专题02 全等三角形判定与性质（期中复习课件）八年级数学上学期新教材人教版

数学上学期期中复习 考点大串讲 专题02 全等三角形判定与性质 人教八上 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 期中考情透视 ►本专题是期中核心必考板块，题型覆盖选择、填空与基础证明大题。 ►考点围绕全等三角形性质、SSS/SAS/ASA/AAS/HL 判定定理，平移、翻折、旋转基础全等模型。 ►基础题侧重判定条件辨析、根据全等求边角；证明大题以简单全等证明为主。 ►中等难度，易错集中在误用 SSA 判定、全等书写顶点字母不对应、直角三角形 HL 判定使用条件混淆。 4 PART 02 复习目标锚定 复习目标锚定 识记 牢记全等三角形性质，熟记 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 判定定理；掌握平移、翻折、旋转基础全等模型特征，规范全等书写格式。 理解 辨析 SAS 中 “夹角” 含义，明确 SSA 不能判定全等；理解全等图形对应边、对应角的匹配逻辑，区分普通三角形与直角三角形判定条件差异。 应用 能根据题干条件选择合适判定定理证明三角形全等；利用全等性质求线段长度、角度；识别平移、翻折、旋转基础模型，完成基础几何证明。 6 PART 03 知识体系构建 知识体系构建 8 PART 04 核心要点精讲 考点一 全等三角形的性质 考点二 全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS） 考点三 直角三角形 HL 判定 考点四 平移、翻折、旋转基础全等模型 ∵△ABC ≌ △ DEF 核心要点精讲 性质：若△ABC ≌ △ DEF，则对应边相等，对应角相等。 📌避坑指南 ⚠️避坑指南 书写全等时，顶点字母必须一一对应，才能准确找到对应边、对应角。 考点一 全等三角形的性质 C A B F D E ≌ ∵△ABC ≌ △ DEF ∴AB = DE ∴BC =EF ∴AC = DF ∴∠ABC = ∠ DEF ∴∠BAC = ∠ EDF ∴∠BCA= ∠ EFD 10 ∴△ABC ≌ △ DEF ∴△ABC ≌ △ DEF ∴△ABC ≌ △ DEF 核心要点精讲 SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）。 考点二 全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS） C A B F D E ∴△ABC ≌ △ DEF AB = DE BC =EF AC = DF ∵ AB = DE ∠BAC = ∠ EDF AC = DF ∵ AB = DE ∠BAC = ∠ EDF ∠ABC = ∠ DEF ∵ AB = DE ∠BCA = ∠ EFD ∠ABC = ∠ DEF ∵ SSS（边边边） SAS（边角边） ASA（角边角） AAS（角角边） 11 核心要点精讲 HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 📌避坑指南 SSA 不能证明三角形全等，这是期中高频陷阱！HL 只适用于直角三角形。 考点三 直角三角形 HL 判定 ∴Rt△ABC ≌ Rt △ DEF AB = DE AC = DF ∵ C A B ∟ F D E ∟ HL（斜边直角边） 12 核心要点精讲 考点四 平移、翻折、旋转基础全等模型 C A B F D E 平移 ∴△ABC ≌ △ DEF C A B F D E 翻折 ∴△ABC ≌ △ DEF ∴△ABC ≌ △ AEF C A B F （D） E 旋转 平移：平行线推导等角； 翻折：公共边、公共角； 旋转：对顶角、同角加减得等角 平移、翻折、旋转都属于全等变换，变换前后图形形状、大小不变，只改变位置，得到全等三角形。 PART 05 重难题型突破 题型一 全等三角形性质综合应用（求边、求角） 题型二 全等判定定理辨析与条件匹配 题型三 平移、翻折、旋转全等模型 题型四 补充条件型开放全等题 题型五 全等多结论判断题 题型六 线段加减关系证明(全等转化线段) 题型七 直角三角形全等 HL 判定综合 重难题型突破 典例1 25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，已知，，则的长为（    ） 💡破题要诀 1.全等三角形对应边相等、对应角相等，周长、面积也相等, 2.书写全等表达式时，顶点字母必须--对应，才能准确找到对应边角。 3.多个全等嵌套时，依次标记相等边角，传递等量关系。 题型一 全等三角形性质综合应用（求边、求角） A．5 B．4 C．3 D．2 解：∵ ∴ ∵ ∴． B 15 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图所示的两个三角形全等，则x的值为（　　）  A．82 B．72 C．63 D．45 题型一 全等三角形性质综合应用（求边、求角） B 解：∵两个三角形全等， ∴， 16 重难题型突破 题型一 全等三角形性质综合应用（求边、求角） 迁移应用 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，，若，，则的长度为（    ）  A．7 B．8 C．9 D．10 B 解：∵， ∴， ∴， 17 重难题型突破 典例2 （26-27八年级上·天津·期中）如图，C是的中点，，，连接．求证：． 题型二 全等判定定理辨析与条件匹配 💡破题要诀 1.普通三角形全等判定定理:SSS、SAS、ASA、AAS, 2.直角三角形额外可用 HL:斜边和一条直角边对应相等, 3.SSA、AAA 不能判定三角形全等，属于期中高频陷阱。 4.根据题干给出的边、角条件，匹配对应的判定定理，注意 SAS 必须是夹角, 证明：∵C是的中点，∴， ∵，∴． 在和中， ∴， ∴． 18 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，．  (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型二 全等判定定理辨析与条件匹配 (1)证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 19 重难题型突破 题型二 全等判定定理辨析与条件匹配 迁移应用 2．（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）已知：如图，，，．  (1)请说明：．(2)与相等吗？请说明理由． （1）证明：∵ ∴ ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）得： 在中 ∵ ∴ ∴． 20 重难题型突破 题型二 全等判定定理辨析与条件匹配 迁移应用 3．（25-26九年级下·福建福州·期中）如图，四边形的对角线，相交于点E，，，．求证：． 证明：， ， ， ，， ， ． 21 重难题型突破 典例3 （25-26七年级下·山东济南·期中）已知在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型三 平移、翻折、旋转全等模型 (1)证明：∵在同一条直线上，， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． 22 重难题型突破 题型三 平移、翻折、旋转全等模型 💡破题要诀 1.平移模型:平行线可以推导内错角、同位角相等 2.翻折模型:图形沿直线对称，常出现公共边、公共角。 3.旋转模型:共顶点图形，利用同角加/减公共角得到等角。 4.平移、翻折、旋转前后的图形全等，只改变位置不改变形状大小。 （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 典例3 （25-26七年级下·山东济南·期中）已知在同一条直线上，，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 23 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26七年级下·重庆长寿·期中）已知：如图，，，，点在边上，  (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型三 平移、翻折、旋转全等模型 (1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵ ∴ （2）解：由（１）知，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴． 24 重难题型突破 题型三 平移、翻折、旋转全等模型 迁移应用2．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）已知：如图，D、E分别是、上的点，且，，求证：． 证明：在和中， ∵ ， （全等三角形对应边相等）． 25 重难题型突破 典例4 （2026·陕西·一模）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得．  (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 题型四 补充条件型开放全等题 （1）解：选①或③； 选①，由可得， 进而满足边角边的全等判定； 选②，根据边边角无法判定全等； 选③，直接根据角角边可判定全等． 选①或③ (2)选①， 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵ ∴； 26 重难题型突破 典例4 （2026·陕西·一模）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得．  (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 题型四 补充条件型开放全等题 (2)选③， 证明：在和中， ∵ ∴． 选①或③ 💡破题要诀 1.先梳理题干已有的相等边、相等角。 2.结合全等判定定理，补充缺失的一组边或一组角。 3.补充完成后，检验条件是否可以有效证明全等，避开 SSA 陷阱。 27 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知AE=AB，∠EAB=∠FAC，同时给出了下列四个条件． ①AC=AF ②∠E=∠B ③EF=BC ④∠AFC=∠ACF (1)上述条件中可以得出△ABC≌△AEF的条件有______ ； (2)请你选择一种加以证明． 题型四 补充条件型开放全等题 （1）解：依题意，上述条件中可以得出 的条件有①②④； （2）解：∵， ∴， ∴， 当选择①时， 则在和中， ∴； ① ② ④ 28 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，已知AE=AB，∠EAB=∠FAC，同时给出了下列四个条件． ①AC=AF ②∠E=∠B ③EF=BC ④∠AFC=∠ACF (1)上述条件中可以得出△ABC≌△AEF的条件有______ ； (2)请你选择一种加以证明． 题型四 补充条件型开放全等题 当选择②时， 则在和中， ∵ ∴； ① ② ④ 当选择④时， ∴ 则在和中， ∵ ∴； 29 重难题型突破 题型四 补充条件型开放全等题 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，，，______，求证：．  (1)请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立． 你的选择是______，并证明； (2)在（1）的条件下，，，求的长． (1)（或）， ①选择，理由如下： ， ， ，， ， ， 在和中， ∵， ， 30 重难题型突破 题型四 补充条件型开放全等题 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，，，______，求证：．  (1)请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立． 你的选择是 ，并证明； (2)在（1）的条件下，，，求的长． (1)（或） ②或选择，理由如下： ， ， ∵， ， 而， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ （或） （2）解：由（1）知， ， 31 重难题型突破 典例5 （25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； ③AC=AO+AP； ④S△ABC=S四边形AOCP； ⑤AB=3AO，其中正确个数是（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型五 全等多结论判断题 解：如图，连接，， ，， ， ， . ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 32 重难题型突破 典例5 （25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； ③AC=AO+AP； ④S△ABC=S四边形AOCP； ⑤AB=3AO，其中正确个数是（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型五 全等多结论判断题 如图，在上截取，   ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 33 重难题型突破 典例5 （25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； ③AC=AO+AP； ④S△ABC=S四边形AOCP； ⑤AB=3AO，其中正确个数是（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型五 全等多结论判断题 H ∟ 如图，过点作于，   ，， ， ， ， . 故④正确. 34 重难题型突破 典例5 （25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； ③AC=AO+AP； ④S△ABC=S四边形AOCP； ⑤AB=3AO，其中正确个数是（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型五 全等多结论判断题 ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时结论才成立， ∴不一定等于，故⑤错误； B 💡破题要诀 1.逐个结论单独推导，标记全等得到的等量边角。 2.结论之间可相互借用，前一个结论成立可为后一个提供条件。 3.错误结论优先举反例排除，不要盲目证明。 35 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形且点A、C、E在一条直线上，AD、BE相交于点O，AD与BC相交于点F，BE与DC相交于点G，连接OC，则： ①∠AOB=60°， ②AF=BG； ③CO平分∠BCD； ④CO平分∠AOE，正确的是（ ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型五 全等多结论判断题 解：和都是等边三角形且点在一条直线上， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 即， ， 故①正确； 36 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形且点A、C、E在一条直线上，AD、BE相交于点O，AD与BC相交于点F，BE与DC相交于点G，连接OC，则： ①∠AOB=60°， ②AF=BG； ③CO平分∠BCD； ④CO平分∠AOE，正确的是（ ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型五 全等多结论判断题 在和中， ∵， ， ，故②正确； 作于点，于点， ， ， 且，， ，， ∴点在的平分线上， 平分，故④正确； 37 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形且点A、C、E在一条直线上，AD、BE相交于点O，AD与BC相交于点F，BE与DC相交于点G，连接OC，则： ①∠AOB=60°， ②AF=BG； ③CO平分∠BCD； ④CO平分∠AOE，正确的是（ ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型五 全等多结论判断题 假设平分成立， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ，即等边和等边的边长相等，显然题中并没有这一条件， 平分不成立，故③不正确； 综上，正确的是①②④ 38 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中） 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点． ①； ②若，则 ； ③； ④ ⑤． 则上列说法一定正确的是（    ）  A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 重难题型突破 题型五 全等多结论判断题 解：①设，， ∵在中，， 平分交于点， 平分交于点， ∴， ， ， ∴， ∴ ，故①正确； ②∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 39 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中） 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点． ①； ②若，则 ； ③； ④ ⑤． 则上列说法一定正确的是（    ）  A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 重难题型突破 题型五 全等多结论判断题 ③∵平分，但与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ④如图，在边上截取，连接， ∵平分，∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴，∴， ∵平分，∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 40 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中） 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点． ①； ②若，则 ； ③； ④ ⑤． 则上列说法一定正确的是（    ）  A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 重难题型突破 题型五 全等多结论判断题 ⑤如图，作于，于， 由④可得，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ， 故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤． B 41 重难题型突破 题型六 线段加减关系证明(全等转化线段) 典例6 （25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使．  (1)当点在线段上时，如图1，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断三条线段数量关系，并说明理由； (3)当点在线段的延长线上时，直接判断与的位置关系，并直接写出三条线段的数量关系．、 42 重难题型突破 题型六 线段加减关系证明(全等转化线段) 典例6 （25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使．  (1)当点在线段上时，如图1，请判断与的位置关系，并说明理由； (1)解：，理由： ， ， ， 在与中 ∵， ， ， ∵是等腰直角三角形， 且， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 43 重难题型突破 题型六 线段加减关系证明(全等转化线段) 典例6 （25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使．  (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断三条线段数量关系，并说明理由； (2)解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 即， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴； 44 重难题型突破 题型六 线段加减关系证明(全等转化线段) 典例6 （25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使．  (3)当点在线段的延长线上时，直接判断与的位置关系，并直接写出三条线段的数量关系．、 （3）解：，理由如下： 如图，∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴，即， ∴． 45 重难题型突破 题型六 线段加减关系证明(全等转化线段) 典例6 （25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使．  (1)当点在线段上时，如图1，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断三条线段数量关系，并说明理由； (3)当点在线段的延长线上时，直接判断与的位置关系，并直接写出三条线段的数量关系．、 💡破题要诀 1.要证明线段和差，优先依靠全等把分散线段转移到同一条直线上。 2.找到包含目标线段的全等三角形，转化对应边。 3.注意区分线段相加、线段相减两种位置关系, 46 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，在和中 ，∴， ∴，∵， ∴． 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，的角平分线、相交于点F，若，交于A，交于B．  (1)若，，则______（直接写出答案）． (2)线段与、有怎样的数量关系？写出说明理由． 题型六 线段加减关系证明(全等转化线段) （1）解：在中，， ∴ ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接 在和中， 47 重难题型突破 迁移应用 1．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，的角平分线、相交于点F，若，交于A，交于B．  (1)若，，则______（直接写出答案）． (2)线段与、有怎样的数量关系？写出说明理由． 题型六 线段加减关系证明(全等转化线段) (2)解．理由如下： 在中，， ∴ ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接，  在和中， ，∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，∴． 48 重难题型突破 题型六 线段加减关系证明(全等转化线段) 迁移应用 2．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，，是的中点，平分，  (1)求证：平分． (2)求证： (3)线段、、之间，有怎样的数量关系？并证明． (1)证明：作于，  ，， 平分， ， 为中点， ， 又， ， 又，， 平分 (2)证明：，理由是： 平分，平分， ，， ， ， ， ， 即； E ∟ 49 重难题型突破 题型六 线段加减关系证明(全等转化线段) 迁移应用 2．（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，，是的中点，平分，  (1)求证：平分． (2)求证： (3)线段、、之间，有怎样的数量关系？并证明． (3)解： ， 理由是：，， ， 在和中 ∵ ， ，同理， ， ． E ∟ 50 重难题型突破 题型七 直角三角形全等 HL 判定综合 典例7 （24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，A，E，B，D在同一直线上，FE⊥AD，CB⊥AD，AE=DB，AC=DF，若∠D=30°，求∠C的度数． 解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在与中，， ∴， ∴，   ∴．答：的度数为． 💡破题要诀 1.HL仅适用于直角三角形，要求斜边与一条直角边对应相等, 2.直角三角形除 HL外，SAS、ASA、AAS 同样可以使用。 3.证明前要先写明两个三角形为直角三角形, 51 重难题型突破 迁移应用 1．（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O．  (1)求证：． (2)求． 题型七 直角三角形全等 HL 判定综合 (1)证明：∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ∵ ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴ ， ∴的度数为． 52 重难题型突破 题型七 直角三角形全等 HL 判定综合 迁移应用 2．（23-24八年级下·广东佛山·阶段检测）在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．   (1)求证：； (2)若，，求的长． (1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 即． （2）解： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 53 重难题型突破 题型七 直角三角形全等 HL 判定综合 迁移应用 3．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，于点，为上一点，且．  (1)求证：≌ (2)若，试求的面积． (1)证明：∵， ∴， 在和中 ∵， ∴≌（HL）； （2）解：∵≌， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 54 PART 06 限时分层演练 基础固本练 1．（26-27八年级上·四川·期中）已知图中的两个三角形全等，则度数是（     ）  A． B． C． D． 解：∵图中的两个三角形全等， 是、两边的夹角， ∴度数是． D 56 基础固本练 2．（26-27八年级上·宁夏·期中）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点；（2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 解：由作图痕迹，得：，，， ∴． B 57 基础固本练 3．（26-27八年级·全国·期中）如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ）  A． B． C． D． 解： A、和的对边分别是和，符合， 不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，， 由判定，故B不符合题意； C、，而，， 由判定，故C不符合题意； D、，而，， 由判定，故D不符合题意． A 58 基础固本练 4．（25-26七年级下·四川·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　）  A．8 B．6 C．5 D．10 C 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 59 基础固本练 5．（26-27八年级上·陕西·期中）已知，，，则的度数是 ． 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 6．（26-27八年级上·云南·期中）如图，已知，若，，则的长度为______． 解：∵，，， ∴，， ∴． 也可写为：80度 60 基础固本练 7．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）在平面直角坐标系中，，，若点，，则点的坐标为________． 解：过点C作轴于点D，  ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点，， ∴， ∴， ∴点的坐标为． D ∟ 61 基础固本练 8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，平分，求证：． 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 62 基础固本练 9．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F．  (1)求证：； (2)当时，求的度数． (1)证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 63 综合进阶练 1．（26-27八年级上·海南·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（     ）  A． B． C． D． 解：如图：在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． B 64 综合进阶练 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ）  A． B． C． D． 解：A．在和中， ， ， 故选项A不符合题意； B．， ， 即， ， 故选项B不符合题意； C．， ， ， 即， 故选项C不符合题意； D． ∴ ∴选项D符合题意． D 65 综合进阶练 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D. 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故A正确，不符合题意； ∵， ∴， 故D正确，不符合题意； ∵，∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵是直角三角形， 而不一定是直角三角形， 无法证明，故C错误， 符合题意． C 66 综合进阶练 4．（26-27八年级上·内蒙古·期中）△和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，的坐标分别为，，点在轴上，且，则点的坐标为 ． 解：点，的坐标分别为，， ，， ∵， ， ， ， 点的坐标为． 67 综合进阶练 5．（26-27八年级上·天津·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论： ①；②；③； 其中所有正确结论的序号为________． 解：在中，， ， 分别平分，， ， ， ， ， 故结论①正确； ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故结论②正确； 68 综合进阶练 5．（26-27八年级上·天津·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论： ①；②；③； 其中所有正确结论的序号为________． 由得 ，， 平分， ， ， 在和中， ∵ ， ， ， 是的外角， ， ， ，故结论③错误， 正确的是①②． ①② 69 综合进阶练 6．（25-26八年级上·江西赣州·期中）已知直线l上有B，C两点，以为底边作等腰，点D是直线l上不与B，C重合的一点，连接，以为边在的右侧作等腰，使，连接．  (1)如图1，若点D在线段上，且． ①求证：； ②求的度数； (2)若点D在直线上，且，则______（用含的式子表示）． (1)①证明：∵， ∴， 即． ∵与是等腰三角形， ∴，， 在与中， ∵， ∴； ②解：∵≌， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 70 综合进阶练 6．（25-26八年级上·江西赣州·期中）已知直线l上有B，C两点，以为底边作等腰，点D是直线l上不与B，C重合的一点，连接，以为边在的右侧作等腰，使，连接．  (1)如图1，若点D在线段上，且． ①求证：； ②求的度数； (2)若点D在直线上，且，则______（用含的式子表示）． （2）解：①当点D在的延长线上时，如图：  ∵， ∴ ， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 71 综合进阶练 6．（25-26八年级上·江西赣州·期中）已知直线l上有B，C两点，以为底边作等腰，点D是直线l上不与B，C重合的一点，连接，以为边在的右侧作等腰，使，连接．  (1)如图1，若点D在线段上，且． ①求证：； ②求的度数； (2)若点D在直线上，且，则______ （用含的式子表示）． ②当点D在的延长线上时， 如图： ∵， ∴ ， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵是和的外角， ∴ ， ∴， 或． 72 $