1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练习题 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3．若向量，则（   ） A．4 B． C． D． 4．设向量，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知，，则是（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 6．设，向量，且，则（     ） A． B．10 C．14 D．24 7．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是（     ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．与夹角的余弦值是 C．在上的投影向量的坐标是 D．两点间距离为 二、多选题 9．在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于x轴对称的点的坐标为 B．点关于xOy平面对称的点的坐标为 C．点关于原点对称的点的坐标为 D．点到xOy平面的距离为4 10．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 11．已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 12．已知空间向量的坐标为，则________. 13．已知向量，若，则___________ 14．在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 四、解答题 15．已知. (1)求向量的坐标； (2)若，求的值. 16．已知向量，，，计算下列各式的值． (1)； (2)； (3). 17．已知向量，. (1)求向量，并求； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 18．已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 19．已知空间向量，． (1)求与的夹角； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 参考答案 1．A 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 2．C 【分析】利用空间向量数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以. 3．C 【分析】结合向量的模长公式求解. 【详解】由向量的模长公式可得. 4．C 【详解】由，得， ∵，， ∴，解得. 5．C 【分析】利用空间向量的夹角公式求出，结合向量夹角的取值范围可得出的大小. 【详解】由题意可得， 因为，故. 6．B 【详解】由题意可得， 则，即，解得， 所以. 7．A 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为: . 8．C 【分析】分别根据单位向量的定义，向量夹角的公式，投影向量的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 对于选项A，由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，在上的投影向量的坐标是，故C错误； 对于选项D，两点间的距离即，故D正确. 9．BCD 【分析】根据空间中点的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：点关于x轴对称的点的坐标为，故A错误； 选项B：点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确； 选项C：点关于原点对称的点的坐标为，故C正确； 选项D：点N到xOy平面的距离为4，故D正确. 故选：BCD 10．ACD 【分析】利用空间向量的坐标运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知，， 故，正确； 对于B，由，可知，，, 所以，错误； 对于C，若，且，则，即，正确； 对于D，若且，则设，那么， ，正确. 11．AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 12． 【详解】因为空间向量的坐标为，所以. 13．1 【详解】由向量，， 得，所以. 14． 【分析】先根据点M在线段OA上运动设出点M的坐标，再求出与的坐标，进而求得关于参数的表达式，根据二次函数性质求出最小值时参数的值，得到点M的坐标；最后求出线段BC的中点坐标，利用两点间距离公式求出点M到线段BC的中点的距离. 【详解】设点，因为点M在线段OA上运动，所以， 因为点，，， 设，则点， 所以，， 则， 当时， 取得最小值为，此时点M的坐标为． 因为点，， 所以线段BC的中点的坐标为， 所以点M到线段BC的中点的距离为. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得. （2）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的数量积运算即可得到答案； （2）根据空间向量模的运算即可得到答案； （3）根据空间向量的夹角运算即可得到答案. 【详解】（1）因为向量，，所以， 故. （2）因为向量，，所以， 故. （3）因为向量，，所以. 17．(1)， (2) (3) 【详解】（1）已知，，则， . （2）已知，，则， ，因为，所以， 所以，解得. （3）已知，，则， ， 因为，所以， 所以，解得. 18．(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 19．(1) (2) 【详解】（1）∵，∴设与夹角为， 则，又， ∴. （2）∵，， 设与的夹角为， 由题意知为锐角，即， 即，解得， 当与同向时，，此时， 故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $