15.2 画轴对称的图形（知识清单，知识点2&易错&7题型）数学新教材人教版八年级上册

第十五章 轴对称 15.2 画轴对称的图形 🔷知识点一　 轴对称变换 1．定义：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同，这种变换称为轴对称变换. 2. 性质：(1) 新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点； (2) 连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分.。 🔷知识点二　 画轴对称的图形 1．原理：几何图形由无数点组成，只需画出图形特殊点（顶点、端点、交点等）的对称点，再顺次连接即可． 2．作图三步法 (1) 找：在原图形上找所有特殊点（如三角形3个顶点、四边形4个顶点）； (2) 画：按 “点对称作图法”，画出每个特殊点关于对称轴的对称点； (3) 连：按原图形顺序，顺次连接各对称点，得到对称图形． 3．示例：画△ABC 关于直线 l 的对称图形△A'B'C'. 找：确定A、B、C三个顶点； 画：分别作A、B、C关于l的对称点A'、B'、C'； 连：顺次连接 A'B'、B'C'、C'A'，△A'B'C' 即为所求． 📌 归纳总结 对称点的作法有两种情况： (1) 点在对称轴上 —— 它本身； (2) 点不在对称轴上 —— 先过点作对称轴的垂线，再等距截取。 ⚠️特别提醒 1．找错特殊点：漏找顶点、交点，导致图形残缺； 2．作图不规范： 作垂线不画直角符号； 对称点到对称轴距离不相等（未“加倍延”）； 3．连接顺序错误：未按原图顺序连接，导致图形变形； 4．坐标规律混淆：x轴对称记成“横反纵同”，y轴对称记反； 5．忽略对称轴位置：对称轴在图形外/斜向时，不会作垂线延长． 🔷知识点三　 用坐标表示轴对称 1．关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），其特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），其特征是纵坐标相同，横坐标互为相反数． 2.在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形．💡 ⚠️特别提醒 所找的特殊点一定要能确定原图形，否则画出的图形与原图形不一定成轴对称 💡 拓展延伸 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）， （1）若x1＝x2，y1＋y2＝0，则点P1，P2关于x轴对称； （2）若x1＋x2＝0，y1＝ y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 易错点 1 作对称点时，距离量取错误 错例：作点A关于直线l的对称点A’，量取A到l的距离为3cm，在l另一侧取A’使AA’=3cm。 错解：认为对称点到对称轴的距离等于AA’的长度。 错因：对称点到对称轴的距离是指垂线段的长度，而非AA’的长度。AA’=2×（点到对称轴的距离）。 规避方法：过A作l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA’=OA，A’即为所求。距离是OA，不是AA’。 易错点 2 作图后未验证对称性 错例：画出△ABC关于直线l的对称图形后，直接标注完成。 错解：未检查对应点连线是否被l垂直平分。 错因：作图误差可能导致对称点位置偏差，不验证易出错。 规避方法：作图后，用直尺和三角板检查：①对应点连线是否⊥l；②l是否平分对应点连线。双重验证确保准确。 题型一：画轴对称图形 📝方法技巧 通用三步法：找点→作对称点→顺次连线 1．找点：选取图形顶点、端点、交点等关键点； 2．作对称点：过关键点向对称轴作垂线，延长垂线并截取等长线段，得到对称点（口诀：作垂线、定垂足、加倍延）； 3．连线：严格按照原图形顶点顺序连接对称点． 补充：对称轴上的点，对称点为自身，无需重新作图． 1．如图，在正方形网格中找线段（，在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的特征进行作图即可． 【详解】解：线段如图所示： ①② ∴线段的位置共有2个． 2．如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质，分类讨论不同的对称轴求解即可． 【详解】解：情况1：以垂直平分线为对称轴 情况2：以垂直平分线为对称轴 情况3：以直线为对称轴 情况4：以直线为对称轴 综上，符合条件的点共有4个． 3．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查作网格中的对称图形，利用对称性作出图形即可得到答案． 按照题意，在网格中作出与成轴对称的格点三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格中与成轴对称的格点三角形共有个， 故选：C． 4．已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙． 题型二：镜面对称 📝方法技巧 1．本质：镜面相当于对称轴，实物与镜中图像成轴对称； 2．规律：左右方向相反，上下方向不变； 3．数字 / 钟表类：可把试卷翻到背面透光观察，快速读出镜像内容； 4．图形类：按轴对称作图规则，画出镜面另一侧图形即可． 1．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 2．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 3．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（   ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【分析】本题考查镜面对称．解题的关键是掌握镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．据此解答即可． 【详解】解：小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 4．在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 题型三：坐标系中的对称 📝方法技巧 牢记坐标变换口诀，直接套用公式： 点P（x，y）关于x轴对称：横不变，纵变号，坐标（x，－y） 点P（x，y）关于y轴对称：纵不变，横变号，坐标（－x， y） 解题步骤：看清对称轴→对照口诀→直接写出对称点坐标． 1．在平面直角坐标系中，点的横坐标乘，纵坐标不变，得到点，则与的关系是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．将点向轴负方向平移两个单位长度 D．将点向轴负方向平移一个单位长度 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标乘，纵坐标不变， ∴点的坐标为， ∵与的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴两点关于轴对称． 2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标规律. 利用规律求出和的值. 再代入计算即可得到结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等， 又点与点关于轴对称， ，， ． 3．已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 【答案】B 【分析】根据两点坐标特征结合平行、垂直的定义判断即可，需注意重合不满足平行关系． 【详解】∵点，点是平面内不同的两点， ∴两点横坐标相等，纵坐标不相等， 可得直线上所有点的横坐标都为， ∴直线一定垂直于轴， 当时，直线与轴重合，不满足平行于轴，因此C不一定正确， 综上，一定正确的是B选项． 4．如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以每个点作为原点建立直角坐标系判断是否满足题意即可． 【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标轴对称，如图所示：    故选：B． 题型四：坐标与图形变化－轴对称 📝方法技巧 1．算坐标：求出原图形所有顶点的对称点坐标； 2．描点：在平面直角坐标系中依次描出对称顶点； 3．连线：按原图顺序顺次连接各点，得到轴对称图形． 拓展：可结合坐标变化，判断图形平移、对称组合变换． 1．在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点是点B，下列关于点B的描述正确的是（     ） A．点B坐标是且到x轴距离是2 B．点B坐标是且到x轴距离是3 C．点B坐标是且到x轴距离是2 D．点B坐标是且到x轴距离是3 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出点B的坐标，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可得答案． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点是点B， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为． 2．小亮在学完轴对称后，设计了一只“电子蝴蝶”的飞行程序．蝴蝶从点出发，先关于轴对称飞到点，再关于轴对称飞到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变号．依次应用两次轴对称即可求解． 【详解】解：∵点与B关于x轴对称， ∴点B的坐标为； ∵点与C关于y轴对称， ∴点C的坐标为． 故选：． 3．如图是某城市的街道规划图的一部分，以市中心为原点，东西方向为轴，南北方向为轴，已知城市中的少年宫位于点处，若豆豆家与少年宫关于穿过市中心的南北向主干道（即轴）对称，则豆豆家用坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得豆豆家用坐标可以表示为． 4．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第次变换后点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据变化找到坐标的变换规律为每4次变换作为一个循环，据此即可求出答案． 【详解】解：点C的坐标是，第1次关于轴对称得到，第2次关于轴对称得到，第3次关于轴对称得到，第4次关于轴对称得到，…… 由上可知，点的坐标变换每4次作为一个循环， ∵……2， ∴经过第次变换后点C的对应点的坐标与第2次变换后的坐标相同，即为． 题型五：线段问题（轴对称综合题） 📝方法技巧 1．核心依据：成轴对称的图形对应线段相等；对称轴垂直平分对应点连线； 2．线段求值：利用等线段代换，直接转化边长、线段和差； 3．周长计算：借助轴对称进行线段转移，将折线转化为已知线段，简化周长运算； 4．证明线段相等：证两点关于直线对称，再用轴对称性质推导． 1．如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意，取关于的对称点，连接，交于点，即可求解． 【详解】解：如图，取关于的对称点，连接，交于点，则点与点重合， 故选：C． 2．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 3．如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题． 利用轴对称的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点， 点即为点，此时，，最小， 故选：B． 4．如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了作轴对称——最短路线问题，运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 【详解】解：作点P关于的对称点，连接交于点G，连接，， ∴， ∴， ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为：． 题型六：面积问题（轴对称综合题） 📝方法技巧 1．基础结论：成轴对称的两个图形面积完全相等； 2．分割图形：轴对称图形可被对称轴分成面积相等的两部分； 3．不规则图形：利用轴对称补全 / 割补图形，转化为规则图形（三角形、矩形等）再求面积； 4．网格图形：数方格、割补法结合轴对称性质计算． 1．如图所示，在边长为1的正方形网格中，点，均位于格点上，请完成以下问题： (1)在图中作出线段关于直线的对称线段（点的对称点为点，点的对称点为点）； (2)在（1）的条件下，分别连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)解：如图，即为所求， ． (2)四边形面积为18 【分析】根据轴对称的性质，对称点到对称轴的距离相等，且对称点的连线被对称轴垂直平分进行作图，再利用面积公式计算四边形面积． 【详解】（1）略． （2）解：连接，，如图， 的长度为，的长度为， 和之间的距离为， 即高． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于y轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，用含x的式子表示的面积，再分两种情况解方程即可． 【详解】（1）解：略； （2）如图所示： 的面积为； （3）存在，理由如下 设点P的坐标为， 由（1）得，， 则以为底边时，高为到轴的距离，即2， ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 所以点P的坐标为或． 3．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) (3)存在点，使得与全等，、和 【分析】本题主要考查了利用网格作轴对称图形，利用网格求出图形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用网格作轴对称图形即可； （2）利用网格求梯形的面积即可； （3）借助网格和全等三角形判定定理，求点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：； （3）解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点，使得与全等，、和． 4．如下图，在平面直角坐标系中，直线为第一、三象限的角平分线，点关于轴的对称点称为点的“轴对称点”，记作；点关于直线的对称点称为点的“线对称点”，记作．例如：点的“轴对称点”为点，“线对称点”为点． (1)点的“轴对称点”的坐标为______，“线对称点”的坐标为______． (2)点的“轴对称点”一定在第_______象限． (3)点在轴负半轴，点分别是点的“轴对称点”和“线对称点”．若这三点围成的三角形的面积为36，求线段的长． 【答案】(1)； (2)三 (3)12 【分析】本题主要考查坐标系中点的对称变换以及三角形面积的计算。需要理解轴对称和线对称的概念， 并能根据给定的坐标计算对称点的坐标。同时， 利用三角形面积公式解决实际问题． （1）根据“轴对称点”和“线对称点”的概念，直接写出答案即可； （2）先确定点所在的象限，再根据“轴对称点”的概念进行判定； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，分别表示出线段，的长度，根据面积公式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）∵，， ∴点位于第四象限， ∵点关于轴的对称点称为点的“轴对称点”， ∴点的“轴对称点”一定在第三象限， 故答案为：三． （3）根据题意可作如图所示的． 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 所以， 所以（负值已舍去）， 所以． 题型七：角度问题（轴对称综合题） 1．如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． 作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接，由轴对称的性质可知，，，因此，当，，，四点共线时，取到最小值．设，用和表示出和，作差得出结果． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，作点D关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，，， ∴， 当，，，四点共线时，取到最小值， 设此时点、的位置为，，设， 由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质解决线段和最小问题，线段垂直平分线的性质，四边形及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边和直角，然后根据四边形及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，为，连接，交于点，连接， ∴此时，周长最小，为线段的长度， 根据轴对称得，垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 4．如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 【答案】B 【分析】此题考查了对称的性质，找点关于的对称点，连接，延长交于点，则有 ，，解题的关键是熟练掌握对称的性质及其应用． 【详解】如图，找点关于的对称点，连接，延长交于点， ∴ ，， 当在在内部时，即， ∴， 故选：． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 15.2 画轴对称的图形 🔷知识点一　 轴对称变换 1．定义：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的_____________________________，这种变换称为轴对称变换. 2. 性质：(1) 新图形上的每一点都是原图形上的某一点___________________； (2) 连接任意一对对称点的线段被对称轴___________。 🔷知识点二　 画轴对称的图形 1．原理：几何图形由无数点组成，只需画出图形特殊点（顶点、端点、交点等）的___________，再顺次连接即可． 2．作图三步法 (1) 找：_________________________________________________________； (2) 画：_________________________________________________________； (3) 连：_________________________________________________________． 3．示例：画△ABC 关于直线 l 的对称图形△A'B'C'. 找：确定A、B、C三个顶点； 画：分别作A、B、C关于l的对称点A'、B'、C'； 连：顺次连接 A'B'、B'C'、C'A'，△A'B'C' 即为所求． 📌 归纳总结 对称点的作法有两种情况： (1) 点在对称轴上 —— 它本身； (2) 点不在对称轴上 —— 先过点作对称轴的垂线，再等距截取。 ⚠️特别提醒 1．找错特殊点：漏找顶点、交点，导致图形残缺； 2．作图不规范： 作垂线不画直角符号； 对称点到对称轴距离不相等（未“加倍延”）； 3．连接顺序错误：未按原图顺序连接，导致图形变形； 4．坐标规律混淆：x轴对称记成“横反纵同”，y轴对称记反； 5．忽略对称轴位置：对称轴在图形外/斜向时，不会作垂线延长． 🔷知识点三　 用坐标表示轴对称 1．关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），其特征是___________________； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y），其特征是___________________． 2.在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形．💡 ⚠️特别提醒 所找的特殊点一定要能确定原图形，否则画出的图形与原图形不一定成轴对称 💡 拓展延伸 已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）， （1）若x1＝x2，y1＋y2＝0，则点P1，P2关于x轴对称； （2）若x1＋x2＝0，y1＝ y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 易错点 1 作对称点时，距离量取错误 错例：作点A关于直线l的对称点A’，量取A到l的距离为3cm，在l另一侧取A’使AA’=3cm。 错解：认为对称点到对称轴的距离等于AA’的长度。 错因：对称点到对称轴的距离是指垂线段的长度，而非AA’的长度。AA’=2×（点到对称轴的距离）。 规避方法：过A作l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA’=OA，A’即为所求。距离是OA，不是AA’。 易错点 2 作图后未验证对称性 错例：画出△ABC关于直线l的对称图形后，直接标注完成。 错解：未检查对应点连线是否被l垂直平分。 错因：作图误差可能导致对称点位置偏差，不验证易出错。 规避方法：作图后，用直尺和三角板检查：①对应点连线是否⊥l；②l是否平分对应点连线。双重验证确保准确。 题型一：画轴对称图形 📝方法技巧 通用三步法：找点→作对称点→顺次连线 1．找点：选取图形顶点、端点、交点等关键点； 2．作对称点：过关键点向对称轴作垂线，延长垂线并截取等长线段，得到对称点（口诀：作垂线、定垂足、加倍延）； 3．连线：严格按照原图形顶点顺序连接对称点． 补充：对称轴上的点，对称点为自身，无需重新作图． 1．如图，在正方形网格中找线段（，在格点上），使它与线段，组成轴对称图形，线段的位置有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在的正方形网格中，已知点A，B，C是网格线的交点，请你再找一个点D（点D是网格线的交点，且与点A，B，C不重合），使得A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，则D点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形共有（   ）个（注：与重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 4．已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型二：镜面对称 📝方法技巧 1．本质：镜面相当于对称轴，实物与镜中图像成轴对称； 2．规律：左右方向相反，上下方向不变； 3．数字 / 钟表类：可把试卷翻到背面透光观察，快速读出镜像内容； 4．图形类：按轴对称作图规则，画出镜面另一侧图形即可． 1．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 2．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 3．一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（   ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 4．在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 题型三：坐标系中的对称 📝方法技巧 牢记坐标变换口诀，直接套用公式： 点P（x，y）关于x轴对称：横不变，纵变号，坐标（x，－y） 点P（x，y）关于y轴对称：纵不变，横变号，坐标（－x， y） 解题步骤：看清对称轴→对照口诀→直接写出对称点坐标． 1．在平面直角坐标系中，点的横坐标乘，纵坐标不变，得到点，则与的关系是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．将点向轴负方向平移两个单位长度 D．将点向轴负方向平移一个单位长度 2．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 3．已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 4．如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 题型四：坐标与图形变化－轴对称 📝方法技巧 1．算坐标：求出原图形所有顶点的对称点坐标； 2．描点：在平面直角坐标系中依次描出对称顶点； 3．连线：按原图顺序顺次连接各点，得到轴对称图形． 拓展：可结合坐标变化，判断图形平移、对称组合变换． 1．在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点是点B，下列关于点B的描述正确的是（     ） A．点B坐标是且到x轴距离是2 B．点B坐标是且到x轴距离是3 C．点B坐标是且到x轴距离是2 D．点B坐标是且到x轴距离是3 2．小亮在学完轴对称后，设计了一只“电子蝴蝶”的飞行程序．蝴蝶从点出发，先关于轴对称飞到点，再关于轴对称飞到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图是某城市的街道规划图的一部分，以市中心为原点，东西方向为轴，南北方向为轴，已知城市中的少年宫位于点处，若豆豆家与少年宫关于穿过市中心的南北向主干道（即轴）对称，则豆豆家用坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第次变换后点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型五：线段问题（轴对称综合题） 📝方法技巧 1．核心依据：成轴对称的图形对应线段相等；对称轴垂直平分对应点连线； 2．线段求值：利用等线段代换，直接转化边长、线段和差； 3．周长计算：借助轴对称进行线段转移，将折线转化为已知线段，简化周长运算； 4．证明线段相等：证两点关于直线对称，再用轴对称性质推导． 1．如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 4．如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 题型六：面积问题（轴对称综合题） 📝方法技巧 1．基础结论：成轴对称的两个图形面积完全相等； 2．分割图形：轴对称图形可被对称轴分成面积相等的两部分； 3．不规则图形：利用轴对称补全 / 割补图形，转化为规则图形（三角形、矩形等）再求面积； 4．网格图形：数方格、割补法结合轴对称性质计算． 1．如图所示，在边长为1的正方形网格中，点，均位于格点上，请完成以下问题： (1)在图中作出线段关于直线的对称线段（点的对称点为点，点的对称点为点）； (2)在（1）的条件下，分别连接，，求四边形的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如下图，在平面直角坐标系中，直线为第一、三象限的角平分线，点关于轴的对称点称为点的“轴对称点”，记作；点关于直线的对称点称为点的“线对称点”，记作．例如：点的“轴对称点”为点，“线对称点”为点． (1)点的“轴对称点”的坐标为______，“线对称点”的坐标为______． (2)点的“轴对称点”一定在第_______象限． (3)点在轴负半轴，点分别是点的“轴对称点”和“线对称点”．若这三点围成的三角形的面积为36，求线段的长． 题型七：角度问题（轴对称综合题） 1．如图，，点，分别是射线，上的两个定点，点，分别是射线，上的两个动点，当最小时，的大小是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，，点P为内一定点，点分别在上．当周长最小时，（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $