精品解析：四川省成都市树德中学（光华校区）2026-2027学年高一上学期10月阶段性测试数学试题

树德中学高2026级高一10月阶段性测试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各项中不能构成集合的是（ ） A. 所有的正方形 B. 树德中学2026年入学的所有高一学生 C. 方程的实数解 D. 著名的老师 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 对于任意集合，，规定且，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 为的真子集 D. 为的真子集 7. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 10. 已知不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 设集合，都至少含有两个元素，且，同时满足： （1）对任意，，若则； （2）对任意，，若，则． 则下列说法正确的是（ ） A. 若只有2个元素，则这2个元素互为相反数 B. 若只有2个元素，则一定有3个元素 C. 存在含有3个元素的集合，满足有4个元素 D. 不可能存在含有3个元素的集合 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上． 12. 不等式的解集是______． 13. 已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是__________． 14. 已知集合，，若函数满足：，，当时都有，则符合条件的函数共有__________个． 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16—17题每题15分，18—19题每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式有解． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、中有且只有一个是假命题，求实数的取值范围． 17. 如图，矩形的周长为，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为． （1）当矩形的面积为时，求的面积； （2）求面积的最大值． 18. 已知，，则有二元均值不等式，当且仅当时等号成立． （1）类比写出三个正数，，的三元均值不等式，并证明； （2）若，请利用第（1）问的结论求函数的最大值； （3）若正数，，满足，证明：． 19. 已知二次函数（a，b，c为实数）． （1）当，时，若关于的方程有两个不相等且都大于1的实数解，求的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求的最小值； （3）若对，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2026级高一10月阶段性测试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各项中不能构成集合的是（ ） A. 所有的正方形 B. 树德中学2026年入学的所有高一学生 C. 方程的实数解 D. 著名的老师 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：所有的正方形对象明确，故A可以构成集合； 选项B：树德中学2026年入学的所有高一学生是确定的，故B可以构成集合； 选项C：方程的实数解为或2，元素确定，故C可以构成集合； 选项D：“著名的老师” 没有明确统一的判定标准，无法确定谁属于这个群体，不满足确定性，故D不能构成集合． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】全称量词命题的否定规则为：①将全称量词（任意）改写为存在量词（存在）；② 否定原命题的结论，同时保留原命题中变量的限定条件不变. 因此命题“，”的否定为“，”. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知：集合，，则. 4. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，由元素与集合关系可知， ，，A正确，B错误， 由集合与集合关系可知，， 不包含于集合，故C，D都错误. 5. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则和中有公共元素，故且，充分性成立， 若，取，，此时，故必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件. 6. 对于任意集合，，规定且，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 为的真子集 D. 为的真子集 【答案】B 【解析】 【详解】由题中定义：是所有属于但不属于的元素构成的集合，是所有属于但不属于的元素构成的集合. 若，则该集合中的元素必须同时满足“属于、不属于”和“属于、不属于”，不存在这样的元素，因此与只能都是空集. ，说明中元素全部在中，即； ，说明中元素全部在中，即. 所以. 逐一验证选项： A：，错误，时交集为本身. B：，正确. C、D：真包含关系均不满足，错误. 7. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得， 所以A正确； ，所以， 所以，所以B正确； 当时，， 所以，； 当时，； 当时，. 所以，所以C正确. 由，得； 当时，， 所以，； 当时，； 当时，. 所以. 所以D错误. 8. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论其中是否有0，若有0，利用基本不等式可得；若无0，设，，，可得，利用基本不等式可得，即可得结果. 【详解】因为， 若其中有0，且只可能有一个为0，不妨设，则，即， 此时， 当且仅当时，等号成立； 若均不为0，可知不可能全正或全负， 不妨设，则，， 设，，，可得，即， 则， 即； 综上所述：的最小值为6. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】已知，，通过作差法、反证法、举反例四种思路逐一判断. 【详解】选项A，，由直接得， 接下来判断的符号， 反证法：假设，则；又，故，三数之和大于6，与和为2矛盾，即， 故，即，A恒成立； 选项B，， 因当且仅当两项同时为0，但，不可能有，所以， 又因，故，所以，得，B恒成立； 选项C，，由直接得， 接下来判断的符号， 假设，则，三数均非正，其和，与和为2矛盾，故， 因此，即，C恒成立； 选项D， ，由得，式子符号由决定， 举反例：取，满足且，此时，两边相等，不满足“大于”，因此D不恒成立. 10. 已知不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接根据三个二次的关系可得，进而再逐一判断各个选项可得. 【详解】因为一元二次不等式 的解集为 或， 所以二次函数开口向下（）， 且一元二次方程 的两根为 、，，， 整理得：： 选项A：因为，所以，A错误； 选项B：由，得 ， 所以不等式成立，B正确； 选项C：将代入不等式，整理得， 解得，因此原不等式的解集为，C正确； 选项D：将 代入不等式， ，化简得 ，， 解得，因此原不等式的解集为，D正确. 11. 设集合，都至少含有两个元素，且，同时满足： （1）对任意，，若则； （2）对任意，，若，则． 则下列说法正确的是（ ） A. 若只有2个元素，则这2个元素互为相反数 B. 若只有2个元素，则一定有3个元素 C. 存在含有3个元素的集合，满足有4个元素 D. 不可能存在含有3个元素的集合 【答案】ABD 【解析】 【分析】若只有2个元素，记为，即，根据条件可判断A；分析可得或，从而求出，判断B；设集合含有3个元素，求得，再根据题意分析，可判断C，D. 【详解】若只有2个元素，记为，即， 所以. 因为中至少有2个元素，设， 则有， 所以或， 所以，即互为相反数，所以A正确. 若只有2个元素，则， 或， 所以，即一定有3个元素， 所以B正确. 若含有3个元素，设， 则， 此时，， 所以不可能存在含有3个元素的集合， 所以C错误，D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上． 12. 不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【详解】对于不等式，则，即， 若，则，符合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：不等式的解集是或. 13. 已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】采用分离参数法，将参数与变量分离，把“不等式有解”转化为求最值问题. 【详解】由，，得， 因为恒成立，所以， 当时，关于的不等式有解，即， 又因为，， 且，当且仅当，即时取等号， 则，所以，即实数的取值范围是. 14. 已知集合，，若函数满足：，，当时都有，则符合条件的函数共有__________个． 【答案】 【解析】 【分析】根据的取值是否相等，结合函数单调性，进行分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，集合为函数的定义域，集合为函数的值域， 又，，当时都有， 即，其中， （1）都相等，即，可分别等于、、、， 共有种情况； （2）恰有两个相等，即或， 若， 当时，的取值有种情况， 当时，的取值有种情况， 当时，的取值有种情况， 若， 当时，的取值有种情况， 当时，的取值有种情况， 当时，的取值有种情况， 所以，恰有两个相等，共有种情况； （3）均不相等，即， 共有，，或，，或，，或，，，即共有种情况； 综上所述，符合条件的函数共有种情况. 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16—17题每题15分，18—19题每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或或． （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合在实数集中的补集，再结合集合求交集，借助区间分析得到运算结果； （2）由，推出，含参数集合需分和两类讨论，建立不等式求解参数范围，注意不能忽略空集的情况. 【小问1详解】 当时，，或， 所以或或． 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，或，第一个不等式组解得，第二个不等式组无解. 综上，实数的取值范围是或． 16. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式有解． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、中有且只有一个是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或． （2）或． 【解析】 【分析】（1）先求出命题为真时参数取值范围，再取其补集得到为假的范围；恒成立问题需要讨论二次项系数是否为0，避免漏解； （2）先求出为真时参数范围；“有且只有一个假命题”即一真一假，分两种情况取集合运算求解，注意存在性问题不等号方向，端点取舍要严谨. 【小问1详解】 当命题为真命题时，①当时，不等式化为，成立； ②当时，，解得． 结合①②可得时，为真命题， 若为假命题，则取上述范围的补集，所以实数取值的范围为或． 【小问2详解】 若命题为真命题，，不等式有解. 函数在上单调递增，最大值为3，则，所以. 设，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为， 所以的范围为或． 17. 如图，矩形的周长为，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为． （1）当矩形的面积为时，求的面积； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，则可得，又设，根据勾股定理解出即可； （2）解直角三角形，得出关于、的表达式，再代入面积公式，最后结合基本不等式即可求解最大值． 【小问1详解】 设，，则，，所以，， 设，则，在中，， 由勾股定理得，即，解得， 所以，所以的面积为． 【小问2详解】 设，，则，也即，且，所以， 设，则，在中，， 由勾股定理得，即，解得， 所以的面积， 又因为， 所以． 又，当且仅当时，即当时取等号， 所以，故面积的最大值为． 18. 已知，，则有二元均值不等式，当且仅当时等号成立． （1）类比写出三个正数，，的三元均值不等式，并证明； （2）若，请利用第（1）问的结论求函数的最大值； （3）若正数，，满足，证明：． 【答案】（1）若，，，则，当且仅当时等号成立． 证明如下：令，，，要证，即证，即证． 因为． 因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立． （2） （3）因为，所以， 同理，． 因为，， ． 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）应用做差法计算证明不等式； （2）应用基本不等式计算求解最值； （3）应用基本不等式计算证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为． 【小问3详解】 略 19. 已知二次函数（a，b，c为实数）． （1）当，时，若关于的方程有两个不相等且都大于1的实数解，求的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求的最小值； （3）若对，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的分布列不等式求解； （2）由不等式恒成立可得，再由不等式性质放缩，换元后利用基本不等式求最值即可； （3）利用赋值法可得，原不等式恒成立可转化为且，据此求的最值即可. 【小问1详解】 当，时，， 因为有两个不相等且都大于1的零点，所以， 所以． 【小问2详解】 由已知，即对任意恒成立． 由已知，则，所以， 所以． 令，则， 当且仅当时等号成立，此时的最小值为． 【小问3详解】 取，则有，所以． 所以，即， 因为， 所以，所以，即， 所以，所以． 因为，将，代入得， 所以，所以． 所以，， 当时，的最大值为1，当时，的最小值为， 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $