精品解析：广东梅州市兴宁市宋声学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

兴宁市宋声学校九年级月考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A、 只含一个未知数，最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意，选项A错误； 选项B、只含一个未知数，最高次数为3，不属于一元二次方程，选项B错误； 选项C、只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，属于一元二次方程，符合题意，选项C正确； 选项D、含有两个未知数，不符合一元二次方程的概念，选项D错误． 2. 将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数、常数项即可． 【详解】解：将方程化成一元二次方程的一般形式为， 则二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0， 故选：D． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． 一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选A． 4. 已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握其知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意知：．   故选：C ． 5. 若关于的方程 的两根互为相反数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两根互为相反数得两根和为0，结合根与系数的关系列方程求解，再验证方程有实根． 【详解】解：设方程的两根为，， ∵两根互为相反数， ∴， 由根与系数的关系，得， ∴， 解得， ∵ 方程有两个实数根， ∴， 将代入，得， 解得， ∵，， ∴． 6. 已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：A 7. 已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 8. 定义运算：，例如：，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义和解一元二次方程，理解定义和利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键． 根据新定义得出方程，再解方程，求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 故选：A． 9. 如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设长为，则的长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设长为，则的长为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴长为， 故选：B． 10. 某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程x2=4x的根是_____． 【答案】，． 【解析】 【分析】移项并采用因式分解的方法解方程. 【详解】解：移项得，， x(x-4)=0，解得x=0或4， 故答案为，. 【点睛】本题考查了因式分解法解方程. 12. 若是方程的根，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值． 【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0， 解得a=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】需要同时满足两个条件：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根要求根的判别式大于0，分别解不等式取交集即可得到结果． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 14. 设与为一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】20 【解析】 【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵ △=9-4=5＞0， ∴，， ∴=， 故答案为：20； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 15. 如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建同样宽的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 ，则修建的路宽应为_______． 【答案】 【解析】 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有 ， 整理得， 解得（不合题意，舍去）． 答：道路的宽应为． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 按要求解题： （1）用因式分解法解方程： ； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 因此或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得． 17. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？ 【答案】这批椽的数量为46株 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格”列方程求解即可． 【详解】解：设这批椽有x株， 依题意得 整理得 解得（不合题意，舍去） 答：这批椽的数量为46株 18. 某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1） （2）这种干果每千克应降价25元或5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键． （1）设一次函数解析式为：由题意得出：当，；当，；得出方程组，解方程组即可； （2）由题意得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：（1）设一次函数解析式为： 当，；当，， ， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得，， 整理得， 解得：，， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 21. 综合与实践 【主题】制作无盖纸盒 【素材】一张长、宽的长方形纸片． 【实践操作】 步骤1：取一张长、宽的长方形纸片． 步骤2：将纸片的四个角各剪去一个同样的小正方形，折成无盖长方体纸盒． 【实践探索】 （1）如果制作的无盖纸盒的底面积为那么各角应该剪去的正方形的边长是多少？ （2）根据（1）中的结果，计算该无盖长方体纸盒的容积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，长方体的展开和折叠以及体积计算，解题的关键是理解题意列出方程． （1）设剪去的正方形的边长是，则纸盒底的长是，宽是，根据题意列出一元二次方程，解方程即可； （2）由（1）知，该无盖长方体纸盒的底面积是，高是，再根据长方体容积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：设剪去的正方形的边长是，则纸盒底的长是，宽是． 根据题意，得， 化简，得， 解得：， 当时，，不合题意， ∴剪去的正方形的边长是． 【小问2详解】 解：由（1）知，该无盖长方体纸盒的底面积是，高是， ∴该无盖长方体纸盒的容积是 ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】 （1）已知，是关于x的一元二次方程 的两实数根，求m的取值范围； 【数学理解】 （2）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根，等腰三角形的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【拓展探索】 （3）如图，如果三边的长分别为a，b，c，那么根据秦九韶一海伦公式可得．其中，在（2）的条件下，若和的平分线交于点I，求的面积． 【答案】（1）且；（2）10；（3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况代入再结合一元二次方程的定义列出关于m的一元一次不等式组求解即可． （2）由题意知，再根据根的判别式求出m的值，进而可求出，再根据三角形的周长公式计算即可． （3）由（2）知，的三边长分别为3，3，4，结合题干得出，过点I 分别作，，，垂足分别为点 F，D，E．由角平分线的性质得出，再根据三角形面积公式得出，最后再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得 且，化简得， 解得∶且． （2）由题意知，恰好是等腰三角形的腰长， ， 是关于x的一元二次方程的两实数根，， 解得： 解得： ∵ 的周长为． （3）由（2）知，的三边长分别为3，3，4， ， 如图，过点I 分别作，，，垂足分别为点 F，D，E． ∵I是的角平分线的交点， 解得， 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 23. 【问题背景】 如图，在 中， ，，，点 P从点A 开始沿边向点 B 以 的速度运动，点Q 同时从点B 开始沿边向点C 以的速度运动，设运动时间为． 【构建联系】 （1）点Q，P出发几秒后， 的面积等于? （2）的面积能否等于 ?请说明理由． 【深入探究】 （3）当t为何值时， ? 【答案】（1）或； （2）不能，理由如下： 由（1）得 整理，得 ， ， ∴该方程无实数根，即的面积不能等于； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意得，，根据三角形面积公式列方程求解即可； （2）根据（1）的方法列出方程，再判断出方程是否有解即可； （3）根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：依题意，得 ，，则 整理，得 解得 即或后，的面积等于； （2）略． （3）在中，∵， ∴， 由勾股定理，得 整理，得， 解得或（舍去）. 即当t为时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁市宋声学校九年级月考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 4 D. 4. 已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 若关于的方程 的两根互为相反数，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：，例如：，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 10. 某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程x2=4x的根是_____． 12. 若是方程的根，则____________． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 14. 设与为一元二次方程的两根，则的值为________． 15. 如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建同样宽的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 ，则修建的路宽应为_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 按要求解题： （1）用因式分解法解方程： ； （2）用配方法解方程：． 17. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？ 18. 某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 综合与实践 【主题】制作无盖纸盒 【素材】一张长、宽的长方形纸片． 【实践操作】 步骤1：取一张长、宽的长方形纸片． 步骤2：将纸片的四个角各剪去一个同样的小正方形，折成无盖长方体纸盒． 【实践探索】 （1）如果制作的无盖纸盒的底面积为那么各角应该剪去的正方形的边长是多少？ （2）根据（1）中的结果，计算该无盖长方体纸盒的容积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】 （1）已知，是关于x的一元二次方程 的两实数根，求m的取值范围； 【数学理解】 （2）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根，等腰三角形的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【拓展探索】 （3）如图，如果三边的长分别为a，b，c，那么根据秦九韶一海伦公式可得．其中，在（2）的条件下，若和的平分线交于点I，求的面积． 23. 【问题背景】 如图，在 中， ，，，点 P从点A 开始沿边向点 B 以 的速度运动，点Q 同时从点B 开始沿边向点C 以的速度运动，设运动时间为． 【构建联系】 （1）点Q，P出发几秒后， 的面积等于? （2）的面积能否等于 ?请说明理由． 【深入探究】 （3）当t为何值时， ? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $