专题04-1 圆及其性质（知识&考点&公式&15高频&3易错&5重难&5模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材人教版五四制

专题04 圆及其性质 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(15类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01 圆的概念与基本元素 1.圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 ． 2.圆的表示：以点O为圆心的圆记作 ，读作“圆O”． 3.圆的有关概念：连接圆上任意两点的线段叫做 ；经过圆心的弦叫做 （直径是圆中最长的弦）；圆上任意两点间的部分叫做 ． 4.圆既是轴对称图形（对称轴是任意一条过圆心的直线），又是中心对称图形（对称中心是 ）． 知识点02 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的 ． 2.推论：平分弦（不是直径）的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.常见辅助线：过圆心作弦的垂线（或连接半径），利用勾股定理求弦长、半径或弦心距． 知识点03 弧、弦、圆心角之间的关系 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等． 3.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、弧也都相等． 知识点04 圆周角定理及其推论 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ． 3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ． 4.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 ． 知识点05 点和圆的位置关系 1.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：点P在圆内⟺ ；点P在圆上⟺ ；点P在圆外⟺ ． 2.不在同一直线上的三个点确定 圆． 3.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心是三角形三边 的交点，叫做三角形的外心． 知识点06 弧长与扇形面积 1.弧长公式：半径为R、圆心角为n°的弧长l＝ ． 2.扇形面积公式：圆心角为n°的扇形面积S＝ ＝ ． 3.圆锥的侧面积：S侧＝ （r为底面半径，l为母线长）． 考点01 圆的基本概念与对称性 考点内容：圆、圆心、半径、直径、弦、弧等概念；圆的轴对称性与中心对称性． ①判断圆中的线段、弧等概念，理解直径是最长的弦； ②利用圆的对称性找相等的线段、弧； ③识别优弧、劣弧、等弧． 考点02 垂径定理及其应用 考点内容：垂径定理及其推论；垂径定理结合勾股定理求弦长、半径、弦心距． ①利用垂径定理求弦长、半径、弦心距； ②作辅助线（过圆心作弦的垂线）构造直角三角形； ③利用垂径定理证明或求弧、弦相等． 考点03 弧、弦、圆心角之间的关系 考点内容：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系． ①利用等圆心角证明弧或弦相等； ②利用等弧、等弦求角度或线段； ③“圆心角—弧—弦”三者互化． 考点04 圆周角定理及其推论 考点内容：圆周角定理；推论（同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角）． ①求圆周角或圆心角的度数； ②利用直径所对圆周角是直角解题； ③利用圆周角相等找角或证线段关系． 考点05 点和圆的位置关系 考点内容：点和圆的三种位置关系（d与r）；不在同一直线上的三点确定一个圆． ①由d与r判断点与圆的位置关系； ②由位置关系确定参数范围； ③三角形外接圆、外心的概念与作图． 考点06 弧长与扇形面积 考点内容：弧长公式；扇形面积公式；圆锥侧面积；弧长与扇形面积的联系． ①利用弧长公式、扇形面积公式求值； ②由弧长求圆心角或半径； ③圆锥侧面积与扇形之间的关系． 1 圆的性质与位置关系 序号 名称 结论（几何语言） 说明 1 圆的相关概念 圆心、半径、直径、弦、弧 直径是圆中最长的弦 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧 作弦心距构造直角三角形 3 弧弦圆心角 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等 三者可互相转化 4 圆周角定理 同弧所对圆周角等于圆心角的一半 同弧所对圆周角相等 5 圆周角推论 直径所对圆周角是直角； 90°的圆周角所对弦是直径 构造直角三角形 6 点与圆位置关系 d＜r在圆内，d＝r在圆上， d＞r在圆外 d为点到圆心的距离 2 弧长与面积 序号 名称 结论（几何语言） 说明 7 弧长公式 l＝ n为圆心角度数，R为半径 8 扇形面积 S＝ ＝·l R 与弧长公式相互联系 辨析01 直径是圆中最长的弦 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆中最长的弦．半径不是弦，它是圆心到圆上一点的距离． 辨析02 弧有优弧和劣弧之分 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，半圆既不是优弧也不是劣弧．弧要用两个或三个字母表示，如、． 辨析03 等弧必须在同圆或等圆中 能够重合的两条弧叫做等弧．只有在同圆或等圆中，相等的弧才是等弧；不在同圆或等圆中的两条弧，即使长度相等也不能说相等． 辨析04 垂径定理及其推论的条件 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及其所对的弧．推论“平分弦的直径垂直于弦”中，弦必须不是直径，否则结论不一定成立． 辨析05 圆心角、弧、弦的关系限于同圆或等圆 在同圆或等圆中，圆心角、所对弧、所对弦三者之间可互相转化；不在同圆或等圆中不能直接套用． 辨析06 圆周角的两边必须与圆相交 圆周角是顶点在圆上、两边都与圆相交的角．顶点在圆上但有一边不与圆相交，或顶点不在圆上，都不是圆周角． 辨析07 直径所对圆周角是直角 直径所对的圆周角是90°，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径．这条推论常用于在圆中构造直角三角形解题． 辨析08 点和圆的位置关系由d与r决定 点到圆心的距离d与半径r比较：d＜r在圆内、d＝r在圆上、d＞r在圆外．确定圆需不在同一直线上的三个点，只有一个点不能确定圆． 辨析09 外心是垂直平分线的交点 三角形的外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做外心，它到三角形三个顶点的距离相等．锐角三角形外心在三角形内，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外． 辨析10 弧长与扇形面积的联系 扇形面积S＝1/2·lR，其中l是扇形的弧长、R是半径．由弧长公式l＝nπR/180可推出S＝nπR²/360，二者由圆心角n°紧密联系，求扇形面积时既可直接用公式也可用弧长． 【题型一】与圆有关的概念 【例1】（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【变式1-2】（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条    【题型二】判断点和圆的位置关系 【例2】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【变式2-1】（26-27九年级上·陕西·期中）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的 是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【题型三】由点和圆的位置关系求半径 【例3】若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（    ） A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5 【变式3-1】（24-25九年级上·福建龙岩·期末）若点P在外，且，则⊙的半径不可能 为（    ） A．4 B．3 C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【题型四】 三角形外接圆的概念辨析 【例4】（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【变式4-1】下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-2】（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【题型五】求三角形外心的坐标 【例5】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若． （1）圆心P的坐标为________； （2）点C的纵坐标为________． 【题型六】 判断确定圆的条件 【例6】平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式6-1】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【变式6-2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【题型七】 反证法的应用 【例7】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设（     ） A．四边形中最多有一个钝角或直角 B．四边形中四个角全部是钝角或直角 C．四边形中至少有一个是锐角 D．四边形中没有一个角是钝角或直角 【变式7-1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（     ） A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 【变式7-2】已知中，求证．若用反证法证这个结论，应首先假设（     ） A． B． C． D． 【题型八】利用垂径定理求线段长 【例8】（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【变式8-1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-2】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【题型九】 垂径定理的实际应用圆 【例9】如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【变式9-2】（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【题型十】 与圆心角有关的计算 【例10】（第二十九章圆高效同步练习29.2.2圆心角）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【题型十一】 与圆周角有关的计算 【例11】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的两条直径，E为上一点，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知⊙O中半径OC＝3，∠BAC＝45°，则弦BC的长度为（　　） A．3 B． C． D． 【变式11-3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【题型十二】 圆内接四边形的计算 【例12】31．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【变式12-2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【题型十三】 与弧长有关的计算 【例12-1】折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【例12-2】（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式13-1】如图，已知等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点，则劣弧的长为__________． 【变式13-2】（2026·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 【题型十四】 与扇形面积有关的计算 【例12】（2026·重庆·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径是（    ） A．12cm B．24cm C．28cm D．30cm 【变式14-2】一个扇形的弧长是12πcm，面积是108πcm2，则此扇形的圆心角的度数是(　　) A．300° B．150° C．120° D．75° 【题型十五】 与圆锥有关的计算 【例15】（2026·广西桂林·三模）经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 【变式15-1】（2026·云南昆明·三模）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（     ）． A． B． C． D． 【变式15-2】如图，在一个半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形． （1）求这个扇形的面积（保留）； （2）用所剪的纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径． 【题型一】垂径定理运用时漏掉条件 【例1】如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 易错警示 垂径定理是“垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧”；用推论“平分弦的直径垂直于弦”时，必须确认该弦不是直径，否则结论不成立，解题时要先说明条件． 【变式1-1】在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题: 甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦. 下面对这两个命题的判断,正确的是 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【变式1-2】（25-26九年级上·广东潮州·期中）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 【题型二】圆周角与圆心角关系误用 【例2】如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF． 其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 易错警示 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，前提是圆周角与圆心角对着“同一条弧”．不要混淆同弧与等弧，也不要误以为任意圆周角都等于圆心角的一半． 【变式2-1】如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（    ） A．56 B．58 C．60 D．62 【变式2-2】如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ．    【题型三】弧长与扇形面积公式混淆 【例3】（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长（单位：）是（   ） A． B． C． D． 易错警示 弧长l＝ ，扇形面积积S＝ ＝·lR．注意分母不同（180与360），且S还可由弧长乘半径的一半得到，做题时选对公式并注意单位与角度制． 【变式3-1】【例22】如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】 如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【题型一】圆中的分类讨论问题 【例1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-1】已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 【题型二】与圆有关的最值问题 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式2-2】如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【变式2-3】如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【题型三】与圆心角有关的证明问题 【例3】如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式3-1】如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式3-2】（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【题型四】 与圆周角有关的证明问题呢 【例4】（2026·安徽安庆·三模）如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式4-1】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 【变式4-2】如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N． （1）证明：OD⊥AC； （2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明． 【题型五】圆内接四边形的证明问题 【例5】如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【变式5-2】在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【题型一】求某点弧形运动路径长 【例1】）如图，，分别是射线上的动点，的长始终为，点为的中点，则点的运动路径长为    【变式1-1】如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．    【变式1-2】如图，把一个含角的直角三角板在桌面上沿着直线l无滑动的翻滚一周，若，，则点A运动的路径长是 ．    【题型二】求图形旋转后扫过的面积 【例2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型三】求不规则图形的面积 【例3】如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，将等腰直角三角形绕点C逆时针旋转得到，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，连接，． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【题型四】 圆锥侧面上最短路径问题 【例4】如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【变式4-1】（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【题型五】圆的性质的综合题 【例5】（2026·贵州·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，． (1)线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； (2)求证：； (3)过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 【变式5-1】（2026·浙江温州·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，连接．以点为圆心，长为半径作弧，交于点（不与点重合）． (1)求证：． (2)以点为圆心，长为半径作弧，交于点．连接，，交于点．若，，求的长． 【变式5-2】四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线，且S△ABC：S△ADC=AB：AD． （1）如图1，求证：BC=CD； （2）如图2：连接OC，交对角线BD于点E，若∠BAD=60°，求证：OE=EC； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF⊥AC于点F，连接FO并延长FO，交AB边于点G，若FG⊥AB，OC=，求△OFC的面积． 技巧 一句话要点 求弦长、弦心距——“垂径定理＋勾股定理” 过圆心作弦的垂线，用垂径定理平分弦，再用勾股定理求弦长或半径。 识别直径——“过圆心的弦” 经过圆心的弦是直径，它是圆中最长的弦。 等弧等弦转化——“圆心角—弧—弦互化” 同圆或等圆中，等圆心角、等弧、等弦可互相转化。 求圆周角——“同弧所对圆周角等于圆心角一半” 先找同一条弧所对的圆心角，再求圆周角。 构造直角——“直径所对圆周角是直角” 见直径，找其所对圆周角，构造直角三角形解题。 判断点与圆的位置——“比较d与r” d＜r在圆内，d＝r在圆上，d＞r在圆外。 确定一个圆——“三点定圆” 不在同一直线上的三个点确定一个圆，外心是三边垂直平分线交点。 求扇形圆心角——“由弧长反推” 由弧长公式l＝nπR/180解出圆心角n＝180l/(πR)。 求弧长——“套公式l＝nπR/180” 先确认圆心角度数n与半径R，再代入公式。 求扇形面积——“二选一公式” S＝nπR²/360 或 S＝1/2·lR，据已知条件选用。 圆锥侧面积——“S＝πrl” 圆锥侧面积＝π×底面半径×母线长，展开后是扇形。 圆中辅助线——“半径与弦心距” 常连接半径、作弦心距，把圆的问题转化为直角三角形问题。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04-1 圆及其性质 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(15类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01 圆的概念与基本元素 1.圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 2.圆的表示：以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”． 3.圆的有关概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径（直径是圆中最长的弦）；圆上任意两点间的部分叫做弧． 4.圆既是轴对称图形（对称轴是任意一条过圆心的直线），又是中心对称图形（对称中心是圆心）． 知识点02 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.常见辅助线：过圆心作弦的垂线（或连接半径），利用勾股定理求弦长、半径或弦心距． 知识点03 弧、弦、圆心角之间的关系 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、弧也都相等． 知识点04 圆周角定理及其推论 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． 4.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 知识点05 点和圆的位置关系 1.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：点P在圆内⟺ d＜r；点P在圆上⟺ d＝r；点P在圆外⟺ d＞r． 2.不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 知识点06 弧长与扇形面积 1.弧长公式：半径为R、圆心角为n°的弧长l＝ ． 2.扇形面积公式：圆心角为n°的扇形面积S＝ ＝·lR． 3.圆锥的侧面积：S侧＝π r l（r为底面半径，l为母线长）． 考点01 圆的基本概念与对称性 考点内容：圆、圆心、半径、直径、弦、弧等概念；圆的轴对称性与中心对称性． 常见考法： ①判断圆中的线段、弧等概念，理解直径是最长的弦； ②利用圆的对称性找相等的线段、弧； ③识别优弧、劣弧、等弧． 考点02 垂径定理及其应用 考点内容：垂径定理及其推论；垂径定理结合勾股定理求弦长、半径、弦心距． 常见考法： ①利用垂径定理求弦长、半径、弦心距； ②作辅助线（过圆心作弦的垂线）构造直角三角形； ③利用垂径定理证明或求弧、弦相等． 考点03 弧、弦、圆心角之间的关系 考点内容：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系． 常见考法： ①利用等圆心角证明弧或弦相等； ②利用等弧、等弦求角度或线段； ③“圆心角—弧—弦”三者互化． 考点04 圆周角定理及其推论 考点内容：圆周角定理；推论（同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角）． 常见考法： ①求圆周角或圆心角的度数； ②利用直径所对圆周角是直角解题； ③利用圆周角相等找角或证线段关系． 考点05 点和圆的位置关系 考点内容：点和圆的三种位置关系（d与r）；不在同一直线上的三点确定一个圆． 常见考法： ①由d与r判断点与圆的位置关系； ②由位置关系确定参数范围； ③三角形外接圆、外心的概念与作图． 考点06 弧长与扇形面积 考点内容：弧长公式；扇形面积公式；圆锥侧面积；弧长与扇形面积的联系． 常见考法： ①利用弧长公式、扇形面积公式求值； ②由弧长求圆心角或半径； ③圆锥侧面积与扇形之间的关系． 1 圆的性质与位置关系 序号 名称 结论（几何语言） 说明 1 圆的相关概念 圆心、半径、直径、弦、弧 直径是圆中最长的弦 2 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧 作弦心距构造直角三角形 3 弧弦圆心角 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等 三者可互相转化 4 圆周角定理 同弧所对圆周角等于圆心角的一半 同弧所对圆周角相等 5 圆周角推论 直径所对圆周角是直角； 90°的圆周角所对弦是直径 构造直角三角形 6 点与圆位置关系 d＜r在圆内，d＝r在圆上， d＞r在圆外 d为点到圆心的距离 2 弧长与面积 序号 名称 结论（几何语言） 说明 7 弧长公式 l＝ n为圆心角度数，R为半径 8 扇形面积 S＝ ＝·l R 与弧长公式相互联系 辨析01 直径是圆中最长的弦 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆中最长的弦．半径不是弦，它是圆心到圆上一点的距离． 辨析02 弧有优弧和劣弧之分 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，半圆既不是优弧也不是劣弧．弧要用两个或三个字母表示，如、． 辨析03 等弧必须在同圆或等圆中 能够重合的两条弧叫做等弧．只有在同圆或等圆中，相等的弧才是等弧；不在同圆或等圆中的两条弧，即使长度相等也不能说相等． 辨析04 垂径定理及其推论的条件 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及其所对的弧．推论“平分弦的直径垂直于弦”中，弦必须不是直径，否则结论不一定成立． 辨析05 圆心角、弧、弦的关系限于同圆或等圆 在同圆或等圆中，圆心角、所对弧、所对弦三者之间可互相转化；不在同圆或等圆中不能直接套用． 辨析06 圆周角的两边必须与圆相交 圆周角是顶点在圆上、两边都与圆相交的角．顶点在圆上但有一边不与圆相交，或顶点不在圆上，都不是圆周角． 辨析07 直径所对圆周角是直角 直径所对的圆周角是90°，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径．这条推论常用于在圆中构造直角三角形解题． 辨析08 点和圆的位置关系由d与r决定 点到圆心的距离d与半径r比较：d＜r在圆内、d＝r在圆上、d＞r在圆外．确定圆需不在同一直线上的三个点，只有一个点不能确定圆． 辨析09 外心是垂直平分线的交点 三角形的外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做外心，它到三角形三个顶点的距离相等．锐角三角形外心在三角形内，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外． 辨析10 弧长与扇形面积的联系 扇形面积S＝1/2·lR，其中l是扇形的弧长、R是半径．由弧长公式l＝nπR/180可推出S＝nπR²/360，二者由圆心角n°紧密联系，求扇形面积时既可直接用公式也可用弧长． 【题型一】与圆有关的概念 【例1】（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 【变式1-2】（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条    【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 【题型二】判断点和圆的位置关系 【例2】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点P坐标算出的长度d，设圆的半径为r，，则点在圆上． 【详解】解：， 的半径， ， 在上． 【变式2-1】（26-27九年级上·陕西·期中）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的 是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故A选项不符合题意； B、到圆心的距离为，，点在圆内，故B选项不符合题意； C、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离为，，点在圆外，故D选项符合题意． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 设圆的半径为，点到圆心的距离为，根据与圆的位置关系的判定方法对点与位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴点到圆心的距离大于圆的半径， ∴点在圆外. 故选：C． 【题型三】由点和圆的位置关系求半径 【例3】若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（    ） A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5 【答案】C 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【详解】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外， ∴OA小于r，OB大于r， ∵OA＝3，OB＝5， ∴3＜r＜5． 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 【变式3-1】（24-25九年级上·福建龙岩·期末）若点P在外，且，则⊙的半径不可能 为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 根据点与圆的位置关系来判断圆半径的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵点P在外， ∴大于半径， ∵， ∴的半径， A．因为，，，所以，故4不满足，该选项符合题意； B．因为，，，所以，故3满足，该选项不符合题意； C．因为，，所以，故满足，该选项不符合题意； D．因为，，所以，故满足，该选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 【题型四】 三角形外接圆的概念辨析 【例4】（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 【变式4-1】下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个． 【变式4-2】（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可． 【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点， 【题型五】求三角形外心的坐标 【例5】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，先根据、坐标确定边的垂直平分线，再利用圆心到顶点距离相等列方程求解． 【详解】解：由图可知，， ， 线段的中点坐标为，且垂直于轴 线段的垂直平分线为直线 外接圆圆心的纵坐标为， 设圆心坐标为 圆心到点、的距离相等 整理得 解得 外接圆的圆心坐标是． 【变式5-1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若． （1）圆心P的坐标为________； （2）点C的纵坐标为________． 【答案】 / 【分析】（1）连接，，，过点作于，于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，解直角三角形得到，，，即可求出圆心P的坐标； （2）根据勾股定理得到的长，于是得到结论． 【详解】解：（1）连接，，，过点作于，于， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ∴圆心P的坐标为． 故答案为：； （2）∵， ， ， 点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【题型六】 判断确定圆的条件 【例6】平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 【变式6-1】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【变式6-2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【题型七】 反证法的应用 【例7】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设（     ） A．四边形中最多有一个钝角或直角 B．四边形中四个角全部是钝角或直角 C．四边形中至少有一个是锐角 D．四边形中没有一个角是钝角或直角 【答案】D 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设四边形中没有一个角是钝角或直角． 【变式7-1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（     ） A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 【答案】A 【详解】解：用反证法证明命题时，第一步应假设结论的反面成立，命题“等腰三角形的底角是锐角”的结论的反面为等腰三角形的底角是直角或钝角． 【变式7-2】已知中，求证．若用反证法证这个结论，应首先假设（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设待证结论不成立，即假设结论的反面成立，据此即可确定答案． 【详解】解：本题要证明的结论是，其反面为， ∴ 应首先假设． 【题型八】利用垂径定理求线段长 【例8】（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴ ∴的半径， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 【变式8-1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 【变式8-2】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 【题型九】 垂径定理的实际应用圆 【例9】如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 【变式9-1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 【变式9-2】（26-27九年级上·北京·单元测试）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】(1)米 (2)不需要采取紧急措施 【分析】（1）连接，利用r表示出的长，在中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长． 【详解】（1）解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； （2）解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 【题型十】 与圆心角有关的计算 【例10】（第二十九章圆高效同步练习29.2.2圆心角）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 【变式10-1】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式10-2】如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 本题先连接，，得到、均是等边三角形，求得，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，然后根据等边对等角即可求解； 【详解】解：连接，，如图： ∵是是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由题可得：， ∴、均是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【题型十一】 与圆周角有关的计算 【例11】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的两条直径，E为上一点，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，由可得，进而求出的度数，最后利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式11-1】（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 【变式11-2】已知⊙O中半径OC＝3，∠BAC＝45°，则弦BC的长度为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据OC＝3，∠BAC＝45°，由圆周角定理可得到∠BOC＝90°，即可证明△BOC是等腰直角三角形形，即可求得答案． 【详解】解：连接OB， ∵OC＝3，∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等腰直角三角形， ∴BCOC＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式11-3】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【题型十二】 圆内接四边形的计算 【例12】31．（26-27九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 【变式12-1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 【变式12-2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 【题型十三】 与弧长有关的计算 【例12-1】折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的长． 【例12-2】（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 【变式13-1】如图，已知等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点，则劣弧的长为__________． 【答案】 【分析】连接，证明都是等边三角形，再利用弧长公式求解即可； 【详解】解：连接， 等边的边长为，以为直径的与边，分别交于，两点， ，， 都是等边三角形， ∴， ， 故劣弧的长为； 【变式13-2】（2026·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．利用点的对称，结合，推出圆心在轴上，设圆心，设半径，根据勾股定理求出半径的长度，利用圆周角定理求出圆心角的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：点，的坐标分别是，， ， 垂直平分， 圆心在轴上． 如图，设所在圆的圆心为，连接，． 设的半径为， 在中，，即，解得． ， ， 的长为． 【题型十四】 与扇形面积有关的计算 【例12】（2026·重庆·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，， ， ， 扇形的面积． 【变式14-1】扇形的弧长为10πcm，面积为120πcm2，则扇形的半径是（    ） A．12cm B．24cm C．28cm D．30cm 【答案】B 【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形＝lr，把对应的数值代入即可求得半径r的长． 【详解】∵ S扇形＝lr， ∴ 120π＝•10π•r， ∴ r＝24（cm）； 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积和弧长公式之间的关系，解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形＝lr． 【变式14-2】一个扇形的弧长是12πcm，面积是108πcm2，则此扇形的圆心角的度数是(　　) A．300° B．150° C．120° D．75° 【答案】C 【分析】先根据扇形面积公式求出半径，再根据弧长公式解答即可． 【详解】解：设扇形所在的圆的半径为rcm，圆心角为n°，由题意得：，解得：r=18， ∵， ∴此扇形的圆心角n=120°． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积和弧长公式的计算，属于常考题型，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是解答的关键． 【题型十五】 与圆锥有关的计算 【例15】（2026·广西桂林·三模）经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先使用勾股定理计算出母线的长，再使用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，， 由圆锥侧面积公式可得，． 【变式15-1】（2026·云南昆明·三模）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长这一关系列方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，化简得，解得， ∴该圆锥的底面圆的半径为． 【变式15-2】如图，在一个半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形． （1）求这个扇形的面积（保留）； （2）用所剪的纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径． 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）连接，可以得到为等腰直角三角形，由勾股定理求得，再根据扇形面积即可求解； （2）设这个圆锥的底面圆的半径为，根据题意可得的长即为底面圆的周长，列方程求解即可． 【详解】（1）如图，连接，∵， ∴为的直径， ∵为扇形，∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴这个扇形的面积； （2）设这个圆锥的底面圆的半径为，由题意得的长即为底面圆的周长 ∵扇形中，的长， ∴，解得，即围成的这个圆锥的底面圆的半径为1． 【点睛】此题考查了扇形面积的计算，弧长的计算，涉及了勾股定理，熟练掌握相关计算公式和性质是解题的关键． 【题型一】垂径定理运用时漏掉条件 【例1】如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理判断即可； 【详解】∵直径垂直于弦于点，则由垂径定理可得，，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键． 易错警示 垂径定理是“垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧”；用推论“平分弦的直径垂直于弦”时，必须确认该弦不是直径，否则结论不成立，解题时要先说明条件． 【变式1-1】在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题: 甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦. 下面对这两个命题的判断,正确的是 A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】D 【分析】根据在同圆或等圆中, 如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、 两条弦中有一组量相等, 则另外两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题. 【详解】(1)在同圆或等圆中, 相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误; (2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦; 故乙命题项错误; 故选D. 【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理. 【变式1-2】（25-26九年级上·广东潮州·期中）下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直），故原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直线不一定过圆心（只有平分弦的垂直直线才过圆心），故原说法错误，不符合题意； C、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确，符合题意； D、平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（当弦为直径时，弧平分不一定成立），故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【题型二】圆周角与圆心角关系误用 【例2】如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF． 其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：如图，根据垂径定理，由AB⊥MN可知AD=DB, ，故①③正确；根据直径所对的圆周角为直角，可由MN为直径，得到∠MAN=90°，故③正确； 连接OA，由，得到∠MOB=∠MOA=2∠ACM=∠ACM＋∠ANM，故④正确； 由，，可得，所以可得∠AME=∠MAE，根据等角对等边，得到AE=ME，然后根据∠EAF+∠MAE=90°，等量代换得∠EFA+∠AME=90°，然后根据等角的余角相等，得到∠EAF=∠EFA，即AE=EF，然后可根据AE=EF=EM得到AE=MF，故⑤正确. 故选D. 【点睛】此题主要考查了圆的相关性质，解题时利用垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质、互余两角的关系，逐步判断即可，解题中关键是要把弧、角、弦之间的等量关系的转换应用到位. 易错警示 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，前提是圆周角与圆心角对着“同一条弧”．不要混淆同弧与等弧，也不要误以为任意圆周角都等于圆心角的一半． 【变式2-1】如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（    ） A．56 B．58 C．60 D．62 【答案】A 【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，利用AD∥OC，证得∠1＝∠2，得到＝＝62°，根据弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°计算得出结果． 【详解】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC， ∵AD∥OC， ∴∠1＝∠2， ∴＝＝62°， ∴的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°， 故选：A． 【点睛】此题考查两直线平行内错角相等，圆周角定理，正确作出图形利用半圆的度数求解是解题的关键． 【变式2-2】如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ．    【答案】 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再根据直径所对圆周角为直角，进而求出，即有，灵活运用勾股定理即可作答． 【详解】解：连接，如图，    ∵在中，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【题型三】弧长与扇形面积公式混淆 【例3】（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是掌握弧长的计算公式． 弧长的计算公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），由此即可求解． 【详解】解：如图，是等边三角形， ，， 的长的长的长， 这个“莱洛三角形”的周长是． 故选：C． 易错警示 弧长l＝ ，扇形面积积S＝ ＝·lR．注意分母不同（180与360），且S还可由弧长乘半径的一半得到，做题时选对公式并注意单位与角度制． 【变式3-1】【例22】如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 【变式3-2】 如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【答案】C． 【分析】根据直角三角形的性质求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm， ∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠AEB＝30°， ∴∠CBE＝∠AEB＝30°， ∴S扇形EBC12π（cm2）， 故选：C． 【题型一】圆中的分类讨论问题 【例1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式1-1】已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 【变式1-2】在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数，再分劣弧和优弧两种情况计算弧的度数． 【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示， ，， ， ， 由勾股定理逆定理，可得是直角三角形，． 一条弦对应两条弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数， 当弦对劣弧时，劣弧的度数为；当弦对优弧时，优弧的度数为， 该弦所对的弧的度数为或． 【题型二】与圆有关的最值问题 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，点和圆的位置关系，勾股定理，由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 故选：． 【变式2-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，以为边作直角三角形，作等腰直角三角形的外接圆O，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：以为边作等腰直角三角形，作的外接圆， 为等腰直角三角形，， ， ， 点在优弧上， 当为外接圆的直径时，最大，且最大值为8， 故选：C． 【变式2-2】如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】取点，连接，，，根据三角形中位线定理得到，当，，三点共线时最大，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：取点，连接，，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ∵ ∴ 当点在的延长线上时，取得最大值， 在中，， ， 的半径为， 的最大值为， 的最大值为． 【变式2-3】如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【答案】4 【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示： 在直角中， ， ∵E是直角斜边上的中点， ∴， ∵M是的中点，E是的中点， ∴ ， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆， ∴当点M在线段上时，最小，且线段长度的最小值为． 【题型三】与圆心角有关的证明问题 【例3】如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：； ∵，，， ∴ (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 【变式3-1】如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据即可证明； （2）作于点H，求出，再根据得,从而可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （2）作于点H，    ∵， ∴. ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 【变式3-2】（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【题型四】 与圆周角有关的证明问题呢 【例4】（2026·安徽安庆·三模）如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 【变式4-1】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即平分． 【分析】（1）连接，交于点，根据垂径定理可推出，，从而求得，然后由同弧所对的圆周角相等即可求得的度数； （2）连接，根据垂径定理可推出，然后根据圆内接四边形的对角互补得到，结合同弧所对的圆周角相等可知，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵是直径，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2）略 【变式4-2】如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N． （1）证明：OD⊥AC； （2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据∠ABD＝∠DBO，证得，进而根据垂径定理证得OD⊥AC； （2）先证明ON是△ABC的中位线，得出AB＝2ON，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBO， ∴， ∴OD⊥AC； （2）解：猜想 ODAB． ∵，OD⊥AC， ∴AN＝NC． ∵，AN＝NC， ∴ON是△ABC 的中位线， ∴AB＝2ON，AB∥ON． ∴∠ABM＝∠NDM． ∵BM＝MD，∠BMA＝∠DMN， ∴△ABM≌△NDM（ASA）， ∴AB＝ND＝2ON． ∴OD＝ON+NDAB． 【题型五】圆内接四边形的证明问题 【例5】如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)． (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的对角互补求出，再由得出是等腰三角形，求出底角，最后根据圆内接四边形的性质求出． （2）根据圆内接四边形的性质得出与的关系，结合以及圆内接四边形的性质，得出与的关系，进而证明为等边三角形． 【详解】（1）解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∴ ． （2）证明：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ 为等边三角形． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明： 是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 【变式5-2】在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2)5 【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可； （2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是5． 【点睛】此题考查了垂径定理的推论，角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型一】求某点弧形运动路径长 【例1】）如图，，分别是射线上的动点，的长始终为，点为的中点，则点的运动路径长为    【答案】 【分析】根据垂直的定义可知是直角三角形，再根据直角三角形的性质可知，最后利用弧长公式即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴点的运动路径长为弧， ∴弧的长度：， 故答案为．      【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，弧长公式，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【变式1-1】如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．    【答案】 【分析】首先连接，由，易得点，，，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数． 【详解】解：连接，    ∵， ∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵， ∴． ∴点E在量角器上运动路径长 ， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【变式1-2】如图，把一个含角的直角三角板在桌面上沿着直线l无滑动的翻滚一周，若，，则点A运动的路径长是 ．    【答案】 【分析】根据题意，可知点A的运动路径为和，然后根据含30度角的直角三角形的特点求出的长，进而利用弧长公式求出答案即可． 【详解】解：根据题意，可知点A的运动路径为和，，， 在中 ∴，， ∴点A运动的路径长为， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了求动点的运动轨迹长，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，确定出点A的运动轨迹是解题的关键． 【题型二】求图形旋转后扫过的面积 【例2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 【变式2-1】（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，使点B、C，恰好在同一直线上，则在旋转过程中，边扫过的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，证明是等腰三角形，求出，利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∵点B、C，恰好在同一直线上， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴边扫过的面积． 【变式2-2】如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，从而结合旋转的性质以及扇形的面积公式求解即可． 【详解】如图，设的圆心为O，连接OP交AB于M，连接OA，AP，AB′，AP′， ∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点， 根据垂径定理，得： AM＝AB＝4，PO⊥AB， OM＝＝3， ∴PM＝OP﹣OM＝5﹣3＝2， ∴AP＝＝2， ∵将绕点A逆时针旋转90°后得到， 根据旋转的性质可知，，即：， ∴线段PB扫过的面积=S扇形ABB＇－S扇形APP＇， 故选：D． 【点睛】本题主要考查垂径定理，扇形的面积计算，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键． 【题型三】求不规则图形的面积 【例3】如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于E，先确定是等边三角形，进而求出，然后根据阴影部分的面积得出答案． 【详解】解：连接，交于E， ∵沿对折O和D重合，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 【变式3-1】如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易求得⊙O的半径为，扇形的圆心角的度数，根据三角函数求出，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ⊙O的半径为，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式3-2】如图，将等腰直角三角形绕点C逆时针旋转得到，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，旋转角为，利用割补法将阴影部分的面积转化为扇形面积与三角形面积的差进行求解． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ∴， 阴影部分的面积． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，连接，． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、含直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为可知，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据角的和差即可解答； （2）如图：连接，由含直角三角形的性质以及勾股定理可得，，如图：过O作于E，易得，由三角形的面积公式可得，再说明，利用扇形的面积公式可得，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， 在中，，， ∴，，， 如图：过O作于E， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型四】 圆锥侧面上最短路径问题 【例4】如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 【变式4-1】（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 【变式4-2】（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【题型五】圆的性质的综合题 【例5】（2026·贵州·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，． (1)线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； (2)求证：； (3)过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 【答案】(1)相等；互相垂直 (2)证明：延长交于点， 由（1）可得，垂直平分，即， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； (3)补全图形如图： 的半径为3 【分析】（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明垂直平分即可； （2）延长交于点，证明是的中位线，再由中位线的性质求解即可； （3）先根据题意补全图形，然后连接，延长交于点，然后证明四边形是矩形，再由圆周角定理得到，最后对运用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴线段与线段的数量关系是相等； 连接， ∵， ∴垂直平分 ∴直线与的位置关系是互相垂直； （2）略 （3）解：如图，连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵直线是的切线，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 【变式5-1】（2026·浙江温州·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，连接．以点为圆心，长为半径作弧，交于点（不与点重合）． (1)求证：． (2)以点为圆心，长为半径作弧，交于点．连接，，交于点．若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接、、， ∵是的直径， ∴， 由作图可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)4 【分析】（1）连接、、，由是的直径，得到，进而证明，得到，再利用等弦对等弧即可证明； （2）过点作于点，则，根据题意可得，得到，再证明，得到，，再证明四边形是矩形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 则， 由作图可得，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【变式5-2】四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线，且S△ABC：S△ADC=AB：AD． （1）如图1，求证：BC=CD； （2）如图2：连接OC，交对角线BD于点E，若∠BAD=60°，求证：OE=EC； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF⊥AC于点F，连接FO并延长FO，交AB边于点G，若FG⊥AB，OC=，求△OFC的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）首先利用已知得出CL=CK，再结合全等三角形的判定方法得出△CKB≌△CLD（AAS），进而得出答案； （2）首先得出△OBC是等边三角形，进而得出答案； （3）利用已知首先得出△AMD是等边三角形，进而得出BG，EF的长，再利用S△OEF=OF•EF进而得出答案． 【详解】（1）证明：过C作CK⊥AB于点K，过C作CL⊥AD于点L， ∴S△ABC=AB•CK，S△ADC=AD•CL， ∵S△ABC：S△ADC=AB：AD． ∴CL=CK， ∵∠B+∠ADC=180°，∠CDL+∠ADC=180°， ∴∠B=∠CDL， ∵∠CKB=∠L=90°， 在△CKB和△CLD中 ， ∴△CKB≌△CLD（AAS）， ∴BC=CD． （2）证明：如图2，连接OB、OD， ∵BC=CD， ∴∠BOC=∠DOC ∵OB=OD， ∴OE⊥BD， ∵∠BAD=60°， ∴∠BOC=∠DOC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∴OE=EC； （3）如图3，延长DF交AB于点M，连接OB， ∵∠BAD=60°， ∴∠BAC=∠CAD=30°， ∵AF⊥DF， ∴∠AFM=∠AFD=90°， ∴∠AMD=∠ADM=60°， ∴△AMD是等边三角形， 设MG=a，则MF=2a，AM=AD=MD=4a，GF=a， ∴AG=BG=3a，∴BM=2a ∵E、F分别是BD、MD中点，∴EF=a，EF∥AB 过B作BN⊥MD，则MN=a，BN=a，∴DN=5a， ∵BD=OC， ∴BD=3 在Rt△BND中，（a）2+（5a）2=（3）2 解得a=， ∴BG=，EF=， 在Rt△OGB中，OG=， ∴OF=， ∵EF∥AB， ∴∠EFO=∠AGF=90° ∴S△OEF=OF•EF=××= ∵OE=EC， ∴S△OFC=2 S△OEF=． 技巧 一句话要点 求弦长、弦心距——“垂径定理＋勾股定理” 过圆心作弦的垂线，用垂径定理平分弦，再用勾股定理求弦长或半径。 识别直径——“过圆心的弦” 经过圆心的弦是直径，它是圆中最长的弦。 等弧等弦转化——“圆心角—弧—弦互化” 同圆或等圆中，等圆心角、等弧、等弦可互相转化。 求圆周角——“同弧所对圆周角等于圆心角一半” 先找同一条弧所对的圆心角，再求圆周角。 构造直角——“直径所对圆周角是直角” 见直径，找其所对圆周角，构造直角三角形解题。 判断点与圆的位置——“比较d与r” d＜r在圆内，d＝r在圆上，d＞r在圆外。 确定一个圆——“三点定圆” 不在同一直线上的三个点确定一个圆，外心是三边垂直平分线交点。 求扇形圆心角——“由弧长反推” 由弧长公式l＝nπR/180解出圆心角n＝180l/(πR)。 求弧长——“套公式l＝nπR/180” 先确认圆心角度数n与半径R，再代入公式。 求扇形面积——“二选一公式” S＝nπR²/360 或 S＝1/2·lR，据已知条件选用。 圆锥侧面积——“S＝πrl” 圆锥侧面积＝π×底面半径×母线长，展开后是扇形。 圆中辅助线——“半径与弦心距” 常连接半径、作弦心距，把圆的问题转化为直角三角形问题。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $