16.3.1平方差公式 教学课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十六章 整式的乘法 16.3.1平方差公式 （人教版）八年级上册 01 教学目标 01 02 理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，能利用平方差公式 进行简单的计算和推理。 在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法， 在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想。 02 新知导入 学校打算在操场边新建一块长方形的绿化带，原来计划的长是 15 米，宽是 10 米. 后来因为场地调整，长增加了 2 米，宽减少了 2 米，调整后的绿化带面积和原来相比，是变大了、变小了，还是没变呢？​ 15m 10m 2m 2m 原来的面积是 15×10=150（米2）， 调整后的长是 17 米，宽是 8 米， 面积是 17×8=136 （米2）. 显然，面积变小了. 02 新知导入 我们再换一组数据试试？如果原来的长是 20 米，宽是 15 米，长增加 3 米，宽减少 3 米，面积又会怎么变呢？ 20m 15m 3m 3m 原来的面积是 20×15=300 （米2）， 调整后的面积是 23×12=276 （米2）， 面积还是变小了. 这里面是不是存在着某种规律呢？ 03 新知讲解 探究 ① ( x＋1) ( x－1)； ② (m＋2) (m－2)； ③ (2x＋1)(2x－1)； 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ x2－12 m2－22 (2x)2－12 两数的___ 两数的___ 和 差 两数____的差 平方 猜想： (a + b)(a – b) = a2 – b2 03 新知讲解 探究 (a + b)(a – b) + = a2 (–ab) ab (–b2) + + 证明一：利用多项式乘多项式的法则. = a2 – b2 03 新知讲解 探究 a b b a (a – b) 纸片剩余面积： a2 – b2 拼成的长方形面积： (a – b)(a + b) (a – b) (a – b)(a + b) = a2 – b2 证明二：利用几何图形. 03 新知讲解 (a+b)(a−b)= a2−b2 两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差. 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 平方差公式 结构特点： 左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 平方差公式是多项式乘法 (a+b)(p+q) 中 p = a，q = –b 的特殊情形. 03 新知讲解 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 03 新知讲解 (a+b)(a−b) a b a2 − b2 (1+x)(1−x) (−3+a)(−3−a) (1+a)(−1+a) (0.3x−1)(1+0.3x) 1 x –3 a 12 – x2 = 1 – x2 (–3)2 – a2 =9 – a2 a 1 a2 – 12 = a2 – 1 0.3x 1 (0.3x)2 – 12 = 0.09x2 – 1 填一填 03 新知讲解 例1 计算：（1）(3x+2)(3x-2)； （2）(-x+2y)(-x-2y).　 解：（1）(3x+2)(3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4. （2）(-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2. 分析： 在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即 (3x+2)(3x－2) = (3x)2 －22. (a+ b)(a －b) = a2 － b2 03 新知讲解 例2 计算：（1）(x-1)(x+1)(x2+1)； （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； 解：（1）(x-1)(x+1)(x2+1) =(x-1)(x+1)(x2+1) =(x2-1)(x2+1) =x4-1. （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. 03 新知讲解 例2 计算：（3）102×98. 解：（3）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =10000-4 =9996. 04 课堂练习 基础题 1.下列运算正确的是(　　) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2 C 2. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y) C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y) C 04 课堂练习 基础题 3．如图，将分割的长方形拼接，由此可以验证(　　) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D 04 课堂练习 基础题 (1)(a+3b)(a– 3b)； =4a2–9； =4x4–y2. 原式=(2a+3)(2a–3) =a2–9b2 ； =(2a)2–32 原式=(–2x2 )2–y2 原式=(a)2–(3b)2 (2)(3+2a)(–3+2a)； (3)(–2x2–y)(–2x2+y). 4. 利用平方差公式计算： 04 课堂练习 提升题 1.若，则 的值为( ) B A.4 B.16 C.24 D.32 2.对于任意正整数，能整除式子 的 整数是( ) C A.3 B.6 C.10 D.9 04 课堂练习 拓展题 如何化简(2＋1)(22＋1)(24＋1)呢？若直接计算，则繁琐易错，注意到这三个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，使问题迎刃而解． 解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1) ＝(24－1)(24＋1) ＝28－1. 04 课堂练习 拓展题 04 课堂练习 拓展题 (2)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)． 05 课堂小结 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 06 板书设计 16.3.1平方差公式 平方差公式： 根据以上材料计算下面各题： (1)； 解: 原式＝2×(1－)·(1＋)·＝2×(1＋)·(1＋)＝2×＝2×(1－)(1＋)＝2×(1－)＝2－. 解: 原式＝(3－1)(3＋1)(32＋1)·(34＋1)(38＋1)(316＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)＝(38－1)(38＋1)(316＋1)＝(316－1)(316＋1)＝(332－1)． $