第二十六章二次函数测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数单元测试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。 1．抛物线y＝2x2与y＝﹣2x2相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质即可判断． 【解答】解：抛物线y＝2x2的开口向上，对称轴为y轴，有最低点； 抛物线y＝﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点； 故抛物线y＝2x2与y＝﹣2x2相同的性质是对称轴都是y轴， 故选：B． 2．关于二次函数y＝﹣3x2+12x﹣7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．当x＞2时，y随x的增大而增大 C．有最小值5 D．顶点坐标是（2，5） 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质即可逐一判断即可． 【解答】解：y＝﹣3x2+12x﹣7＝﹣3（x2﹣4x）﹣7＝﹣3（x﹣2）2+5， ∵﹣3＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5），最大值为5，当＞2时，y随x的增大而减小， 故选：D． 3．抛物线y＝（x﹣2）2+2的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（2，2） D．（﹣2，﹣2） 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可． 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+2， ∴抛物线y＝（x﹣2）2+2的顶点坐标为：（2，2）， 故选：C． 4．抛物线y＝2（x﹣5）2﹣1通过下列平移，得到抛物线y＝2x2，正确的是（　　） A．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】B 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行判断即可． 【解答】解：由题知， 将抛物线y＝2（x﹣5）2﹣1先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线y＝2x2， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 5．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2020的图象上有两点A（a，1）和B（b，1），则a2+2b的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】由题意可得a、b是方程x2﹣2x﹣2020＝1的两个根，则有a+b＝2，又由a2＝2a+2021，将所求式子变形然后再求值即可． 【解答】解：∵点A（a，1）和B（b，1）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2020的图象上， ∴a、b是方程x2﹣2x﹣2020＝1的两个根， ∴a+b＝2， ∵将A（a，1）代入y＝x2﹣2x﹣2020， ∴a2﹣2a﹣2020＝1， ∴a2＝2a+2021， ∴a2+2b＝2a+2021+2b＝2（a+b）+2021＝4+2021＝2025， 故选：C． 6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【答案】C 【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+1（a＜0）， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线x2， ∴x≥2时，y随x的增大而减小， ∵二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）， ∴A点关于直线x＝2的对称点是D（5，y1）也在抛物线上， ∵2＜4＜5， ∴y1＜y3＜y2， 故选：C． 7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　） A．﹣4＜x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣2 C．﹣2＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 【答案】B 【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣2，0）和（﹣3，0）之间，从而可判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围为﹣3＜x＜﹣2． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（0，0）和（1，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣2，0）和（﹣3，0）之间， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的范围为﹣3＜x＜﹣2或0＜x＜1． 故选：B． 8．已知二次函数（a≠0），当时，y的最小值为﹣6，则a的值为（　　） A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．﹣6或﹣2 D．6或2 【答案】A 【分析】先求出对称轴，再分两种情况讨论，当a＞0时，根据二次函数的图象和性质可知，当时，y有最小值，即可求出a的值，当a＜0时，根据二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小可知，当时，y有最小值，即可求出a的值． 【解答】解：由解析式可知：二次函数的对称轴为直线， 当a＞0时，此时当时，y有最小值，y最小＝﹣a＝﹣6， ∴a＝6， 当a＜0时， ∵， ∴当时，y有最小值，y最小， ∴a＝﹣2， 综上所述，a的值为﹣2或6， 故选：A． 9．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 10．某茶杯的过最低点B的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点A，点C位于杯口处，且AC＝10cm，点B是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点B到AC的距离）为4cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2cm（点B到EF的距离），求此时EF的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设截面抛物线为y＝ax2，则把C（5，4）代入求出解析式，然后将y＝2代入求出液面的宽即可． 【解答】解：依题意，设截面抛物线y＝ax2（a≠0）． 将C（5，4）代入，得4＝25a． 解得． ∴． 将y＝2代入， 得． 解得． ∴，， ∴． 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置 11．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣2）2﹣5　 ． 【答案】y＝﹣2（x﹣2）2﹣5． 【分析】根据图象的平移规律，可得答案． 【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线解析式为y＝﹣2（x+1﹣3）2﹣2﹣3，即y＝﹣2（x﹣2）2﹣5． 故答案为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣5． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4，则方程ax2+bx+c＝mx+n的解是x＝﹣2或x＝4　 ． 【答案】x＝﹣2或x＝4． 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4，即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4， ∴方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x＝﹣2或4， 故答案为：x＝﹣2或x＝4． 13．若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点，则k的取值范围是k＞1　 ． 【答案】k＞1． 【分析】抛物线与x轴无交点，则对应的一元二次方程无实数根，即判别式小于零，列不等式求解即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点， ∴一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数根， 则Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＜0， 解不等式得k＞1， 故答案为：k＞1． 14．飞机着陆后滑行距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣2t2+84t．飞机着陆后滑行　21　 秒才能停下来． 【答案】21． 【分析】依据题意，飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值． 【解答】解：由题意得，s＝﹣2t2+84t ＝﹣2（t2﹣42t+441﹣441） ＝﹣2（t﹣21）2+882， ∴当t＝21秒时，飞机才能停下来． 故答案为：21． 15．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝a（x﹣10）2+10，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P′之间的距离为　 　 米． 【答案】20． 【分析】根据顶点坐标公式求出P点的坐标，进而求出P′的坐标，即可得出结果． 【解答】解：由抛物线解析式可知点P的坐标为（10，10）， 由条件可知点P′的坐标为（10，﹣10）， ∴主桥拱最高点P与其在水中倒影点P′之间的距离为10﹣（﹣10）＝20（米）； 故答案为：20． 16．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+2a+2，下列五个结论：①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点（1，1）和（2，0）两点；②该函数图象与x轴一定有交点；③若a＞0，当时，y随x的增大而减小；④若a为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标都为整数，那么a＝﹣1；⑤若a＜﹣1，则关于x的方程|ax2﹣（3a+1）x+2a+2|＝1的根有4个，其中正确的是 　①②③④⑤　 .（只需填写序号） 【答案】①②③④⑤． 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：∵y＝ax2﹣（3a+1）x+2a+2＝[ax﹣（a+1）]（x﹣2）＝（ax﹣a﹣1）（x﹣2）， ∴对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点（1，1）和（2，0）两点，故①正确； 对于任何满足条件的a，该二次函数的图象必经过（2，0），即该函数图象与x轴一定有交点，故②正确； ∵二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+2a+2的对称轴是直线x， ∴若a＞0，则，该函数图象开口向上， ∴若a＞0，当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵y＝ax2﹣（3a+1）x+2a+2＝[ax﹣（a+1）]（x﹣2）， ∴当y＝0时，x1＝1，x2＝2， ∴若a为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么a＝﹣1，故④正确； 令y＝ax2﹣（3a+1）x+2a+2＝1，则ax2﹣（3a+1）x+2a+1＝0， ∴Δ＝（3a+1）2﹣4a（2a+1）＝a2+2a+1＝（a+1）2， 若a＜﹣1，在Δ＝（a+1）2＞0， ∴抛物线与直线y＝1有两个交点， ∴函数y＝|ax2﹣（3a+1）x+2a+2|的图象与直线y＝1有4个交点， ∴关于x的方程|ax2﹣（3a+1）x+2a+2|＝1的根有4个，故⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 3、 解答题（共8大题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形 17．（8分）求下列二次函数的表达式： (1)已知二次函数的图象的顶点为，且经过点； (2)已知二次函数的图象经过点，，． 【解答】 解：（1）依题意得 ∴ ∴m＝0； （2）依题意得m2﹣m≠0， ∴m≠0且m≠1． 18．（8分）如图为二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程﹣x2﹣2x+3＝0的解为x1＝　﹣3　 ，x2＝　1　 ； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围为 　﹣3＜x＜1　 ； （3）方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是 t≤4　 ； （4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围是 　﹣12＜y≤4　 ． 【答案】（1）﹣3，1； （2）﹣3＜x＜1； （3）t≤4； （4）﹣12＜y≤4． 【分析】（1）解方程即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）抛物线的顶点为：（﹣1，4），则方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是t≤4，即可求解； （4）当﹣3＜x＜3时，当x＝3时，y取得最小值，y在顶点处取得最小值，即可求解． 【解答】解：（1）解：﹣x2﹣2x+3＝0得：x＝﹣3或1， 故答案为：﹣3，1； （2）从图象看，当y＞0时，直接写出x的取值范围为：﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1； （3）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，即抛物线的顶点为：（﹣1，4），则方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是t≤4， 故答案为：t≤4； （4）当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12，抛物线顶点的纵坐标为4， 则当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围是：﹣12＜y≤4， 故答案为：﹣12＜y≤4． 19．（8分）已知关于的方程． （1）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根； （2）求证：二次函数的图象与轴有两个交点． 【答案】（1）解：把代入得， 解得， 原方程为， ， ． （2）证明：令，则， ， 二次函数图象与轴有2个交点． 21．（8分）如图，直线y1＝x+m和抛物线交于点A（4，2），B（2，0）． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 x＜2或x＞4　 ． 【答案】（1）y1＝x﹣2，y2＝x2﹣5x+6； （2）x＜2或x＞4． 【分析】（1）先把B点坐标代入y1＝x+m中求出m得到直线解析式，然后把点A、B坐标分别代入y2中求出b、c，从而得到抛物线解析式； （2）结合函数图象写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）将B（2，0）代入y1＝x+m得2+m＝0解得m＝﹣2， ∴直线的解析式为y1＝x﹣2， 将Λ（4，2），B（2，0）代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为y2＝x2﹣5x+6； （2）当x＜2或x＞4时，y2＞y1， ∴不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜2或x＞4． 故答案为：x＜2或x＞4． 22．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲． （1）若每个房间每天定价增加m元（m是10的倍数），直接写出该宾馆的已居住的房间数； （2）若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的各种费用． ①若该宾馆一天利润为8640元，求当天的定价； ②房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【答案】（1）（50）间； （2）①房价定为470元或210元； ②房价定为350元时，利润最大是10890元． 【分析】（1）依据题意，由当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，即可计算得解； （2）①设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得； ②根据（1）中相等关系列出函数解析式，由二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）由题意，∵当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴当每个房间每天定价增加m元时，该宾馆的已居住的房间数为（50）间； （2）①设每个房间的定价为a元，根据题意，得：（a﹣20）， ∴a＝200或a＝500． 答：房价定为200元或500元； ②设房价增加x元时，利润为w元， ∴w＝（180﹣20+x）， ∵， ∴当 x＝170时，即房价定为350元时，利润最大是10890元． 23．（10分）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当k时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，CF＝6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标（3，k），结合k，可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2，将点A（2，3）代入可得； （2）依据题意，由（1）求出函数解析式，再令y＝0，求出x即可； （3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y＝a（x﹣3）2+k中当x米，y≥0，当x＝6米时y≤0，解不等式即可得． 【解答】解：（1）根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，k），A（2，3）， 又∵k， ∴可设抛物线解析为：y＝a（x﹣3）2， 则3＝a（2﹣3）2， 解得：a， 故抛物线解析式为：y（x﹣3）2； （2）根据题意，抛物线解析式为：y（x﹣3）2， 令y＝0，则0（x﹣3）2， 解得：x1＝3，x2＝3（舍去）． ∴运动员落水点与点C的距离为（3）米； （3）根据题意，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+k， 将点A（2，3）代入可得：a+k＝3，即a＝3﹣k 若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水， 则当x时，ya+k≥0，即（3﹣k）+k≥0， 解得：k， 当x＝6时，y＝9a+k≤0，即9（3﹣k）+k≤0， 解得：k， 故k． 23．（10分）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求原水流所在抛物线的解析式； （2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由； （3）将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围． 【答案】（1）水流所在抛物线的解析式为：； （2）水流不经过着火点B，比着火点B低1米； （3）m的取值范围为2≤m≤6． 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出平移后的解析式，再令x＝0，求出y的值与12+4比较即可； （3）先求出抛物线向左平移m米后的解析式，再令x＝0，求出y的值，再令y的值≥12+3，解不等式求出m的取值范围． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+k， 由题意得抛物线经过点C（12，0），A（0，12）， ， 解得：， ∴水流所在抛物线的解析式为：； （2）∵若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处， ∴平移后抛物线的解析式为：， ∴当x＝0时，y＝15，即水流过点（0，15）， ∴15＜12+4＝16， 答：水流不经过着火点B，比着火点B低1米； （3）∵将水流所在的抛物线向左平移m米， ∴平移后抛物线的解析式为：， ∴当x＝0时，， ∵水流的到达点不低于A正上方3米， ∴， 解得：2≤m≤6． ∴m的取值范围为2≤m≤6． 24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA． （1）求抛物线解析式； （2）点M是直线AC上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形ABCM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； （3）如图2，D（0，﹣2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先求出点A坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）过M作y轴的平行线，与直线AC交于点N．先求出直线AC的解析式，待定点M，N的坐标，用m表示线段MN的长度，运用二次函数分析△ACM的面积的最值，进而求出S的最大值； （3）根据中心对称的性质，明确B′D′与BD平行且相等，待定点B′、D′的坐标，代入抛物线解析式求解即可得出B′、D′的坐标，而后运用中点公式求出中心的坐标即可； 【解答】解：（1）由A（﹣3，0），且OC＝OA可得A（﹣3，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 将C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）如图1， 设直线AC解析式为y＝kx+d， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴， 解得， ∴直线AC解析式为y＝x+3， 设M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（m，m+3），则MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0）， S△ACM＝S△AMN+S△CMNMN×3， ∴S＝S△ACM+S△ABC4×36， ∵MN＝﹣m2﹣3m， 而a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0， ∴m时，MN最大，此时S△ACM最大，S△ACM，此时S也最大， ∴四边形ABCM的最大面积S6． （3）如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等． ∵O′B′＝OB＝1，O′D′＝OD＝2， 设B′（t，﹣t2﹣2t+3），则D′（t+1，﹣t2﹣2t+3+2）， ∵D′在抛物线上，则﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3＝﹣t2﹣2t+3+2， 解得，t，则B′的坐标为（，）， P是点B（1，0）和点B′（，）的对称中心， ，， ∴P（，）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数单元测试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。 1．抛物线y＝2x2与y＝﹣2x2相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴 2．关于二次函数y＝﹣3x2+12x﹣7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．当x＞2时，y随x的增大而增大 C．有最小值5 D．顶点坐标是（2，5） 3．抛物线y＝（x﹣2）2+2的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（2，2） D．（﹣2，﹣2） 4．抛物线y＝2（x﹣5）2﹣1通过下列平移，得到抛物线y＝2x2，正确的是（　　） A．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 5．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2020的图象上有两点A（a，1）和B（b，1），则a2+2b的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　） A．﹣4＜x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣2 C．﹣2＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 8．已知二次函数（a≠0），当时，y的最小值为﹣6，则a的值为（　　） A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．﹣6或﹣2 D．6或2 9．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 10．某茶杯的过最低点B的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面ABC呈抛物线形状（杯体厚度忽略不计），点A，点C位于杯口处，且AC＝10cm，点B是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度（点B到AC的距离）为4cm，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为2cm（点B到EF的距离），求此时EF的长度（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置 11．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线解析式为 ． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于A，B两点，它们的横坐标分别为﹣2，4，则方程ax2+bx+c＝mx+n的解是 ． 13．若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴无交点，则k的取值范围是 　 ． 14．飞机着陆后滑行距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣2t2+84t．飞机着陆后滑行　 　 秒才能停下来． 15．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝a（x﹣10）2+10，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点P′之间的距离为　 　 米． 16．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+2a+2，下列五个结论：①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点（1，1）和（2，0）两点；②该函数图象与x轴一定有交点；③若a＞0，当时，y随x的增大而减小；④若a为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标都为整数，那么a＝﹣1；⑤若a＜﹣1，则关于x的方程|ax2﹣（3a+1）x+2a+2|＝1的根有4个，其中正确的是 　 　 .（只需填写序号） 3、 解答题（共8大题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形 17．（8分）求下列二次函数的表达式： (1)已知二次函数的图象的顶点为，且经过点； (2)已知二次函数的图象经过点，，． 18．（8分）如图为二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程﹣x2﹣2x+3＝0的解为x1＝　﹣3　 ，x2＝　1　 ； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围为 　﹣3＜x＜1　 ； （3）方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是 t≤4　 ； （4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围是 　﹣12＜y≤4　 ． 19．（8分）已知关于的方程． （1）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根； （2）求证：二次函数的图象与轴有两个交点． 20．（8分）如图，直线y1＝x+m和抛物线交于点A（4，2），B（2，0）． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 x＜2或x＞4　 ． 21．（8分）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲． （1）若每个房间每天定价增加m元（m是10的倍数），直接写出该宾馆的已居住的房间数； （2）若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的各种费用． ①若该宾馆一天利润为8640元，求当天的定价； ②房价定为多少时，宾馆利润最大？ 22．（10分）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当k时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，CF＝6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 23．（10分）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求原水流所在抛物线的解析式； （2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由； （3）将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围． 24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA． （1）求抛物线解析式； （2）点M是直线AC上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形ABCM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； （3）如图2，D（0，﹣2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $