第二十六章 二次函数单元检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

二十六章 二次函数单元检测卷 （时间：120分钟 满分：100分） 一．选择题（每小题2分，共15小题，共30分） 1．抛物线y＝﹣x2+4的开口方向和对称轴分别是（　　） A．向上，直线x＝0 B．向上，直线x＝4 C．向下，直线x＝0 D．向下，直线x＝4 2．下列函数中是二次函数的（　　） A．y＝x+1 B．y＝3（x﹣1）2﹣3x C．y＝（x+3）2﹣x2 D． 3．已知抛物线的表达式y＝x2﹣6x+7，则它的顶点坐标为（　　） A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（3，7） D．（﹣3，7） 4．已知二次函数y＝x2﹣3x+2，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（　　） A．a＝2，b＝﹣3，c＝1 B．a＝2，b＝3，c＝1 C．a＝1，b＝3，c＝2 D．a＝1，b＝﹣3，c＝2 5．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图．其中b，c的值可能是（　　） A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＞0，c＞0 D．b＜0，c＜0 6．若是二次函数，则m的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．0 7．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣4，则原抛物线的表达式为（　　） A．y＝x2﹣2x﹣2 B．y＝x2+2x+2 C．y＝x2﹣2x+2 D．y＝x2+2x﹣2 8．已知函数y＝x2+2x+k﹣3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 9．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的坐标如下表所示，下列说法错误的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … m ﹣4 m ﹣8 ﹣13 … A．对称轴是直线x＝﹣2 B．抛物线开口向下 C．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大 D．当x＝﹣4时，y＝﹣13 10．点P1（﹣1，y1），P2（1，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 11．二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．6 B．8 C．9 D．18 12．已知二次函数y＝2（x﹣h）2，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（　　） A．h＝3 B．h＜3 C．h≤3 D．h≥3 13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．abc＜0 D．b＝2a 15．端午小长假成都某热门景点根据去年人流量预测今年入口处游客数量y（人）与开放时间x（min）近似满足二次函数关系y＝﹣0.2ax2+20ax（a＞0），下列说法正确的是（　　） A．景点开放后，入口处游客数量始终在增加 B．开放100min时，入口处游客数量达到峰值 C．开放40min和60min时，入口处游客数量一样多 D．该函数图象的对称轴是y轴 二．填空题（每小题2分，共4小题，共8分） 16．若二次函数y＝3（x+m）2的对称轴是直线x＝﹣3，则m＝_____ ． 17．二次函数y＝x2﹣x﹣6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为_______ ． 18．若二次函数y＝x2+4x+m（m为常数）的最小值为3m，则m的值为_______ ． 19．一种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t+2．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____ s． 三．解答题（共8小题，共62分） 20．（6分）将二次函数y＝2x2+4x﹣1的表达式用配方法化为y＝a（x+m）2+h的形式，并指出该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 21．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+6． （1）当x为何值时，y有最值？是多少？ （2）当﹣2≤x≤1时，求函数的最值． 22．（7分）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣3． （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）根据表格、图象可知，当0＜x＜3时，y的取值范围是___________ ； （3）根据图象可知，当x_______ 时，y随x的增大而增大． 23．（7分）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点B（0，3），其顶点为C，对称轴为直线x＝1． （1）求顶点C的坐标及抛物线的函数表达式； （2）求△ABC的面积． 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．点P在该抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当△PAD的面积是3时，求点P的坐标． 25．（8分）已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+1交于A（﹣1，0），B（2，3）两点． （1）求b，c的值； （2）点M的横坐标为t，且点M在该抛物线上，点N在该直线上，且MN平行于y轴．当﹣1＜t＜2时，求线段MN长度的最大值． 26．（8分）在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （2）是否存在t的值，使△BPQ的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 27．（12分）中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元/盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低x元/盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为y元． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （3）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 二十六章 二次函数单元检测卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．解：抛物线解析式可得a＝﹣1＜0，b＝0，c＝4． ∴抛物线开口向下． 对称轴：，即直线x＝0． 故选：C． 2．解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、y＝3（x﹣1）2﹣3x＝3x2﹣9x+3，是二次函数，故此选项符合题意； C、y＝（x+3）2﹣x2＝6x+9，是一次函数，故此选项不符合题意； D、含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．解：∵y＝x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2， ∴它的顶点坐标为（3，﹣2）． 故选：B． 4．解：根据二次函数一般式相关概念可知二次函数y＝x2﹣3x+2为一般形式， ∴二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，常数项c＝2． 故选：D． 5．解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴x0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0． 故选：C． 6．解：∵是二次函数， ∴m2﹣2＝2且m+2≠0， 解m2﹣2＝2得：m＝2或m＝﹣2， 解m+2≠0得：m≠﹣2， ∴m＝2． 故选：B． 7．解：由题意得，y＝x2﹣4x﹣4＝（x2﹣4x+4）﹣4﹣4＝（x﹣2）2﹣8， ∵抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8， ∴反过来，新抛物线先向上平移5个单位，再向左平移3个单位可得原抛物线为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x+1﹣3＝x2+2x﹣2， 故选：D． 8．解：∵函数y＝x2+2x+k﹣3的图象与x轴有交点， ∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（k﹣3）≥0， 解得k≤4， 故选：D． 9．解：由条件可知抛物线的对称轴为直线 ，故A选项正确，不符合题意； ∵x＝﹣2时，y＝﹣4，x＝0时，y＝﹣8， ∴抛物线的开口向下， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，即x＜﹣2时，y随x的增大而增大， ∴B，C选项正确，不符合题意； ∵1﹣（﹣2）＝3，﹣2﹣3＝﹣5， ∴当x＝﹣5和x＝1时，函数值相等， 即x＝﹣5时，y＝﹣13， ∴D选项错误，符合题意． 故选：D． 10．解：二次函数的对称轴为直线． ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点P1到对称轴的距离为|﹣1﹣1|＝2． 点P2到对称轴的距离为|1﹣1|＝0． 点P3到对称轴的距离为|4﹣1|＝3． ∵3＞2＞0， ∴y3＞y1＞y2． 故选：D． 11．解：令y＝0，得x2﹣9＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣3， ∴A，B两点的坐标为（﹣3，0）和（3，0）， ∴线段AB的长为3﹣（﹣3）＝6， 故选：A． 12．解：∵y＝2（x﹣h）2，且2＞0， ∴开口向上，对称轴为直线x＝h， ∴当x＞h时，y随x的增大而增大， ∵当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴h≤3． 故选：C． 13．本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．解：∵对于二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），令x＝0，则y＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴的交点为（0，c）， ∵对于一次函数y＝mx+n，令x＝0，则y＝n， ∴一次函数y＝mx+n的图象与y轴的交点为（0，n）， ∵两个图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上， c＝n． 则不等式ax2+bx﹣mx≤0可变形为ax2+bx+c﹣mx≤c，即ax2+bx+c≤mx+n， ∴由图象可得，它的解集是﹣3≤x≤0． 故选：C． 14．解：A．∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故选项A错误； B．把x＝1代入y＝ax2+bx+c，得y＝a×12+b×1+c＝a+b+c， 由图象可知，x＝1对应点在x轴的下方，即y＜0， ∴a+b+c＜0，故选项B错误； C．∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0． ∵二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a＜0． ∵抛物线与y轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故选项C错误； D．∵二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a，故选项D正确． 故选：D． 15．解：由题意得，y＝﹣0.2ax2+20ax＝﹣0.2a（x2﹣100x+2500﹣2500）＝﹣0.2a（x﹣50）2+500a． A、∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝50， ∴x＜50时y递增，x＞50时y递减，并非始终增加，故A错误； B、由抛物线开口向下，最大值在对称轴直线x＝50处，不是100min，故B错误； C、由题意，开放40min和60min时， ∵40和60关于对称轴直线x＝50对称， ∴50﹣40＝10，60﹣50＝10， ∴抛物线上的对称点函数值相等，两处游客数量相同，故C正确； D、∵对称轴是直线x＝50， ∴不是y轴 （x＝0），故D错误． 故选：C． 二．填空题（共4小题） 16．解：∵二次函数y＝3（x+m）2， ∴该函数图象的对称轴为直线x＝﹣m， ∵二次函数y＝3（x+m）2的对称轴是直线x＝﹣3， ∴﹣m＝﹣3， ∴m＝3， 故答案为：3． 17．解：当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0， 解得x＝﹣2或3， 则 A（﹣2，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣6， 则C（0，﹣6）， ∴AB＝5，OC＝6， ∴S△ABCAB•OC＝15， 故答案为：15． 18．解：由条件可知二次函数图象开口向上，最小值为顶点的纵坐标， 函数配方得：y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4， ∴函数的最小值为m﹣4， 根据题意得：m﹣4＝3m， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 19．解：h＝﹣t2+8t+2＝﹣（t﹣4）2+18， ∵a＝﹣1＜0， ∴当t＝4时，h取得最大值， ∵这种礼炮在升空到最高点时引爆， ∴从点火升空到引爆需要的时间为4s． 故答案为：4． 三．解答题（共8小题） 20．解：∵y＝2x2+4x﹣1 ＝2（x2+2x）﹣1 ＝2（x2+2x+1）﹣2﹣1 ＝2（x+1）2﹣3， ∴该函数图象的开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1． 21．解：（1）将二次函数解析式配方成顶点式可得： y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+6＝﹣（x﹣2）2+10， ∵a＜0， ∴二次函数开口向下， ∴当x＝2时，y有最大值，最大值为10； （2）由（1）可得对称轴为直线x＝2， 当x＜2时，y随x的增大而增大， ∴由﹣2≤x≤1知，当x＝﹣2时，y取得最小值，最小值y＝﹣4﹣8+6＝﹣6， 当x＝1时，y取得最大值，最大值y＝﹣1+4+6＝9． 22．解：（1）列表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y＝（x﹣1）2﹣3 … 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 … 描点，连线画函数图象如下： （2）根据图象可知，当0＜x＜3时，y的取值范围是﹣3≤y＜1； 故答案为：﹣3≤y＜1； （3）∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大． 故答案为：＞1． 23．解：（1）根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为x＝1， 设另一个交点为（x0，0），则有， 解得x0＝﹣1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），A（3，0）， ∴设y＝a（x+1）（x﹣3）， 又∵抛物线过点B（0，3）， 代入x＝0、y＝3有3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3， ∵点C为顶点，即xC＝1代入有y＝﹣12+2×1+3＝4， 故C（1，4）． 综上，C（1，4），y＝﹣x2+2x+3； （2）记对称轴与AB交于点M， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵直线AB过点A（3，0），B（0，3）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， 令x＝1，则y＝﹣1+3＝2， ∴M（1，2）， ∴CM＝yC﹣yM＝2， ∴S△ABC＝S△BMC+S△AMC ＝3． 24．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）； （2）由题意可得P（m，m2﹣4m+3），D（2，0）， ∴AD＝1， ∴， 解得：， ∴或， 当△PAD的面积是3时，求点P的坐标为或． 25．解：（1）由条件可得： ， 解得：， 即b＝0，c＝﹣1； （2）由（1）得抛物线解析式为y＝x2﹣1， 又∵MN平行于y轴，M的横坐标为t； ∴M（t，t2﹣1），N（t，t+1）； ∵﹣1＜t＜2， ∴t2﹣1﹣（t+1）＝t2﹣t﹣2＝（t﹣2）（t+1）＜0， ∴； 又∵二次项系数﹣1＜0； ∴当时MN的长度最大值为． 26．解：（1）由题意得：（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得：t1＝0，t2＝2， ∴当t＝0或2时，PQ的长度等于10cm； （2）由题意得， ∵﹣4＜0， ∴当时，△BPQ的面积最大． 27．解：（1）售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元/盒时，每天可多售出5盒，则： 由题意，y＝（80﹣x﹣50）（100+5x）＝﹣5x2+50x+3000（0≤x≤30）； （2）当﹣5x2+50x+3000＝3120时， 解得x1＝6，x2＝4， ∵尽快减少库存， ∴x＝6，此时售价为80﹣6＝74（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； （3）∵y＝﹣5x2+50x+3000＝﹣5（x﹣5）2+3125， ∴抛物线的开口向下，当x＝5时，函数有最大值为3125； 故当售价为80﹣5＝75元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $