用 13.（8分） （1）证明：。因为 ，所以 ，即 Δ > 0。因此无论 m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根。 （2）把 x = 1 代入方程得 1 + (m − 3) − 2m = 0，即 −m − 2 = 0，解得 m = −2。此时方程为 ，因式分解得 ，所以 ，即方程的另一个根为 4。 14.（8分）设这两年营业额的年平均增长率为 x。2024 年为 500 万元，2025 年为 万元，2026 年为 万元。由题意得 ，即 ，所以 。取 得 x = 0.2 = 20%； 得 x = −2.2，不合题意，舍去。答：年平均增长率为 20%。 15.（8分）设道路的宽为 x m。将三条道路分别平移到矩形的边上，种草部分可看成一个长为 m、宽为 m 的矩形。由题意得 。整理得 ，即 。由公式法，，所以 ，即 。因为道路的宽必须小于矩形的宽 20 m，所以 x = 34 不合题意，舍去，取 x = 2。答：道路的宽为 2 m。 16.（8分）设每件玩具降价 x 元。降价后每件的利润为 元，每天的销量为 件。由题意得 。整理得 ，即 ，因式分解得 ，所以 。为了尽可能减少库存，应取较大的降价，故 x = 25。答：每件玩具应降价 25 元。 17.（8分） （1）方程有实数根，则 ，解得 。 （2）m 取满足条件的最大整数，即 m = 2。此时方程为 ，即 ，所以 。 三、拓展题 18.（6分） （1）是“和谐方程”。理由：，满足“和谐方程”的定义。 （2）因为该方程是“和谐方程”，所以 ，即 ，解得 m = −2。此时方程为 ，即 ，所以 。 （3）在方程 中，把 x = 1 代入左边，得 。因为 ，所以 x = 1 使方程的左右两边相等，故 x = 1 一定是“和谐方程”的一个根。 19.（6分）由题意， cm， cm，所以 cm。因为 ∠B = 90°，所以△PBQ 是直角三角形，。由 得 ，因式分解得 ，所以 。因为点 Q 到达点 C 需 s，点 P 到达点 B 需 s，所以 0 ≤ t ≤ 4， 和 都符合题意。答：当 t = 2 s 或 t = 4 s 时，△PBQ 的面积等于 8 cm²。 20.（8分） （1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人。第一轮后共有 (1 + x) 人患病；第二轮中这 (1 + x) 人每人又传染 x 人，所以两轮后共有 人患病。由题意得 ，所以 。取 得 x = 8； 不合题意，舍去。答：每轮传染中平均一个人传染了 8 个人。 （2）会超过 700 人。理由：经过三轮传染后，患流感的人数为 （人），因为 729 > 700，所以经过三轮传染后患流感的人数会超过 700 人。 学科网（北京）股份有限公司 $