第二十六章 二次函数 单元练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

【人教版】九上第二十六章 二次函数 单元练习 一、选择题：本题共10小题。 1.二次函数图象的顶点坐标为    A. B. C. D. 2.下列各点在抛物线上的是    A. B. C. D. 3.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的抛物线解析式为    A. B. C. D. 4.二次函数的部分图象如图所示，由图象可知方程的根是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.若点，都在函数的图象上，则，的大小关系为    A. B. C. D. 无法确定 6.如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度即OB的长度是1米.当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，则水流喷射的最远水平距离OC是    A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 1米 7.同一平面直角坐标系中，函数和是常数，且的图象可能是      A. B. C. D. 8.已知抛物线，则当时，函数的最大值为    A. B. C. 0 D. 2 9.如图所示是一副眼镜镜片下半部分的轮廓，对应的两条抛物线关于y轴对称，且轴.若，最低点C在x轴上，高，，则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为    A. B. C. D. 10.已知二次函数为常数，图象的顶点坐标是，且经过，两点，有下列结论：①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根;②当时，y的值随x值的增大而减小;③④⑤对于任意实数t，总有以上结论正确的有(    ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共6小题。 11.若函数是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为          . 12.酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系.已知某种酶在一定温度范围内，其活性单位：与温度单位：的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在           13.若抛物线与x轴有且只有一个交点，则m的值为          . 14.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 4 0 n m 4 … 则当时，x的取值范围是          . 15.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且，则四边形ABCD面积的最大值为          . 16.新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”.若是“偶点”，则          ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为          . 三、解答题：本题共9小题。 17.已知二次函数 在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； 根据图象回答问题： ①当，求x的取值范围； ②当时，y的取值范围是__________； 18.二次函数的图象与直线交于点 求a，m的值； 写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大； 指出抛物线的顶点坐标和对称轴. 19.已知二次函数的图象的对称轴为直线，且过和两点， 求出该二次函数的解析式； 求出这个函数的最大值或最小值； 当y随x的增大而增大时，求x的取值范围. 20.某商店销售一种进价为4元/件的新产品，经调查发现：销售单价定为5元时，每天可销售150件；若销售单价每涨价1元，则每天销售量减少10件.设销售单价为x元，销售量为y件. 求y与x的函数解析式； 若销售该新产品每天的总利润为w元，则当销售单价为多少元时，每天的总利润最大？最大利润是多少元？ 21.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙可利用墙长为60m，厚度不计，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后出口不占用不锈钢栅栏，不锈钢栅栏状如“山”字形备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位 设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为 车棚的长          m；用含x的式子表示 求S与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； 若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明. 22.如图，抛物线过，两点，交y轴于点C，对称轴交x轴于点E，D是其顶点. 求抛物线的函数解析式. 求的面积. 23.如图，抛物线的图象经过点，， 抛物线的函数解析式为          ； 在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的周长最小？若存在，请求出点P的坐标及的周长；若不存在，请说明理由. 24.如果直线经过抛物线的顶点，那么称直线为抛物线的准切线.如，直线经过抛物线的顶点，所以直线是抛物线的准切线. 若直线为抛物线的准切线，试求c的值； 已知直线是抛物线的准切线，将直线向下平移6m个单位长度，得到新直线恰好也是抛物线的准切线. ①请求出直线的解析式； ②若当时，的最小值为，试求出m的值. 25.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接其中点A的坐标为，对称轴为直线 求抛物线的解析式； 是直线BC下方抛物线上的一个动点，N为y轴上的一个动点，过点P作轴交BC于点当PH的长度最大时，求出此时点P的坐标及的最小值； 如图②，在的条件下，连接AC，将该抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得新抛物线，E为新抛物线上的一个动点，连接PE交线段BC于点F，且满足，请直接写出符合条件的点E的坐标. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】略 2.【答案】D  【解析】略 3.【答案】B  【解析】略 4.【答案】A  【解析】略 5.【答案】A  【解析】略 6.【答案】B  【解析】略 7.【答案】D  【解析】略 8.【答案】D  【解析】略 9.【答案】C  【解析】略 10.【答案】A  【解析】二次函数为常数，图象的顶点坐标是，且经过，两点，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ，抛物线与x轴的交点为和， 图象如图所示，令，即把直线向下平移一个单位长度， 再结合函数图象可知有两个不相等的实数根， 故有两个不相等的实数根，故①正确，符合题意; 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y的值随 x值的增大而减小，故②正确，符合题意; 抛物线与x轴的交点为和， 二次函数为 ， ， ，，解得，故③正确，符合题意; 结合函数图象可知，当时，，故④正确，符合题意; 对称轴为直线， ， ，，，故⑤正确，符合题意. 综上所述，①②③④⑤正确， 故选： 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】30  【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】8  【解析】略 16.【答案】14   【解析】略 17.【答案】【小题1】 解：如图 【小题2】 ①由图象，得当时，，， 当时， ②   【解析】 略  略 18.【答案】【小题1】 解：二次函数的图象与直线交于点， 把代入，得，则 把代入中，得， 【小题2】 ，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 【小题3】 由可得，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线或y轴   【解析】 略  略  略 19.【答案】【小题1】 解：设二次函数的解式为， 代入和，得解得 该二次函数的表达式为 【小题2】 ，顶点坐标为， 该二次函数有最小值，最小值为 【小题3】 该二次函数的对称轴为直线，， 当时，y随x增大而增大.   【解析】 略  略  略 20.【答案】【小题1】 解：由题意，得 【小题2】 ，当时，元. 答：当销售单价为12元时，每天的总利润最大，最大利润是640元.   【解析】 略  略 21.【答案】【小题1】 【小题2】 由题意，得解得， 与x之间的函数解析式为 【小题3】 ，， 当时，S有最大值为， 自行车车棚面积最大可达到   【解析】 略  略  略 22.【答案】【小题1】 抛物线过，两点， 解得 抛物线的函数解析式为 【小题2】 在中， 当时，， 设直线BC的解析式为， 把，代入，得 解得 直线BC的解析式为 设对称轴DE交BC于点F，则 ，，   【解析】 略  略 23.【答案】【小题1】 【小题2】 连接PB， 点P在抛物线的对称轴直线上，点A，B关于对称轴对称， ， 当点C，P，B在同一直线上时，的值最小， ，，， ，， 易求直线BC的解析式为，当时，， 存在点，使得的周长最小，最小值为   【解析】 略  略 24.【答案】【小题1】 解：抛物线的顶点为， 将代入，得 【小题2】 ①抛物线的顶点为 将直线向下平移6m个单位，得到新直线的解析式为 将顶点坐标分别代入和的解析式，得 解得，， 则直线的解析式为 ②由①，得， 当时，， 当时，， 当时，， 当，即时， 函数在处取得最小值，即， 解得或舍； 当，即时， 抛物线在处取得最小值，即，方程无解； 当，即时， 函数在顶点处取得最小值，即，， 综上，m的值为1或   【解析】 略  略 25.【答案】【小题1】 解：抛物线的对称轴为直线， ， 把代入中，得， 解得，抛物线解析式为 【小题2】 在中， 令，得或， 令，得，，， 直线BC解析式为 设，则， ，当时，PH的长度最大，此时 作点B关于y轴的对称点T，连接TN，TP，则，，， 当P，T，N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为TP的长， ， 的最小值为 【小题3】 易得新抛物线解析式为 过点F作轴于 ，，， ，， ，， ， 轴，即， 易得直线AC解析式为， 可设直线PE解析式为， ，，直线PE解析式为 令，解得，， 分别代入，得，， 点E的坐标为或   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $