26.4 实际问题与二次函数（知识清单，知识点&6易错&6题型）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学资料聚焦“实际问题与二次函数”，系统梳理解决实际问题的步骤（审设列解验答）及常见类型（图形面积、利润最值、抛物线轨迹等），衔接二次函数图象性质，构建从理论到应用的学习支架。 知识链路按“步骤梳理-类型解析-易错警示-题型应用”逻辑展开，涵盖图形、拱桥、销售等多情境问题，融入跨学科案例。通过规范建模步骤培养数学思维，用函数表达现实问题体现数学语言，例题注重实际验证与易错分析，助力学生发展应用意识与创新意识。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 🔷知识点一　二次函数解决实际问题的步骤 对于某些实际问题，如果其中变量的关系可以用二次函数刻画，则就可以利用二次函数的图象与性质对其进行研究。 利用二次函数解决实际问题的步骤如下： ①审：找出题目中的常量与变量，并分析它们之间的关系； ②设：假设适当的未知数； ③列：根据题意，用二次函数表示出变量之间的关系，并写出二次函数的解析式和自变量的取值范围； ④解：由题意，对因变量赋予特定的值代入求解自变量，或是由二次函数的图象性质，得到最优解； ⑤验：检验结果是否符合题意，是否符合现实规则，必要时可以合理取舍； ⑥答：解答题收尾，得出最终结论。 ⚠️特别提醒 如果解决的是实际问题，则需要注意自变量的取值范围，一般情况下，自变量的实际取值范围会有与之对应的限制条件，好比产品总数不超过个，篱笆的长度要大于，小于，诸如此类。因此，最好在第一步审题阶段的时候，能把自变量的取值范围先确定下来，避免出现在最后取值的时候，超出自变量原有的范围。 📌 归纳总结 用二次函数解决实际问题的步骤大概可以概括为以下六条：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答。 🔷知识点二　实际问题常见类型 （1）求图形面积或物体体积的最值：确定自变量以及自变量的取值范围；再利用面积公式或体积公式，表示出对应的函数解析式；若要求函数的最值，优先考虑将解析式改写为顶点式，结合二次函数的对称轴位置以及自变量的取值范围，即可确定二次函数在哪里取得最值，还要检验结果是否符合现实意义。 （2）求利润最值：掌握几个最核心的公式，之前在学习方程应用题时也已经学习过了： · 总利润总销售额总成本总销售数量单件物品的利润 · 利润率 同样地，先确定自变量及其取值范围，再利用核心公式表达出函数解析式，将函数解析式改写成顶点式后，就能直接看出当自变量取某个值时，利润即可取得最值。 （3）解决抛物线型的运动轨迹或建筑类问题： ①建立合适的直角坐标系，如果是桥型建筑，可以将最高点放到坐标系原点；如果是运动型的抛物线，可以将出发点放在直角坐标系的轴上，当然这种做法并不绝对，需要按照题意合理巧妙的放置坐标系； ②结合已知条件，求出函数解析式； ③利用二次函数图像性质求解。 💡 拓展延伸 ①关于“含参”实际问题 例如售价降低元，销量增加件，但未知，可以先求出含参的最值表达式，再根据题目给定的最值反过来求参数。这是一种逆向推理的办法，利用结果求条件，尽可能掌握。 ②二次函数与一次函数的“双函数”比较 例如“何时两种收费方案（一种固定费用，一种按次收费）更划算？”，可以转化为比较两个函数图象的高低，求出交点横坐标，分区间判断。 ③利用二次函数“估读”实验数据 如果给出几组散点数据，不难发现它们近似落在一条抛物线上，可以尝试用待定系数法求近似解析式，再代入特定的数求值，这种方法可以称为回归分析。 ④与物理的跨学科融合 自由落体、竖直上抛，可直接作为二次函数的实际背景，增强对“函数描述运动规律”的感知，而目前及以后，类似这种学科交叉的考察方向也会愈发明显。 📌 归纳总结 当实际问题和二次函数结合在一起时，无论何种题型，大概都遵循以下几个步骤： 有图象时：①建系；②求函数解析式；③化顶点式；④代入特定的数求值，或根据题意求最值。 无图象时：①确定自变量及其取值范围；②根据核心公式，写出函数解析式；③适当改写函数解析式，将其化为顶点式；④按照题目要求求最值。 易错点 1 不验证自变量的取值范围 · 错例：求出某件商品获得最大利润时，对应的卖出物品数量，但不为整数（人数/件数），或超过给定范围（例如该题中已经明确表示，该物品数量最大为10件），但直接作答； · 错因：代数思维与建模思维脱节，只关注“公式求最值”，忽视变量的现实约束； · 规避方法：列完函数后，先写出自变量的取值范围（如，且为整数），再求最值，并检查最值点是否在范围内。 易错点 2 利润问题中“售价”与“利润”的关系 · 错例：设售价为，直接用总利润，忘了减去进价； · 错因：对利润的计算公式不熟悉，或者没有掌握计算利润的逻辑：总利润（售价进价）销量，而不是“售价销量”； · 规避方法：可以在列式前先用括号写出单件利润，再乘销量，确保进价不被遗漏。 易错点 3 “靠墙”问题 · 错例：靠墙围矩形，设平行于墙的一边为，另一边为，但忘了墙的长度限制； · 错因：只列代数式，不代入题目中的“墙长”隐性条件； · 规避方法：画出示意图，标出哪边靠墙，哪边用篱笆。若题中说“墙长米”，则靠墙的一边不能超过，立即写出。 易错点 4 抛物线形问题中“建系不当” · 错例：对于桥型问题，由它的图象估得抛物线与轴交于和，直接设解析式为代入求； · 错因：坐标系选择不当，导致解析式复杂或运算量大； · 规避方法：一般情况下，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，可设解析式为，仅需一个点即可求，运算量最小。 易错点 5 忽略“二次项系数不为0” · 错例：含参实际问题的函数解析式为，直接讨论最值，忘了； · 错因：知识迁移不足，只关注实际背景，忘了函数本身的定义前提； · 规避方法：解题第一步先确认二次项系数不为0，并在显眼处标注。 易错点 6 最值点与端点值“漏比” · 错例：在对称轴不在取值范围内时，直接说“无最值”或只取了一个端点值； · 错因：对区间上二次函数最值的“判断流程”不熟； · 规避方法：若对称轴在区间内，求顶点值和两端点值，三者取最大/最小；若对称轴不在区间内，只比较两端点值。一定要写出“比较”二字。 · 题型一：图形问题 📝方法技巧 主要步骤： ①用未知数表示线段：设垂直于墙的边长为，利用篱笆总长表示另一边。 ②列面积函数：，其中，表示垂直于墙的边的条数，一般等于或，再将其化简为二次函数顶点式。 ③确定自变量范围，要注意以下几点： （ⅰ）边长必须为正：，另一边也要大于0； （ⅱ）墙长限制：靠墙一边不能超过墙长； （ⅲ）材料限制：篱笆总长固定。 ④求最值：若对称轴在范围内，顶点处取最值；否则在端点处取。 关键技巧： · 遇到“靠墙围栏”，先画出示意图，标出哪边靠墙，哪边用篱笆； · 含“树/障碍物”时，将约束转化为不等式； · 体积问题需注意裁剪后长、宽、高的代数表达。 重点关注：的范围不能漏写；对称轴若不在取值范围内，最值在端点取得，不能直接套顶点公式。 1.（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 2．（第五章二次函数☆问题解决活动：怎样围面积最大）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 3．（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 4．（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 5．（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题背景 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问题解决： (1)在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值； (2)在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． (3)将（2）中的y与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接． (4)若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸盒体积的大小． 6．（2026·上海浦东新·模拟预测）某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． (2)请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 7．（24-25八年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如右图所示．已知，． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即，且停车位的宽度不小于，其余部分是等宽的通道． (1)任务1：①设停车位的宽度为，通道的宽度为，求与之间的函数关系式； ②若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． (2)任务2：若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 题型二：拱桥问题 📝方法技巧 ①建立坐标系：通常以抛物线顶点为原点（或对称轴为轴），使解析式最简； ②设解析式：优先用顶点式，代入已知点求； ③“知高求宽”或“知宽求高”：将高度代入求，或反之； ④判断能否通行：将物体宽度对应到坐标，计算该处高度与物体所需高度比较。 关键技巧： · 坐标系不同，解析式形式不同，但本质都是用坐标表示几何； · 多点共线时，可以利用对称性减少未知数，表示其它的量； · 钢架/灯带长度问题：垂直距离抛物线上方函数值下方函数值。 重点关注：单位一定要统一；水位上升后，抛物线方程不变但计算高度时需减去上升量。 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 2．（2022·山东潍坊·模拟预测）在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 5．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 6．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 7．（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 题型三：销售问题 📝方法技巧 ①设降价（或涨价）为； ②用表示：（ⅰ）新的单件利润售价进价；（ⅱ）新的销量原销量  价格变化带来的增减量； ③列总利润函数：，转化为二次函数； ④求最大利润：配方或公式法求顶点，注意的实际范围（如为非负整数，降价不超过进价等）。 关键技巧： · 若题中给出“每降价1元，多卖件”，则销量增加量为，不是直接加； · 若让顾客得到更多实惠，两个解中取降价更多的那个。 重点关注：单件利润是“售价进价”而非“售价”；总利润不要漏乘销量；降价不能导致售价低于进价。 1.（第五章二次函数高效同步练习3二次函数的应用第3课时利润问题）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 2．（2022·四川成都·模拟预测）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 3．（2022·辽宁营口·模拟预测）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 4．（2022·辽宁营口·模拟预测）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 5．（2024·山东潍坊·模拟预测）某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 6．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 7．（2022·北京门头沟·模拟预测）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． (1)商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 题型四：投球问题 📝方法技巧 ①建坐标系：以出手点或落地点为原点； ②设顶点式求解析式：已知最高点坐标和经过的另一个点，表示出函数解析式； ③“过网”判断：算出球在网横坐标处的高度，与网高比较； ④“接球”范围：将接球点横坐标代入，计算高度是否在接球能力范围内。 关键技巧： · 反弹后抛物线形状不变，但最大高度和落地点变化，注意分段处理； · 若出现“命中靶心”，则代表抛物线经过靶心坐标点； · 若问“能否越过障碍”，计算障碍物横坐标处抛物线的高度。 重点关注：注意出手高度是时的值；最高点横坐标不一定在对称轴中点。 1.（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 2．（第五章二次函数高效同步练习3二次函数的应用第1课时确定二次函数表达式）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 3．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 4．（2022·河北邯郸·三模）如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 5．（2022·河北衡水·模拟预测）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 6．（2026·湖北武汉·二模）某校数学小组开展以“10米跳台跳水路线”为主题的综合实践活动． 研究背景：跳水路线所在的平面与水面垂直，且不考虑空气阻力． 建立方法： 以水面所在直线为x轴，跳台最前端点A垂直水面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息：①某次训练中运动员的重心相对于水面的高度与水平距离的对应值如下表： 水平距离 0 1 1.1 1.2 1.5 … 高度 10 10 9.78 9.52 8.5 … ②数学小组借助计算机画图软件，发现此次跳水路线是抛物线的一部分． ③运动员起跳后达到最高点时的重心相对水面的高度为且．从达到最高点开始计时，他的重心相对水面的高度与时间之间满足． 建立模型 (1)求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； 应用模型 (2)从达到最高点开始计时，求他的重心相对水面的高度为所用的时间； (3)运动员进行第二次跳水训练，此次他的重心相对于水面的高度与水平距离的关系为．若他从达到最高点开始，至他的重心入水前需要完成某个动作，求n的取值范围． 7．（2026·陕西西安·三模）巴黎奥运会中，中国羽毛球队以2金3银收官，位列该项目奖牌榜第一，如图，在一次羽毛球赛中，甲运动员在地面点O的正上方的点A处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分，当球运动到离点O水平距离为时，达到最大高度，在离点O水平距离的点B处，放置一个高的球网，以点O为原点，以水平地面为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明此球必过网； (3)乙运动员在球场上点处接球（不能触网），乙原地起跳后使得球拍达到的最大高度为，若乙因接球高度不够而失球，求d的取值范围． 题型五：喷水问题 📝方法技巧 ①建坐标系：以喷水口为原点或顶点为原点； ②顶点式求解析式：利用最高点高度和水平距离求出函数解析式； ③求覆盖半径：令求正根； ④判断是否超出区域：比较覆盖半径与到边界距离。 关键技巧： · 喷头升高或降低时，抛物线形状不变（即不变），只改变顶点纵坐标即可； · 若问“前进多少米使某点高度达标”，将目标坐标代入，反向推出水平位移； · 多方向喷水时，只需考虑一个截面即可。 重点关注：喷头高度改变时，整个抛物线上下平移，注意顶点纵坐标变化。 1.（25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 2．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 3．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 4．（2026·山西长治·三模）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 5．（2026·山西长治·三模）某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 6．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）求解下列各题： 项目主题 合理规划学校劳动基地 素材1 在学校的劳动实践基地有一片矩形菜地，米，米，图①四周过道部分的宽度相等，种植区域是矩形，其种植面积266平方米．    素材2 为了方便灌溉，要在菜地中心点处安装一款垂直升降可旋转的自动喷水装置，处喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当调整喷头竖直高度时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变． 素材3 现测得米，以点为原点，所在的直线为轴，平行于的直线为轴建立如图②的平面直角坐标系，测得喷出的水流与点水平距离为4米处达到最高点，点距地面2米．    素材4 当调整喷头的竖直高度时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变． (1)求过道的宽度； (2)求抛物线的解析式及喷水装置能够覆盖的最远水平距离，并判断此时喷出的水是否超出矩形区域； (3)当喷头刚好旋转时，建立适当平面直角坐标系，求此时的长满足什么条件，使喷出的水不会落在矩形外面且完全能够覆盖菜地． 7．（2026·宁夏吴忠·二模）【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． 题型六：增长率问题 📝方法技巧 ①建立二次函数模型：若题中给出多个月份的利润/销量，可用待定系数法求； ②求某月数据：代入值计算； ③求“扭亏为盈”时间：令解方程，取最近的正根； ④求累计盈亏：将各月函数值求和，与初始投入比较。 关键技巧： · 连续增长率问题可用； · 价格调整后利润函数为二次函数，可通过配方法求最大利润； · “前几个月亏损，后几个月盈利”时，累计盈利总盈利总亏损。 重点关注：增长率一般不为负，下降率可另行处理。 1.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 2．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 3．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 4．（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 5．（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 🔷知识点一　二次函数解决实际问题的步骤 对于某些实际问题，如果其中变量的关系可以用二次函数刻画，则就可以利用二次函数的图象与性质对其进行研究。 利用二次函数解决实际问题的步骤如下： ①审：找出题目中的常量与变量，并分析它们之间的关系； ②设：假设适当的未知数； ③列：根据题意，用二次函数表示出变量之间的关系，并写出二次函数的解析式和自变量的取值范围； ④解：由题意，对因变量赋予特定的值代入求解自变量，或是由二次函数的图象性质，得到最优解； ⑤验：检验结果是否符合题意，是否符合现实规则，必要时可以合理取舍； ⑥答：解答题收尾，得出最终结论。 ⚠️特别提醒 如果解决的是实际问题，则需要注意自变量的取值范围，一般情况下，自变量的实际取值范围会有与之对应的限制条件，好比产品总数不超过个，篱笆的长度要大于，小于，诸如此类。因此，最好在第一步审题阶段的时候，能把自变量的取值范围先确定下来，避免出现在最后取值的时候，超出自变量原有的范围。 📌 归纳总结 用二次函数解决实际问题的步骤大概可以概括为以下六条：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答。 🔷知识点二　实际问题常见类型 （1）求图形面积或物体体积的最值：确定自变量以及自变量的取值范围；再利用面积公式或体积公式，表示出对应的函数解析式；若要求函数的最值，优先考虑将解析式改写为顶点式，结合二次函数的对称轴位置以及自变量的取值范围，即可确定二次函数在哪里取得最值，还要检验结果是否符合现实意义。 （2）求利润最值：掌握几个最核心的公式，之前在学习方程应用题时也已经学习过了： · 总利润总销售额总成本总销售数量单件物品的利润 · 利润率 同样地，先确定自变量及其取值范围，再利用核心公式表达出函数解析式，将函数解析式改写成顶点式后，就能直接看出当自变量取某个值时，利润即可取得最值。 （3）解决抛物线型的运动轨迹或建筑类问题： ①建立合适的直角坐标系，如果是桥型建筑，可以将最高点放到坐标系原点；如果是运动型的抛物线，可以将出发点放在直角坐标系的轴上，当然这种做法并不绝对，需要按照题意合理巧妙的放置坐标系； ②结合已知条件，求出函数解析式； ③利用二次函数图像性质求解。 💡 拓展延伸 ①关于“含参”实际问题 例如售价降低元，销量增加件，但未知，可以先求出含参的最值表达式，再根据题目给定的最值反过来求参数。这是一种逆向推理的办法，利用结果求条件，尽可能掌握。 ②二次函数与一次函数的“双函数”比较 例如“何时两种收费方案（一种固定费用，一种按次收费）更划算？”，可以转化为比较两个函数图象的高低，求出交点横坐标，分区间判断。 ③利用二次函数“估读”实验数据 如果给出几组散点数据，不难发现它们近似落在一条抛物线上，可以尝试用待定系数法求近似解析式，再代入特定的数求值，这种方法可以称为回归分析。 ④与物理的跨学科融合 自由落体、竖直上抛，可直接作为二次函数的实际背景，增强对“函数描述运动规律”的感知，而目前及以后，类似这种学科交叉的考察方向也会愈发明显。 📌 归纳总结 当实际问题和二次函数结合在一起时，无论何种题型，大概都遵循以下几个步骤： 有图象时：①建系；②求函数解析式；③化顶点式；④代入特定的数求值，或根据题意求最值。 无图象时：①确定自变量及其取值范围；②根据核心公式，写出函数解析式；③适当改写函数解析式，将其化为顶点式；④按照题目要求求最值。 易错点 1 不验证自变量的取值范围 · 错例：求出某件商品获得最大利润时，对应的卖出物品数量，但不为整数（人数/件数），或超过给定范围（例如该题中已经明确表示，该物品数量最大为10件），但直接作答； · 错因：代数思维与建模思维脱节，只关注“公式求最值”，忽视变量的现实约束； · 规避方法：列完函数后，先写出自变量的取值范围（如，且为整数），再求最值，并检查最值点是否在范围内。 易错点 2 利润问题中“售价”与“利润”的关系 · 错例：设售价为，直接用总利润，忘了减去进价； · 错因：对利润的计算公式不熟悉，或者没有掌握计算利润的逻辑：总利润（售价进价）销量，而不是“售价销量”； · 规避方法：可以在列式前先用括号写出单件利润，再乘销量，确保进价不被遗漏。 易错点 3 “靠墙”问题 · 错例：靠墙围矩形，设平行于墙的一边为，另一边为，但忘了墙的长度限制； · 错因：只列代数式，不代入题目中的“墙长”隐性条件； · 规避方法：画出示意图，标出哪边靠墙，哪边用篱笆。若题中说“墙长米”，则靠墙的一边不能超过，立即写出。 易错点 4 抛物线形问题中“建系不当” · 错例：对于桥型问题，由它的图象估得抛物线与轴交于和，直接设解析式为代入求； · 错因：坐标系选择不当，导致解析式复杂或运算量大； · 规避方法：一般情况下，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，可设解析式为，仅需一个点即可求，运算量最小。 易错点 5 忽略“二次项系数不为0” · 错例：含参实际问题的函数解析式为，直接讨论最值，忘了； · 错因：知识迁移不足，只关注实际背景，忘了函数本身的定义前提； · 规避方法：解题第一步先确认二次项系数不为0，并在显眼处标注。 易错点 6 最值点与端点值“漏比” · 错例：在对称轴不在取值范围内时，直接说“无最值”或只取了一个端点值； · 错因：对区间上二次函数最值的“判断流程”不熟； · 规避方法：若对称轴在区间内，求顶点值和两端点值，三者取最大/最小；若对称轴不在区间内，只比较两端点值。一定要写出“比较”二字。 · 题型一：图形问题 📝方法技巧 主要步骤： ①用未知数表示线段：设垂直于墙的边长为，利用篱笆总长表示另一边。 ②列面积函数：，其中，表示垂直于墙的边的条数，一般等于或，再将其化简为二次函数顶点式。 ③确定自变量范围，要注意以下几点： （ⅰ）边长必须为正：，另一边也要大于0； （ⅱ）墙长限制：靠墙一边不能超过墙长； （ⅲ）材料限制：篱笆总长固定。 ④求最值：若对称轴在范围内，顶点处取最值；否则在端点处取。 关键技巧： · 遇到“靠墙围栏”，先画出示意图，标出哪边靠墙，哪边用篱笆； · 含“树/障碍物”时，将约束转化为不等式； · 体积问题需注意裁剪后长、宽、高的代数表达。 重点关注：的范围不能漏写；对称轴若不在取值范围内，最值在端点取得，不能直接套顶点公式。 1.（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 2．（第五章二次函数☆问题解决活动：怎样围面积最大）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地设计一片矩形菜园，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，此次活动记录如下： 活动主题 为学校设计矩形菜园 活动准备 1．准备皮尺等测量工具；2．调研学校需求 采集数据 图1是学校围墙一角的平面图，信息图如图所示： 1．两道墙之间的夹角为直角； 2．两道墙可用于建菜园的长度都不超过； 3．可用的篱笆总长度为． 设计方案 把篱笆按如图2所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．通过改变的长度，使得菜园的面积最大． 确定思路 小组成员经过讨论，确定设的长为，菜园的面积为，列出S关于x的函数关系，根据x的取值范围确定函数值的范围，从而获得菜园面积的最大值． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求菜园面积S（单位：）关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当菜园面积最大时，求此时矩形菜园的长和宽； (3)判断该方案围成面积最大时是否符合墙长要求？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为和 (3)符合 【分析】（1）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ； （2）解：由（1）知，， 当时，有最大值， ∴当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和； （3）解：∵当菜园面积最大时，矩形菜园的长和宽分别为和． 由（1）知， 该方案围成面积最大时符合墙长要求． 3．（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【分析】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 4．（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 5．（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题背景 在一次数学活动课上，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 方案一：如图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二：如图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问题解决： (1)在方案一中： ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值； (2)在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． (3)将（2）中的y与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接． (4)若利用两个方案制作的两种无盖纸盒的高度相等，请结合图象比较两种纸盒体积的大小． 【答案】(1)①；②，单个无盖纸盒体积的最大值为 (2) (3)描点、画函数图象如解图所示． (4)方案一的纸盒体积更大 【分析】（1）根据题意用含x的式子表示长；②根据题意列出制作的每个无盖纸盒的体积与的二次函数关系式，根据二次函数的性质进行解答即可； （2）利用长方体的体积公式表示出图中纸盒的体积； （3）利用描点连线画出函数的图象 （4）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得 答：边的长为． ②根据题意，得． ∵，， ∴当时，y有最大值，即单个无盖纸盒体积的最大值为． （2）解：根据题意，得． （3）略 （4）画出方案一的函数图象，如解图所示． 由图象可知，当时，方案二的纸盒体积更大；当时，两个方案的纸盒体积一样大；当时，方案一的纸盒体积更大． 6．（2026·上海浦东新·模拟预测）某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． (2)请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 【答案】(1)纸盒的高为 ，容积为 (2)函数关系式为 ，当时，随的增大而减小 【分析】（1）设纸盒的高为，根据长方体的表面积公式以及题干所给的材料利用率计算公式建立方程求解； （2）根据材料利用率计算公式建立二次函数关系式，然后由于长方体的底面正方形边长为，求出的取值范围，再由二次函数的性质求解材料利用率随的变化而变化的情况． 【详解】（1）解：设纸盒的高为， 由题意得，， 解得， 则纸盒的容积为：； （2）解：由题意得，， ∵长方体的底面正方形边长为， ∴ ∴， ，对称轴为直线， ∴当时， 随的增大而减小． 7．（24-25八年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如右图所示．已知，． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即，且停车位的宽度不小于，其余部分是等宽的通道． (1)任务1：①设停车位的宽度为，通道的宽度为，求与之间的函数关系式； ②若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． (2)任务2：若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 【答案】(1)①； ②符合标准；理由如下： 停车位总面积为， ， 将①中代入，得 ， ∴ ， ∴， ∴或（舍去）， ， ∴符合标准. (2)当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为. 【分析】（1）①设停车位的宽度为，通道的宽度为，根据图形可知：，进而得到，②根据停车位总面积为，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于进行判断即可； （2）设停车位的总面积为，面积公式表示出，配方法求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得：， ； ②略 （2）解：设停车位的总面积为，由（1）可知：， ∴ ， ， ∵且， ∴， ∴当时，最大， 答：当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为． 题型二：拱桥问题 📝方法技巧 ①建立坐标系：通常以抛物线顶点为原点（或对称轴为轴），使解析式最简； ②设解析式：优先用顶点式，代入已知点求； ③“知高求宽”或“知宽求高”：将高度代入求，或反之； ④判断能否通行：将物体宽度对应到坐标，计算该处高度与物体所需高度比较。 关键技巧： · 坐标系不同，解析式形式不同，但本质都是用坐标表示几何； · 多点共线时，可以利用对称性减少未知数，表示其它的量； · 钢架/灯带长度问题：垂直距离抛物线上方函数值下方函数值。 重点关注：单位一定要统一；水位上升后，抛物线方程不变但计算高度时需减去上升量。 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【详解】略 2．（2022·山东潍坊·模拟预测）在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【答案】(1) (2)解：当时，， 解得或（舍去） ∵，且， ∴该公交车能够完全停入遮阳棚正下方； (3)钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）当时，求出点的横坐标，然后根据车身长度进行比较即可； （3）求出直线的解析式，设，则，得出的最大值，然后根据临界点求值进行判断． 【详解】（1）解：根据题意得，，抛物线顶点坐标为， 假设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：略； （3）解：设的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患， 当时，， 解得， ∵， ∴不存在遮挡不足问题 ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 5．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)， (2)机动车道一的限高高度为 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 6．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 7．（2026·河南开封·模拟预测）开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 题型三：销售问题 📝方法技巧 ①设降价（或涨价）为； ②用表示：（ⅰ）新的单件利润售价进价；（ⅱ）新的销量原销量  价格变化带来的增减量； ③列总利润函数：，转化为二次函数； ④求最大利润：配方或公式法求顶点，注意的实际范围（如为非负整数，降价不超过进价等）。 关键技巧： · 若题中给出“每降价1元，多卖件”，则销量增加量为，不是直接加； · 若让顾客得到更多实惠，两个解中取降价更多的那个。 重点关注：单件利润是“售价进价”而非“售价”；总利润不要漏乘销量；降价不能导致售价低于进价。 1.（第五章二次函数高效同步练习3二次函数的应用第3课时利润问题）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 2．（2022·四川成都·模拟预测）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 【答案】(1) (2)每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为19440元 【分析】（1）根据图表可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设， 把代入得， 解得：， ∴客房每天的出租数量y（间）与每间房日租金x（元）的函数关系式为， ∵每天房间的出租率不低于， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间． 则， 即． ∵，且， ∴． 当时，的最大值为． 这时每间客房的日租金为（元）． 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高为元． 3．（2022·辽宁营口·模拟预测）近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【答案】(1)（，且为的整数倍） (2)这天公司获得的总利润最多为元 【分析】（1）根据利润等于每辆车的利润乘以租出的车辆数，列式计算即可； （2）根据二次函数的性质分别求出前天和后天的利润最大值，然后相加即可得出获得的总利润最大值． 【详解】（1）解：根据题意得 （，且为的整数倍）； （2）解：， ， 前天：当时，取得最大值，最大值为， 当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元， 后天：当时，的最大值为， （元）． 答：这天公司获得的总利润最多为元． 4．（2022·辽宁营口·模拟预测）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 5．（2024·山东潍坊·模拟预测）某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】(1)①；② (2)年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和 【分析】（1）①根据题意列出关系式即可； ②根据总收入列一元二次方程计算； （2）根据题意列出不等式，结合换元法、二次函数的性质解题． 【详解】（1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 6．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 7．（2022·北京门头沟·模拟预测）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． (1)商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每个定价为元，应进货个 (2)每个定价增加元时可获得最大利润，可获得的最大利润是元 【分析】（1）设每个定价增加元，根据题意列一元二次方程，解方程求出的值，根据进货量较少，确定符合题意的的值，进而可得出答案； （2）设每个定价增加元，获得利润为元，可得，根据二次函数的性质求出的最大值即可得出答案． 【详解】（1）解：设每个定价增加元， ∵每个进价为元，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个，准备获得利润元， ∴， 解得：，， ∵要使进货量较少， ∴每个定价为（元），应进货（个）． 答：每个定价为元，应进货个． （2）解：设每个定价增加元，获得利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：每个定价增加元时，可获得最大利润，最大利润是元． 题型四：投球问题 📝方法技巧 ①建坐标系：以出手点或落地点为原点； ②设顶点式求解析式：已知最高点坐标和经过的另一个点，表示出函数解析式； ③“过网”判断：算出球在网横坐标处的高度，与网高比较； ④“接球”范围：将接球点横坐标代入，计算高度是否在接球能力范围内。 关键技巧： · 反弹后抛物线形状不变，但最大高度和落地点变化，注意分段处理； · 若出现“命中靶心”，则代表抛物线经过靶心坐标点； · 若问“能否越过障碍”，计算障碍物横坐标处抛物线的高度。 重点关注：注意出手高度是时的值；最高点横坐标不一定在对称轴中点。 1.（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 2．（第五章二次函数高效同步练习3二次函数的应用第1课时确定二次函数表达式）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 3．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 4．（2022·河北邯郸·三模）如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 【答案】(1)24，，12 (2)①， 抛物线G与滑道不能再相交，理由： ∵，轴， ∴当时，， ∴抛物线G与滑道不能再相交； ②向上平移距离d的最大值为，最小值为4 【分析】（1）由题意得到点A的坐标，代入即可求出k值，得到，将点P的纵坐标和分别代入求解即可； （2）①由抛物线G的最高点Q的坐标写出抛物线的顶点式，将代入求出a值，即可得到抛物线的解析式；求出抛物线上时对应的y值，判断此点在点M的上方还是下方，即可得出抛物线与是否相交； ②首先得到，然后得到点和在抛物线上，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵平台（水平）与x轴的距离为8，， ∴， 将代入得，， ∴； ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， 将代入得， 解得； （2）解：①； 抛物线G与滑道不能再相交，理由如下： ∵最高点Q的坐标为， 设抛物线G的解析式为， ∵点在抛物线G上， ∴． 解得， ∴抛物线G的解析式为； 抛物线G与滑道不能再相交，理由略； ②∵， ∴， 当时，， 若小球恰好能被点N接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； 若小球恰好能被点C接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； ∴向上平移距离d的最大值为，最小值为4． 5．（2022·河北衡水·模拟预测）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】(1) (2)足球第二次落地点到点的距离为米 (3) 【分析】（1）当时，依题意得，设抛物线解析式为，代入，即可求解； （2），得出足球第一次落地点距点的距离为米，过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点，则，令，进而求得，进而求得的长； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为，代入，得出，根据题意可得点，点，分别代入解析式，求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 6．（2026·湖北武汉·二模）某校数学小组开展以“10米跳台跳水路线”为主题的综合实践活动． 研究背景：跳水路线所在的平面与水面垂直，且不考虑空气阻力． 建立方法： 以水面所在直线为x轴，跳台最前端点A垂直水面的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息：①某次训练中运动员的重心相对于水面的高度与水平距离的对应值如下表： 水平距离 0 1 1.1 1.2 1.5 … 高度 10 10 9.78 9.52 8.5 … ②数学小组借助计算机画图软件，发现此次跳水路线是抛物线的一部分． ③运动员起跳后达到最高点时的重心相对水面的高度为且．从达到最高点开始计时，他的重心相对水面的高度与时间之间满足． 建立模型 (1)求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； 应用模型 (2)从达到最高点开始计时，求他的重心相对水面的高度为所用的时间； (3)运动员进行第二次跳水训练，此次他的重心相对于水面的高度与水平距离的关系为．若他从达到最高点开始，至他的重心入水前需要完成某个动作，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格中的数据及抛物线，将，代入抛物线的解析式即可； （2）首先，将转化为顶点式，得到当时，，进而得到，再由，得到，解得，，(舍去)，即可得出答案； （3）根据题意得到，可知当时，，进而得，再由当时，，得到，当时，，得，综上，即可得出结论． 【详解】（1）解：将，代入，得，解得． 与的函数解析式是； （2）解：， ， 抛物线开口向下， 当时，． ． 当时，，解得，，(舍去) 他的重心相对水面的高度为所用的时间是； （3）解：， ， 当时，． ． 当时，， ， 当时，， ． ∴n的取值范围为． 7．（2026·陕西西安·三模）巴黎奥运会中，中国羽毛球队以2金3银收官，位列该项目奖牌榜第一，如图，在一次羽毛球赛中，甲运动员在地面点O的正上方的点A处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分，当球运动到离点O水平距离为时，达到最大高度，在离点O水平距离的点B处，放置一个高的球网，以点O为原点，以水平地面为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明此球必过网； (3)乙运动员在球场上点处接球（不能触网），乙原地起跳后使得球拍达到的最大高度为，若乙因接球高度不够而失球，求d的取值范围． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)解：由题意得，球网位于处，高， ∴ ， ∵，即球在网处的高度大于网高， ∴此球必过网； (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点为，设顶点式，将点代入解析式，求解即可； （2）球网位于处，高度为，将代入解析式，计算得，即可得到球在网处的飞行高度大于网高，则此球必过网； （3）乙接球高度不够，即球在点处的高度大于乙的最大接球高度，且需满足（不触网），解方程，得或．结合抛物线开口向下，可知当时，，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线过点， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：∵乙接球高度不够， ∴球到达点时的高度，且不能触网，即， 当时， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵顶点为， ∴当时，；当或时，， ∵， ∴． 题型五：喷水问题 📝方法技巧 ①建坐标系：以喷水口为原点或顶点为原点； ②顶点式求解析式：利用最高点高度和水平距离求出函数解析式； ③求覆盖半径：令求正根； ④判断是否超出区域：比较覆盖半径与到边界距离。 关键技巧： · 喷头升高或降低时，抛物线形状不变（即不变），只改变顶点纵坐标即可； · 若问“前进多少米使某点高度达标”，将目标坐标代入，反向推出水平位移； · 多方向喷水时，只需考虑一个截面即可。 重点关注：喷头高度改变时，整个抛物线上下平移，注意顶点纵坐标变化。 1.（25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 2．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 3．（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 4．（2026·山西长治·三模）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 5．（2026·山西长治·三模）某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 【答案】(1) (2)①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为．利用待定系数法求出．令，则，解方程即可得到答案；②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为．待定系数法求出．令即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4． 故可设顶棚所在抛物线的解析式为． 将，分别代入， 得 解得 顶棚所在抛物线的解析式为． （2）解：①抛物线的顶点坐标为， ． 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得， ． 令，则， 解得， ， （米）． ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ． 令，则， 米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米． 6．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）求解下列各题： 项目主题 合理规划学校劳动基地 素材1 在学校的劳动实践基地有一片矩形菜地，米，米，图①四周过道部分的宽度相等，种植区域是矩形，其种植面积266平方米．    素材2 为了方便灌溉，要在菜地中心点处安装一款垂直升降可旋转的自动喷水装置，处喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，当调整喷头竖直高度时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变． 素材3 现测得米，以点为原点，所在的直线为轴，平行于的直线为轴建立如图②的平面直角坐标系，测得喷出的水流与点水平距离为4米处达到最高点，点距地面2米．    素材4 当调整喷头的竖直高度时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变． (1)求过道的宽度； (2)求抛物线的解析式及喷水装置能够覆盖的最远水平距离，并判断此时喷出的水是否超出矩形区域； (3)当喷头刚好旋转时，建立适当平面直角坐标系，求此时的长满足什么条件，使喷出的水不会落在矩形外面且完全能够覆盖菜地． 【答案】(1)1米 (2)抛物线解析式为，最远水平距离为10米，喷出的水超出了矩形区域 (3) 【分析】（1）设过道宽为米，根据种植区域长、宽分别减去两侧过道宽度，列面积方程求解；舍去长度为负的不合理解得到过道宽度； （2）用顶点式设抛物线解析式，代入喷头点坐标求出表达式；令算出最远水平距离；分别求出中心到矩形长边、短边的水平距离，与射程比较，只要超过任意一边距离即判定超出区域； （3）旋转后新建坐标系，设喷头高度为，由抛物线形状不变设解析式；先令求出水流落地的水平坐标，再根据“不超出矩形”列落点不超过米的不等式，结合“覆盖菜地”（时）和喷头高度非负的条件，取交集得到． 【详解】（1）解：设过道的宽度为米，根据题意，得 ， 解得：， 当时， ，不符合题意，舍去， 答：过道的宽度为1米； （2）设抛物线的解析式为 ， ， 抛物线过点，代入解析式，得 ，解得，， 抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：（舍去） 喷水装置能够覆盖的最远水平距离为10米， 矩形中心为，到边的水平距离为米，到的水平距离为米， ， 此时喷出的水超出矩形区域． 抛物线解析式为，最远水平距离为10米，喷出的水超出了矩形区域； （3）解：以菜地中心为原点，平行于短边的方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设调整后喷头高度米，则， 抛物线形状不变， 二次项系数仍为，顶点仍在处， 设抛物线解析式为，将点代入，得， 解得 ， 抛物线解析式为， 令，则， 整理得， 解得。 要使喷出的水不落在矩形外，需水流落地点满足，即最远水平落点 ， ①， 由（1）知过道宽度为1米，种植区域半宽为米，要使喷出的水完全覆盖菜地，需水流到达种植区域边缘时仍在地面以上，即当时，， 即， 化简得，即②， 结合实际，喷头高度不能为负，故③， 由①②③取交集，得， 答：此时米． 7．（2026·宁夏吴忠·二模）【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． 【答案】(1)， (2)①这棵小树的最大可能高度是；②点坐标为 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②过作于点，连接，设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过作于点，连接， 设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为 ∵， ∴为中点，即 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点坐标为． 题型六：增长率问题 📝方法技巧 ①建立二次函数模型：若题中给出多个月份的利润/销量，可用待定系数法求； ②求某月数据：代入值计算； ③求“扭亏为盈”时间：令解方程，取最近的正根； ④求累计盈亏：将各月函数值求和，与初始投入比较。 关键技巧： · 连续增长率问题可用； · 价格调整后利润函数为二次函数，可通过配方法求最大利润； · “前几个月亏损，后几个月盈利”时，累计盈利总盈利总亏损。 重点关注：增长率一般不为负，下降率可另行处理。 1.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 2．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 3．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 4．（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 5．（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $