28.1 图形的旋转（知识清单，知识点&6易错&5题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十八章 旋转 28.1 图形的旋转 🔷知识点一　旋转及其相关概念 1. 旋转的概念： 把一个平面图形绕着平面内某一个点转动一定角度，叫作图形的旋转，点叫作旋转中心，转动的角度叫作旋转角，转动的方向可以分为顺时针方向和逆时针方向，我们将其叫作旋转方向。它们是旋转的三要素。 2. 旋转的相关概念： 如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段经过旋转变为点，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的经过旋转变为点，那么这两个角叫做对应角。 ⚠️特别提醒 ①旋转三要素缺一不可 当我们描述一个旋转过程的时候，旋转中心、旋转方向和旋转角三者必须同时出现。如果只描述“旋转了”而不说绕哪个点、顺时针还是逆时针旋转，是无法确定最终的旋转结果的； ②旋转角的理解要准确 旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，而不是图形上任意两点的连线夹角。例如，绕点旋转，旋转角是、、，它们都相等，但不能说“旋转了”； ③旋转中心可以在任何位置 旋转中心可以在图形外部、图形内部，也可以在图形的边上（包括顶点）。当旋转中心在图形上时，该点是旋转前后唯一不动的点，因为对应点是它本身； ④对应点是同一个点的旋转前后位置 对应点指的是旋转前图形上的某一点与旋转后图形上的对应位置，不是两个不同的点。 ⑤旋转方向 旋转方向分为顺时针和逆时针。在描述旋转过程时，若不说明方向，则无法完全确定最终位置，所以为了表述严谨，一定要记得带上旋转方向。 📌 归纳总结 （1）旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段经过旋转变为点，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的经过旋转变为点，那么这两个角叫做对应角。 🔷知识点二　旋转的性质 旋转的性质： （1）旋转前后的图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角。 ⚠️特别提醒 ①根据旋转前后图形全等，可以得到对应线段相等、对应角相等、图形形状和大小都不变的结论。解题时若需要证明线段或角相等，可优先考虑旋转； ②旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，这是确定旋转中心的依据。若已知两对对应点，连接对应点，分别作垂直平分线，交点即为旋转中心； ③旋转中心是唯一的不动点，其他所有点都绕它转动。 💡 拓展延伸 ①曾经在学习全等三角形时，接触过的“手拉手”全等模型，即两个共顶点的等腰三角形（或等边三角形、正方形）绕公共顶点旋转，可构造出全等三角形。该模型的核心就是旋转的性质。 ②在个别几何综合题中，可以将分散的线段通过旋转集中到一个三角形内，再利用勾股定理求解。例如“费马点”问题、正方形中的旋转问题； ③在平面直角坐标系中，点绕原点旋转、后的坐标存在以下变化规律：绕原点逆时针旋转：→；旋转：→。 ④若题目中出现共顶点的等线段，可尝试用旋转构造全等三角形来证明。 📌 归纳总结 旋转的性质： （1）旋转前后的图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角。 🔷知识点三　旋转作图 旋转作图的步骤： ①明确三要素： 确定旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）和旋转角； ②找关键点： 找出原图形的关键点。多边形找各顶点；圆找圆心；一般曲线尽可能找足够多的标志点； ③作对应点： 对每一个关键点，先连接与旋转中心；再以为圆心， 长为半径画弧；最后以 为顶点，为一边，按指定方向作旋转角，角的另一边与弧的交点即为对应点； ④依次连接对应点： 按原图形的连接顺序，用线段依次连接各对应点，得到旋转后的图形； ⑤标注结论，保留痕迹： 标出对应字母，写出结论。注意：弧线、角度标记等作图痕迹要保留，不要擦掉。 💡 拓展延伸 ①坐标系中常用的旋转规律，根据此规律可以快速确定点的位置： 绕原点逆时针旋转：→； 绕原点顺时针旋转：→； 绕原点旋转：→； ②若已知旋转后的图形，可以反推旋转中心和旋转角。通过连接两对对应点，分别作垂直平分线，交点即为旋转中心；旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。 📌 归纳总结 旋转作图的步骤：①明确三要素；②找关键点；③作对应点；④依次连接对应点；⑤标注结论，保留痕迹。 易错点 1 描述旋转时遗漏三要素 · 错例：将绕点逆时针旋转得到，可能被描述为“旋转了得到”； · 错因：习惯性的忽略三要素，认为只要描述出旋转角度即可； · 规避方法：描述旋转时必须写出“绕哪个点、沿什么方向、转了多少度”三个要素，可以反问自己“如果按照自己的这个描述，是否还会得到其他的图案”。 易错点 2 旋转角识别错误 · 错例：绕点旋转得到，认为旋转角是或； · 错因：把图形本身的角与旋转角混为一谈； · 规避方法：识别旋转角时，先找对应点，再把对应点分别与旋转中心连接，连线所成的角才是旋转角，这和图形自身的角没有任何关系。 易错点 3 对应点识别错误 · 错例：绕点旋转后得到，认为点与点是对应点（仅凭字母顺序猜测）； · 错因：对应点是根据旋转前后的位置确定的，即旋转前图形上的某点旋转后的“新位置”才是它的对应点。不能凭字母顺序或主观猜测，必须依据“到旋转中心距离相等”和“旋转角相等”来判断； · 规避方法：判断点的对应点时，检查哪个点到旋转中心的距离等于，且与的夹角等于旋转角，不能偷懒或主观臆想。 易错点 4 旋转方向描述错误 · 错例：图形实际是顺时针旋转，学生描述为逆时针；或题目说“逆时针旋转”，学生画成了顺时针； · 错因：对顺时针、逆时针的方向感不强，或审题时忽略了方向词； · 规避方法：画图前先在草稿纸上用箭头标出旋转方向，再动手作图。 易错点 5 旋转作图时对应点作错 · 错例：在网格中作绕点逆时针旋转的图形，学生把旋转方向搞反，或旋转角画错，导致对应点位置不对； · 错因：作图时没有严格按照“连接→画弧→作角→截取”的流程操作，而是凭感觉描点； · 规避方法：一定要严格按照旋转作图的步骤画图，确定三要素，找关键点，作对应点，依次连接对应点，最后保留痕迹得出结论。 易错点 6 坐标系中旋转坐标规律用错 · 错例：点绕原点逆时针旋转，学生写成或； · 错因：坐标旋转规律记忆混乱； · 规避方法：先画草图，看旋转后点落在哪个象限，再验证坐标符号是否正确。 · 题型一：旋转三要素 📝方法技巧 比较常见的几个问题： ①找旋转中心：优先看对应点连线的交点，或者找一个点到各组对应点距离都相等，那个点就是旋转中心。 ②找旋转角：对应点和旋转中心连起来，两条连线的夹角就是旋转角。比如和，连、′，就是旋转角。 ③钟表问题：分针每分钟走，时针每分钟走。时间快了就逆时针回调，慢了就顺时针补上。 尤其需要注意：判断旋转角：对应点和旋转中心连线的夹角才是旋转角，并非图形自带的夹角就是旋转角。 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，绕着点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角为． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针（     ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 【答案】D 【分析】根据分针每分钟转动的角度及时间差确定旋转方向和角度． 【详解】解：钟面上分针走一圈是60分钟，对应的圆心角是， ∴ 分针每分钟转过的角度是， ∵ 钟表快了10分钟， ∴ 分针多走了10分钟，需要将分针逆时针旋转回调， ∴ 旋转的角度为， ∴ 应该将分针按逆时针方向旋转． 3．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：菱形绕点顺时针旋转后得到菱形， ，，为旋转角，不是旋转角． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将一个含30°角的直角三角板绕点A旋转，使得点，A，在同一条直线上，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角； 由旋转角的定义可知是旋转角，再根据，即可解答． 【详解】解：由题可知是旋转角，． 6．（25-26八年级下·山东·期末）如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵可看成是由旋转得到的， ∴旋转角是和， ∵， ∴旋转角的度数是． 7．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（   ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 【答案】D 【分析】先由图中两个三角形各边的长度得出旋转图形的对应顶点，再由旋转性质求解即可找到旋转中心． 【详解】解：由图可知，， 的对应点为、的对应点为、的对应点为， 由旋转性质可知，对应点与旋转中心的连接构成的线段相等，则格点中只有， 即其旋转中心是格点． 题型二：旋转的性质 📝方法技巧 核心性质： ①旋转前后图形全等，对应线段相等、对应角相等； ②对应点到旋转中心的距离相等； ③对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角。 如何算旋转的角度： 先把旋转角找出来，标在图上。再看题目给的已知角，用“旋转角相等”这个条件去建立等式。 遇到等腰三角形：旋转后如果出现两条边相等（比如AC=A′C），那就要用等腰三角形的性质，底角相等，顶角是旋转角，底角就是(180°−旋转角)÷2。 1．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由旋转可知，， ∵， ∴． 2．（26-27六年级上·黑龙江绥化·开学考试）将图绕O点逆时针旋转得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，将原图绕O点逆时针旋转得到的图形如下： 3．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转性质得到，再进行角度运算即可求解． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据旋转的性质得出及，从而判定为等腰直角三角形，即可得到的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， ． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转知识，绕点旋转角度是，因此 和 都是 ，用 的 依次减去 和 ，算出 的度数。 【详解】解：把绕点顺时针旋转，得到， 由旋转的定义得和均为旋转角， ， ， ． 故选：C． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据旋转的性质可得，，，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，若，连接，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与的交点为，由旋转可得，，利用等腰三角形的性质与直角三角形的性质计算出与，作差即可得到． 【详解】解：如图，设与的交点为， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三：画旋转图形 📝方法技巧 常见步骤： ①连：把关键点和旋转中心连起来； ②画弧：以旋转中心为圆心，该距离为半径画弧； ③作角：以旋转中心为顶点，按指定方向作旋转角； ④截点：角的另一边与弧的交点就是对应点； ⑤连线：按原图顺序连接各对应点。 如果需要在网格里画图：数格子即可。比如绕点P顺时针旋转90°，就看每个点到P的横纵距离，转90°后横纵互换、符号根据方向调整。 注意：如果旋转中心在图形上，则该点不动，因为对应点就是它自己，只画其他点即可。 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转和平移变换，根据图形结合平移与旋转的特点，进行判断即可． 【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组先绕点P顺时针旋转，再向下平移4格． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ）    A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 【答案】D 【分析】根据旋转变换，翻折变换，平移变换的性质即可求解． 【详解】解：由题可知, ∴点与，点与,点与,一一对应， 沿直线翻折，得：   ， 则该选项错误； B.沿直线翻折    则该选项错误； C. 向右平移2个单位， ∵平移不改变方向， 则该选项错误； D. 绕点O逆时针旋转    则该选项正确． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点逆时针旋转得到，再将向下平移3个单位得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，如图： 则点的坐标是． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的概念，特别是绕中心点旋转后图形位置的变化.通过观察原图和选项，判断旋转之后图形的正确位置. 【详解】解：首先分析圆的位置： 原图中圆位于左上角的方格内，绕中心O逆时针旋转后，圆会旋转到右下角的方格内，通过选项可得：C和D符合； 其次，分析阴影三角形的位置变化： 原图中左下角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，旋转到右上角且斜边的方向不变.原图中右上角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，会旋转到左下角，观察C和D,C选项中阴影三角形的位置和形状符合，而D选项中位置不符合. 故选：C． 5．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在下面的方格纸上，画出三角形绕点按顺时针方向旋转后的图形． 【答案】 【分析】本题考查方格纸内图形的旋转作图，利用旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，确定各顶点旋转后的位置，再顺次连接即可得到旋转后的图形． 【详解】略． 6．（26-27七年级上·上海·开学考试）按要求画一画． (1)描出下列各点，并依次连成封闭图形． 　　　　　　 (2)画出把（1）题中的图形向右平移3格后的图形． (3)画出把（1）题中的图形绕B点顺时针旋转后的图形． 【答案】(1)解：如图即为所求， (2)解：如图即为所求， (3)解：如图即为所求， 【分析】（1）描出各点的位置，顺次连接即可； （2）描出各对应点，顺次连接即可； （3）描出各对应点，顺次连接即可； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 7．（25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）在图中，把向右平移6个方格，再绕点B顺时针方向旋转，请画出平移和旋转后的图形． 【答案】如图，和即为所求． 【详解】略 题型四：旋转对称图形 📝方法技巧 最小旋转角的计算方法：看图形能分成几个完全一样的部分，就用360°除以几。 例如正六边形能分成6个一样的等边三角形，最小旋转角就是360°÷6=60°。风车3个叶片，就是360°÷3=120°。 注意：旋转角可以是整数倍，只要是最小旋转角的整数倍都可以。比如正六边形，旋转60°、120°、180°、240°、300°都可以。 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们观察如图所示的正六边形图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：；乙同学说：；丙同学说：；丁同学说：．以上四位同学的回答中，正确的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据正六边形被分成六个相同的等边三角形，再求出每个内角的度数，然后根据旋转的性质解答． 【详解】解：∵， ∴正六边形绕这点O旋转后能和本身重合． 2．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，点是正六边形内角平分线的交点，将该正六边形绕点旋转（）后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是（     ） A．30 B．90 C．180 D．200 【答案】C 【分析】本题考查图形的中心旋转，正多边形的性质，此图案是正六边形，根据正六边形的性质求解即可． 【详解】解：中心角为， 此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， 可以为（或或或或）等． 3．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能，图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心顺时针旋转后，能够与它本身重合，则旋转角的大小可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形被分成3个全等部分，计算最小旋转角即可求解． 【详解】解：∵该图形由三个完全相同的叶片组成，且均匀分布， ∴该图形是一个旋转对称图形，其最小旋转角为， ∴旋转角 应为的整数倍，即 …， 观察选项，只有C选项符合题意． 4．（2026·吉林松原·模拟预测）如图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，则它的最小旋转角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：旋转对称图形的最小旋转角度计算公式为：最小旋转角度全等重复单元的数量， 观察该花朵图案，共有个完全相同的花瓣单元均匀环绕中心分布，因此最小旋转角度为：， 即图形绕中心旋转后即可与原图完全重合，是满足条件的最小角度． 5．（25-26八年级下·全国·期末）下列图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得到，就是看这个图形可以通过中心的射线平分成几个全等的部分，即可确定旋转的角度． 【详解】解：每一个图案都可以通过中心的射线平分成6个全等的部分， ∴旋转的角度是． 题型五：坐标与图形变换——旋转 📝方法技巧 ①记住三个最主要的旋转规律： 绕原点逆时针转：→； 绕原点顺时针转：→； 绕原点转：→。 ②如果不在原点旋转：构造直角三角形，用全等去推。比如点A(3,0)绕点B(0,4)逆时针转90°，就过A作y轴垂线，把以为斜边的直角三角形直接转过去，得到三角形全等，算出坐标。 ③对于坐标循环规律的问题：旋转几次后坐标会循环出现。比如每4秒一个循环，用2026÷4看余数，余几就对应第几个坐标。 1．（2026·广西柳州·二模）在平面直角坐标系中，点绕原点旋转得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】点绕原点旋转，得到的点与原来的点关于原点中心对称，利用关于原点对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点绕原点旋转得到点， ∴点与点关于原点对称， ∵关于原点对称的点，横坐标和纵坐标分别是原坐标的相反数， ∴点的坐标为． 2．（2026·安徽宣城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，将线段绕着点B逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，由旋转的性质可得，，作轴于点，再证明，得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点，， ∴，， 由旋转的性质可得，， 如图，作轴于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的对应点的坐标为． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设旋转秒后，点的对应点为，作轴于点，作轴于点，证明，可得，同理可得旋转、、、秒后，点对应点的坐标，总结规律，即可得旋转秒后，点的对应点的坐标． 【详解】解：设旋转秒后，点的对应点为， 如图，作轴于点，作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 由旋转可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 旋转秒后，点对应点的坐标为， 由此可得，点对应点的坐标按照，，，循环出现， 又∵， ∴旋转秒后，点的对应点的坐标为． 4．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作轴于点B，过点作轴于点C，证明，得到，则点的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为． 5．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴，过点作轴，证明，由得到，，根据点在第二象限，得到． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点在第二象限， ． 6．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，将边长为2的等边绕点O逆时针旋转得到，则点的纵坐标是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点B的坐标，再根据旋转性质得到点的坐标，进而确定其纵坐标． 【详解】过点B作轴于点C， 是边长为2的等边三角形， ，， 在中，，， ． 将点B绕点O逆时针旋转，根据坐标旋转规律：点绕原点逆时针旋转后的坐标为， 可得， 因此点的纵坐标为，对应选项为B． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转 28.1 图形的旋转 🔷知识点一　旋转及其相关概念 1. 旋转的概念： 把一个平面图形绕着平面内某一个点转动一定角度，叫作图形的旋转，点叫作旋转中心，转动的角度叫作旋转角，转动的方向可以分为顺时针方向和逆时针方向，我们将其叫作旋转方向。它们是旋转的三要素。 2. 旋转的相关概念： 如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段经过旋转变为点，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的经过旋转变为点，那么这两个角叫做对应角。 ⚠️特别提醒 ①旋转三要素缺一不可 当我们描述一个旋转过程的时候，旋转中心、旋转方向和旋转角三者必须同时出现。如果只描述“旋转了”而不说绕哪个点、顺时针还是逆时针旋转，是无法确定最终的旋转结果的； ②旋转角的理解要准确 旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，而不是图形上任意两点的连线夹角。例如，绕点旋转，旋转角是、、，它们都相等，但不能说“旋转了”； ③旋转中心可以在任何位置 旋转中心可以在图形外部、图形内部，也可以在图形的边上（包括顶点）。当旋转中心在图形上时，该点是旋转前后唯一不动的点，因为对应点是它本身； ④对应点是同一个点的旋转前后位置 对应点指的是旋转前图形上的某一点与旋转后图形上的对应位置，不是两个不同的点。 ⑤旋转方向 旋转方向分为顺时针和逆时针。在描述旋转过程时，若不说明方向，则无法完全确定最终位置，所以为了表述严谨，一定要记得带上旋转方向。 📌 归纳总结 （1）旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段经过旋转变为点，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的经过旋转变为点，那么这两个角叫做对应角。 🔷知识点二　旋转的性质 旋转的性质： （1）旋转前后的图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角。 ⚠️特别提醒 ①根据旋转前后图形全等，可以得到对应线段相等、对应角相等、图形形状和大小都不变的结论。解题时若需要证明线段或角相等，可优先考虑旋转； ②旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，这是确定旋转中心的依据。若已知两对对应点，连接对应点，分别作垂直平分线，交点即为旋转中心； ③旋转中心是唯一的不动点，其他所有点都绕它转动。 💡 拓展延伸 ①曾经在学习全等三角形时，接触过的“手拉手”全等模型，即两个共顶点的等腰三角形（或等边三角形、正方形）绕公共顶点旋转，可构造出全等三角形。该模型的核心就是旋转的性质。 ②在个别几何综合题中，可以将分散的线段通过旋转集中到一个三角形内，再利用勾股定理求解。例如“费马点”问题、正方形中的旋转问题； ③在平面直角坐标系中，点绕原点旋转、后的坐标存在以下变化规律：绕原点逆时针旋转：→；旋转：→。 ④若题目中出现共顶点的等线段，可尝试用旋转构造全等三角形来证明。 📌 归纳总结 旋转的性质： （1）旋转前后的图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角。 🔷知识点三　旋转作图 旋转作图的步骤： ①明确三要素： 确定旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）和旋转角； ②找关键点： 找出原图形的关键点。多边形找各顶点；圆找圆心；一般曲线尽可能找足够多的标志点； ③作对应点： 对每一个关键点，先连接与旋转中心；再以为圆心， 长为半径画弧；最后以 为顶点，为一边，按指定方向作旋转角，角的另一边与弧的交点即为对应点； ④依次连接对应点： 按原图形的连接顺序，用线段依次连接各对应点，得到旋转后的图形； ⑤标注结论，保留痕迹： 标出对应字母，写出结论。注意：弧线、角度标记等作图痕迹要保留，不要擦掉。 💡 拓展延伸 ①坐标系中常用的旋转规律，根据此规律可以快速确定点的位置： 绕原点逆时针旋转：→； 绕原点顺时针旋转：→； 绕原点旋转：→； ②若已知旋转后的图形，可以反推旋转中心和旋转角。通过连接两对对应点，分别作垂直平分线，交点即为旋转中心；旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。 📌 归纳总结 旋转作图的步骤：①明确三要素；②找关键点；③作对应点；④依次连接对应点；⑤标注结论，保留痕迹。 易错点 1 描述旋转时遗漏三要素 · 错例：将绕点逆时针旋转得到，可能被描述为“旋转了得到”； · 错因：习惯性的忽略三要素，认为只要描述出旋转角度即可； · 规避方法：描述旋转时必须写出“绕哪个点、沿什么方向、转了多少度”三个要素，可以反问自己“如果按照自己的这个描述，是否还会得到其他的图案”。 易错点 2 旋转角识别错误 · 错例：绕点旋转得到，认为旋转角是或； · 错因：把图形本身的角与旋转角混为一谈； · 规避方法：识别旋转角时，先找对应点，再把对应点分别与旋转中心连接，连线所成的角才是旋转角，这和图形自身的角没有任何关系。 易错点 3 对应点识别错误 · 错例：绕点旋转后得到，认为点与点是对应点（仅凭字母顺序猜测）； · 错因：对应点是根据旋转前后的位置确定的，即旋转前图形上的某点旋转后的“新位置”才是它的对应点。不能凭字母顺序或主观猜测，必须依据“到旋转中心距离相等”和“旋转角相等”来判断； · 规避方法：判断点的对应点时，检查哪个点到旋转中心的距离等于，且与的夹角等于旋转角，不能偷懒或主观臆想。 易错点 4 旋转方向描述错误 · 错例：图形实际是顺时针旋转，学生描述为逆时针；或题目说“逆时针旋转”，学生画成了顺时针； · 错因：对顺时针、逆时针的方向感不强，或审题时忽略了方向词； · 规避方法：画图前先在草稿纸上用箭头标出旋转方向，再动手作图。 易错点 5 旋转作图时对应点作错 · 错例：在网格中作绕点逆时针旋转的图形，学生把旋转方向搞反，或旋转角画错，导致对应点位置不对； · 错因：作图时没有严格按照“连接→画弧→作角→截取”的流程操作，而是凭感觉描点； · 规避方法：一定要严格按照旋转作图的步骤画图，确定三要素，找关键点，作对应点，依次连接对应点，最后保留痕迹得出结论。 易错点 6 坐标系中旋转坐标规律用错 · 错例：点绕原点逆时针旋转，学生写成或； · 错因：坐标旋转规律记忆混乱； · 规避方法：先画草图，看旋转后点落在哪个象限，再验证坐标符号是否正确。 · 题型一：旋转三要素 📝方法技巧 比较常见的几个问题： ①找旋转中心：优先看对应点连线的交点，或者找一个点到各组对应点距离都相等，那个点就是旋转中心。 ②找旋转角：对应点和旋转中心连起来，两条连线的夹角就是旋转角。比如和，连、′，就是旋转角。 ③钟表问题：分针每分钟走，时针每分钟走。时间快了就逆时针回调，慢了就顺时针补上。 尤其需要注意：判断旋转角：对应点和旋转中心连线的夹角才是旋转角，并非图形自带的夹角就是旋转角。 1．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针（     ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 3．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将一个含30°角的直角三角板绕点A旋转，使得点，A，在同一条直线上，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东·期末）如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（   ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 题型二：旋转的性质 📝方法技巧 核心性质： ①旋转前后图形全等，对应线段相等、对应角相等； ②对应点到旋转中心的距离相等； ③对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角。 如何算旋转的角度： 先把旋转角找出来，标在图上。再看题目给的已知角，用“旋转角相等”这个条件去建立等式。 遇到等腰三角形：旋转后如果出现两条边相等（比如AC=A′C），那就要用等腰三角形的性质，底角相等，顶角是旋转角，底角就是(180°−旋转角)÷2。 1．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（26-27六年级上·黑龙江绥化·开学考试）将图绕O点逆时针旋转得到的图形是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（       ） A． B． C． D． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（       ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，若，连接，则等于（     ） A． B． C． D． 题型三：画旋转图形 📝方法技巧 常见步骤： ①连：把关键点和旋转中心连起来； ②画弧：以旋转中心为圆心，该距离为半径画弧； ③作角：以旋转中心为顶点，按指定方向作旋转角； ④截点：角的另一边与弧的交点就是对应点； ⑤连线：按原图顺序连接各对应点。 如果需要在网格里画图：数格子即可。比如绕点P顺时针旋转90°，就看每个点到P的横纵距离，转90°后横纵互换、符号根据方向调整。 注意：如果旋转中心在图形上，则该点不动，因为对应点就是它自己，只画其他点即可。 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ）    A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点O逆时针旋转 3．（2026·山东青岛·一模）如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点逆时针旋转得到，再将向下平移3个单位得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在下面的方格纸上，画出三角形绕点按顺时针方向旋转后的图形． 6．（26-27七年级上·上海·开学考试）按要求画一画． (1)描出下列各点，并依次连成封闭图形． 　　　　　　 (2)画出把（1）题中的图形向右平移3格后的图形． (3)画出把（1）题中的图形绕B点顺时针旋转后的图形． 7．（25-26八年级下·河南商丘·阶段检测）在图中，把向右平移6个方格，再绕点B顺时针方向旋转，请画出平移和旋转后的图形． 题型四：旋转对称图形 📝方法技巧 最小旋转角的计算方法：看图形能分成几个完全一样的部分，就用360°除以几。 例如正六边形能分成6个一样的等边三角形，最小旋转角就是360°÷6=60°。风车3个叶片，就是360°÷3=120°。 注意：旋转角可以是整数倍，只要是最小旋转角的整数倍都可以。比如正六边形，旋转60°、120°、180°、240°、300°都可以。 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们观察如图所示的正六边形图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：；乙同学说：；丙同学说：；丁同学说：．以上四位同学的回答中，正确的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，点是正六边形内角平分线的交点，将该正六边形绕点旋转（）后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是（     ） A．30 B．90 C．180 D．200 3．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能，图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心顺时针旋转后，能够与它本身重合，则旋转角的大小可以为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林松原·模拟预测）如图是一个旋转一定角度能与原图重合的图形，则它的最小旋转角度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·期末）下列图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（     ） A． B． C． D． 题型五：坐标与图形变换——旋转 📝方法技巧 ①记住三个最主要的旋转规律： 绕原点逆时针转：→； 绕原点顺时针转：→； 绕原点转：→。 ②如果不在原点旋转：构造直角三角形，用全等去推。比如点A(3,0)绕点B(0,4)逆时针转90°，就过A作y轴垂线，把以为斜边的直角三角形直接转过去，得到三角形全等，算出坐标。 ③对于坐标循环规律的问题：旋转几次后坐标会循环出现。比如每4秒一个循环，用2026÷4看余数，余几就对应第几个坐标。 1．（2026·广西柳州·二模）在平面直角坐标系中，点绕原点旋转得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C．D． 2．（2026·安徽宣城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，将线段绕着点B逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转秒后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，将边长为2的等边绕点O逆时针旋转得到，则点的纵坐标是（   ） A．1 B． C． D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $