16.2 整式的乘法（知识清单，知识点7&易错&16题型）数学新教材人教版八年级上册

第十六章 整式的乘法 16.2 整式的乘法 🔷知识点一　 单项式与单项式相乘 法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．         ⚠️特别提醒       ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值．这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；              ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；           ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式．       🔷知识点二　  单项式与多项式相乘 1.法则：单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 2. 符号表示：（a+b+c)m=am+bm+cm .      ⚠️特别提醒 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； ③在混合运算时，要注意运算顺序． 🔷知识点三　 多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2. 符号表示：（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn . ⚠️特别提醒  ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；              ②多项式相乘的结果应注意合并同类项；              ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积．即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab，对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到． 🔷知识点四　  同底数幂的除法 1.性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 2. 符号表示：（a≠0，m，n都是正整数，m>n）. ⚠️特别提醒       同底数幂相除指数相减，底数不为0. 🔷知识点五　  零指数幂 定义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. ⚠️特别提醒     零指数幂：底数不为0时结果为1，勿忘底数≠0．   🔷知识点六　  单项式除以单项式 法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 📌 归纳总结 1.确定系数：系数相除所得的结果作为商的系数； 2.确定相同字母：同底数幂分别相除，所得的结果分别作为商的因式； 3.确定单独字母：只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式. 🔷知识点七　  多项式除以单项式 1.法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 2.符号表示：(am + bm) ÷ m = am ÷ m + bm ÷ m = a + b（m≠0，a, b, m 都是单项式）． 📌 归纳总结 1.多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加； 2.多项式除以单项式，商也应该有几项. 易错点 1 单项式乘多项式漏乘常数项 错例：计算 2x(x-3+1) 错解：2x²-6x 正解：2x²-6x+2x 错因：单项式乘多项式，必须用单项式去乘多项式的每一项。学生常因粗心漏乘括号内的常数项或最后一项。 规避方法：在多项式的每一项上方标出序号或画箭头，确保单项式与多项式的每一项都完成相乘，做到”项项相乘，不漏不重”。 易错点 2 多项式乘多项式符号错误 错例：计算 (x-2)(x+3) 错解：x²+3x-2x-6 = x²+x-6（中间项符号出错或合并错误） 正解：x²+3x-2x-6 = x²+x-6（注：此题正解确为x²+x-6，易错点在于展开时 -2×3 = -6 的符号，或 -2×x = -2x 漏写负号） 修正错例：计算 (x-2)(x-3) 错解：x²-3x-2x-6 = x²-5x-6 正解：x²-3x-2x+6 = x²-5x+6 错因：多项式相乘展开时，各项的符号由两个因式的符号共同决定。“负负得正”容易在连续运算中被遗忘或搞混。 规避方法：展开时严格遵循”同号得正，异号得负”，建议将减法统一转化为加法（如 x-2 看作 x+(-2)），或逐项相乘时先定符号再算绝对值 易错点 3 运算顺序混乱 错例：计算 (-a)⁵÷a³·a² 错解：(-a)⁵÷(a³·a²) = -a⁵÷a⁵ = -1 正解：(-a⁵)÷a³·a² = -a²·a² = -a⁴ 错因：乘除属于同级运算，应从左到右依次计算。学生常受乘法结合律影响，错误地将后面的乘法先结合计算。 规避方法：牢记”同级运算从左到右”的原则。遇到乘除混合，严格按照书写顺序逐步计算，切忌随意添加括号改变运算顺序。 题型一：计算单项式乘单项式 📝方法技巧 1.分三部分分别算：系数 × 系数；同底数幂相乘；单独字母直接保留； 2. 系数先定符号：同号得正、异号得负；再算数字乘积； 3. 同底数幂：底数不变，指数相加；只在一个单项式里有的字母，连同指数直接照抄，不要丢； 4. 顺序：先符号→系数数字→字母幂. 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】解：． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的幂运算与乘法计算，先利用积的乘方法则化简第一项，再按照单项式乘单项式法则计算即可得到结果． 【详解】解： 4．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 题型二：利用单项式乘法求字母或代数式的值 📝方法技巧 1.先正常计算等式左边单项式乘法：系数相乘，同底数幂指数相加； 2.左右两边是相等的单项式 ⇒ 对应字母的系数相等、相同字母的指数相等； 3.有几个未知数，就列几个方程，解出字母； 4.求出字母后，再代入目标代数式计算 1．若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据单项式乘以单项式，确定m，n的值，即可解答． 【详解】[解析]∵，∴， ，∴，，∴， 故选D． 2．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 3．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 4．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 题型三：计算单项式乘多项式及求值 📝方法技巧 1.分配原则：单项式要和多项式每一项都相乘，不能漏乘某一项； 2.符号优先：单项式带负号时，乘后面每一项都要变号，是高频易错点；每一项自带前面的正负号； 3.运算顺序：式子里面有乘方，先算乘方，再算单项式乘多项式； 4.先化简、后代入：求值题一定要先展开、合并同类项化成最简，再代入数值，不要直接代值硬算； 5.代入细节：负数、分数代入时，必须加上括号；乘号不能省略； 6.检验要点：展开之后核对项数，原来多项式几项，展开后（未合并前）就有几项，用来排查漏乘。 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，进而算出式子的结果． 【详解】解：． 2．已知，则代数式的值为（     ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】先对代数式展开，得到与已知方程左边相关的形式．因为已知，所以可变形得到的值．将的值代入展开后的代数式，即可求出结果． 【详解】我们先对已知条件变形： 由 ， 移项可得 ． 再化简所求代数式： ， 把 整体代入， 得到原式 ． 3．某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先运用整式的加减运算求出这个多项式，然后运用多项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：这个多项式是， 则． 4．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 题型四：利用单项式乘多项式求字母的值 📝方法技巧 1.先用乘法分配律，完整展开单项式乘多项式； 2.合并同类项，整理成标准降幂形式； 3.等式左右两边同类项系数相等，列出方程；如果题目说 “不含某一项”，直接令这一项的系数 = 0； 4.解方程求出参数字母； 5.求出参数后可以带回原式验算，防止符号、漏乘出错 1．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据倒数的性质得到，展开已知等式后代入求出的值，再根据倒数定义即可得到的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， 展开等式得， 把代入得， ∴， 又∵互为倒数， ∴ ．故选A． 2．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 3．若将展开的结果中不含有x的一次项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有x的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有x的一次项， ∴．故选B． 4．若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故选A． 题型五：单项式乘多项式的应用 📝方法技巧 1.审题：理清数量关系，把题目里的文字翻译成代数式； 2. 列式优先：用单项式乘多项式表示总量，不要分步单独计算； 3. 有括号、负号，分配展开时不漏乘、不错符号； 4. 先化简代数式，再代入数值计算，减少运算量； 5. 结果要带上实际单位；应用题作答必须写答句； 6. 几何类（长方形、组合图形）：分清长、宽，面积 = 长 × 宽. 1．一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ． 2．小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的长方形示意图如图所示．现要进行修补，有三种地砖可供选择，则需要砖（     ） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】D 【分析】根据题意计算出破损的总面积，然后计算分别需要三种砖的数量即可求解． 【详解】解：根据题意得：破损的总面积， 计算每一块三种砖的面积为：砖的面积；砖的面积；砖的面积， ∴需要三种砖的数量分别为：0，6，2块． 3．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 【答案】B 【分析】首先根据长方形面积公式计算目标图形的面积，利用单项式乘多项式法则展开，再结合图中A、B、C三类卡片的面积特征，通过对比多项式中各项的系数确定所需卡片的数量； 【详解】解：， 由图可知： A类卡片是长为、宽为的长方形，面积为，B类卡片是边长为的正方形，面积为，C类卡片是边长为的正方形，面积为， ∵目标面积中包含个和个， ∴需要C类卡片张，A类卡片张． 4．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为 ，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 题型六：计算多项式乘多项式 📝方法技巧 1.逐项相乘：第一个多项式的每一项，乘第二个多项式的每一项，不重复、不漏乘； 2. 符号随身带：每一项连同它前面的正负号一起相乘；同号得正，异号得负； 3. 展开完成后，合并同类项，最后按降幂排列； 4. 项数检验：没有合并同类项之前，总项数 = 两个多项式项数相乘，可以用来快速检查有没有漏乘； 5. 有乘方时，遵循运算顺序：先乘方，再多项式相乘. 1．若，则的值为（     ） A．1 B．9 C．10 D．20 【答案】B 【分析】展开等式左侧的多项式乘法，通过对应项系数相等求出、的值，再计算． 【详解】解：． ∵， ∴，， ∴． 2．小江在计算时，他第一步是这样计算的：原式．则小江这一步做法的依据是（   ） A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题考查对运算律定义的识别，只需根据各运算律的定义，判断小江计算步骤对应的依据即可． 【详解】解：∵乘法分配律的形式为， 小江计算得到，符合乘法分配律的展开形式， ∴这一步做法的依据是分配律． 故选D． 3．若 ，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．由x的取值而定 【答案】C 【分析】利用作差法求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式相乘的结果展开即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 根据选项得：或， 解得或， 则或． 只有选项A符合题意． 题型七：已知多项式乘积不含某项求字母的值 📝方法技巧 两个多项式相乘，展开、合并同类项之后，不含哪一项，就让这一项的系数等于 0，列方程求解参数. 1．若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含的一次项，可得一次项系数为，解方程即可求出的值． 【详解】解： 展开式中不含的一次项， 一次项系数， 解得． 2．若不含项，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后令项的系数之和为0，列方程求解． 【详解】解：， 合并项，得系数为， ∵多项式不含项， ∴， 解得． 3．若的展开结果中不含项和x项，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】展开多项式，将展开式不含项和项的条件转化为对应项系数为0，即可求解． 【详解】解： ， 展开结果中不含项和x项， ，， 解得：，即， ． 4．如图是小圳设计的一个数据运算程序，他发现在框内填上一个常数k，使得对于任意x，输出的y恒为定值，则k是（   ） A．5 B．0 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据程序框图列出式子，再计算化简，再根据对于任意x，输出的y恒为定值，可得的系数为，求解即可． 【详解】解：， ∴， ． 题型八：多项式乘多项式——化简求值 📝方法技巧 先展开、合并同类项化简，再代入数值计算，不直接硬代. 1．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴， 即， ∴ ． 2．已知，，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，代数式求值，将表达式展开后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：A． 3．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 4．若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据定义可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型九：多项式乘多项式与图形面积 📝方法技巧 用多项式表示图形边长，利用 “面积 = 长 × 宽”，结合多项式乘法列式计算；也可以用整体面积 = 各部分面积和，建立等式. 1．如图，一块长为 、宽为 的长方形草坪，中间修建了两条互相垂直且宽度均为的小路（呈十字形，阴影部分），则剩余草坪的面积为（    ） A．    B．   C．    D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，大长方形的长为米，宽为米， ∵中间修建了两条互相垂直且宽度均为的小路（呈十字形，阴影部分）， ∴剩余草坪的面积为： 2．如图，书画店为一幅正方形福字书法作品装裱，装裱后形成一个长方形画框．已知装裱后的画框长为米、宽为米，中间待装裱的正方形福字书法作品边长为米，求用于装裱的边框（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据装裱的边框（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积等于长方形的面积减去正方形的面积进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， 平方米， ∴用于装裱的边框（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积是平方米， 故选：D． 3．为了丰富校园文化，学校决定在教学楼走廊打造一面文化墙．施工时需要使用如图所示的三种规格的瓷砖：类正方形瓷砖（边长为）、类正方形瓷砖（边长为）和类长方形瓷砖（长为，宽为）．已知文化墙被设计成长为、宽为的长方形区域，且墙面恰好由这三种瓷砖无缝拼接而成（瓷砖数量为正整数），则需类长方形瓷砖的块数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，其中项的系数即为类长方形瓷砖的块数． 【详解】解：， 若要拼一个长为、宽为的长方形，则需类长方形瓷砖块． 故选：B． 4．如图，某小区规划在正方形ABCD场地中建一条矩形甬道EFGH及一条平行四边形甬道MNQP，其余部分为草坪，若，，则甬道所占的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知： 甬道所占的面积为； 故选C． 题型十：多项式乘法中的规律性问题 📝方法技巧 先算、再观察式子和结果，总结通项，最后用规律求值 / 证明，常考平方差、完全平方、多次连乘找规律、杨辉三角四类. 1．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】利用“杨辉三角”将展开，据此解答即可． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：1，5，10，10，5，1； 的系数行：1，6，15，20，15，6，1； 即 则的展开式中，含项的系数是15． 2．我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，关键是利用“首尾为1、中间数为肩上两数之和”的规律，逐步推导的展开式的系数． 【详解】解：观察发现贾宪三角形每行的最左侧和最右侧的数都是；除首尾的外，每行中间的每个数，都等于它肩上两个数的和，所以 第7行(对应：； 第8行(对应：； 第9行(对应：． 观察第9行，从左起第五项的数为，即展开式中从左起第五项的系数为； 故选：D． 3．根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点．由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵， ∴的末位数字为1． 故选D． 4．“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想． 例：求前个正整数之和的平方 ． 第一步：若小正方形的边长为1个单位长度，则、、、的值可用一个正方形的面积来表示（如图所示）； 第二步：通过观察，上述各式的值还可以用若干个正方形的面积之和来表示； 第三步：根据规律可得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题． 【详解】解：根据第二步的图示， ； ； ； ； ∴． 故选：A． 题型十一：同底数幂的除法运算 📝方法技巧 1. 先统一底数，再算指数，底数不一样不能直接指数相减； 2. 底数带负号、多项式，把整体看成一个底数（整体思想）. 1．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．计算：（   ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】同级运算按从左到右的顺序计算，运用同底数幂的乘除法法则即可求解． 【详解】解： ． 3．《孙子算经》中记载：“八八六十四，自相乘，得四千九十六．八人分之，人得……”将其大意用算式表示为，其结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把8用替换，再根据同底数幂乘除法的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 4．已知，，之间满足数量关系，若，，则（  ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法；由已知条件，可得，代入和，利用运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，， ∴， 故，对应选项B． 故选：B． 题型十二： 同底数幂除法的逆用 📝方法技巧 1. 目标拆分法：所求指数拆成减法形式； 2. 先幂再除：指数里的倍数优先用幂的乘方转化； 3. 正负留意：指数减法可以是负数，结果会出现负整数指数，记得取倒数 4. 多字母 / 多指数，分开拆解，一步只拆一组，不要一次性拆太复杂 5. 验算技巧：正向推回去，看指数加减是否和原式一致 1．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方．根据同底数幂的除法和幂的乘方运算计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．若的算术平方根是，则“？”表示的数为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，算术平方根，先根据算术平方根的定义得到，再由同底数幂除法的逆运算得到，据此可得答案． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∵，， ∴， ∴“？”表示的数为4， 故选B． 3．已知（，a，b是正整数），则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方的逆运算得到，然后利用同底数幂除法的逆运算进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵，∴， ∴， 故选：D． 4．已知 则 的值为（     ） A．250 B．160 C．150 D．133 【答案】A 【分析】根据幂的乘方的性质，同底数幂相乘、底数不变指数相加，同底数幂相除、底数不变指数相减，把所求算式转化为已知条件的形式，然后代入计算即可． 【详解】解： ，，， ， 故选：A． 题型十三：零指数幂 📝方法技巧 1. 先判底数，再算结果； 2. 底数可以是单项式、多项式，整体看待. 1．关于式子，下列说法正确的是（    ） A．结果等于0 B．结果等于1 C．结果等于 D．没有意义 【答案】B 【分析】先判断底数是否不为0，再根据零指数幂的性质计算结果． 【详解】解： ， ． 2．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂，有理数减法，利用零指数幂的性质求出，然后通过减法运算即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．如果等式成立，则满足条件x值为（   ） A．3或 B．4或3或 C．4或2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的运算，根据1的任何次幂均为1，的偶数次幂均为1，任何非零数的零次幂均为1，即可进行解答． 【详解】解： 若，解得：，此时符合题意； 若，解得：，此时，，不符合题意； 当时，解得：，此时，符合题意； 综上：或． 故选：D． 4．若则（    ） A． B． C． D．，或，或且为偶数 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数次幂，乘方，同底数幂相除， 根据同底数幂的除法法则可得，再分三种情况分析得出答案． 【详解】解：∵， 当时，无论为何值，结果成立； 当指数为0，即，解得，任何非零数a的0次方均为1； 当时，且为偶数，则的偶次幂等于1． 选项D完整涵盖了这三种情况． 故选：D． 题型十四：计算单项式除以单项式 📝方法技巧 1. 拆分三步法（固定顺序） ① 系数 ÷ 系数（注意符号！先定符号，再算数值） ② 同底数幂相除：底数不变，指数相减 ③ 只在被除式有的字母：直接照抄，指数不变 除式里独有的字母，不能保留. 2. 符号技巧：同号得正，异号得负，先判断符号再算数值，避免最后符号出错 3. 多个字母依次处理，一个字母一组，不要混在一起 4. 结果规范：系数写在前，字母按顺序排列，系数为分数时保持最简 1．该等式'被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖掉的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、单项式的乘除法则判断即可． 【详解】解∶ A．，故A不符合题意， B．与不能合并同类项，故B符合题意， C．， 故C不符合题意， D．， 故D不符合题意， 故选B． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 3．已知，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ，， 解得，． 4．已知 ，则整式M=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查单项式的乘除法运算，根据题意得出，求解即可 【详解】解：根据题意得：， 故选：D 题型十五：计算多项式除以单项式 📝方法技巧 1. 分项除法（核心：分配进去，一项一项除） 把多项式的每一项，分别除以后面的单项式，再相加；本质是乘法分配律的逆用。 2. 符号先行：每一项自带符号，连同符号一起除，不要漏负号。 3. 每一项除法，按【单项式 ÷ 单项式】规则计算 ◦ 系数相除 ◦ 同底数幂指数相减 ◦ 只在被除式里的字母直接保留 4. 项数不变提醒：原式多项式有几项，分开之后就有几项，不要丢项 5. 最后能合并同类项的，一定要合并化简 6. 检验方法：商 × 单项式 = 原来的多项式（验算） 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 2．如图是一道残缺不全的题目，被遮住的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：． 3．学校科技小组对整式运算进行探究活动，甲乙两人各写一个整式，若把甲写的整式当作除式，乙写的整式当作被除式，规定商是，若乙写的整式是，则甲写的整式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被除式、除式、商之间的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式的运算法则计算即可解答． 【详解】解： ， 故甲写的整式是． 4．定义新运算符号“”：，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ． 题型十六：整式四则混合运算 📝方法技巧 1. 顺序口诀：乘方优先，乘除次之，加减最后；括号优先 2. 区分两类运算 ◦ 乘除：用幂的法则、整式乘除规则 ◦ 加减：只有同类项才能合并，不是同类项不能合并 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并．错误，不符合题意； 选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减．，错误，不符合题意； 选项C：单项式相乘，系数、同底数幂分别相乘．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．正确，符合题意； 选项D：负数的奇次幂，仍是负数．，错误，不符合题意． 2．一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果是（     ） A． B． C． D．与这个数有关 【答案】B 【分析】设这个非零的有理数为a，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设这个非零的有理数为a， 根据题意得，， ∴所得结果是1． 3．如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式混合运算的应用．由题意得到，代入各项的左边分别计算，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ， 故A选项错误， ， 故B选项正确； ， 故C选项错误， ， 故D选项错误， 故选：B 4．已知m为非零实数，按如下程序进行计算，则输出的结果（    ） A．随m的变化而变化 B．不变，总是2 C．不变，总是 D．不变，总是4 【答案】B 【分析】按照程序逐步对式子进行运算，再判断结果是否随变化． 【详解】解：根据程序，先计算，再除以，最后减． 首先计算，根据整式混合运算法则， 先算括号里的，，所以括号里为：． 然后除以，即：． 再减，得到． 所以无论（为非零实数）取何值，结果都是，不随的变化而变化． 故选：B． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 16.2 整式的乘法 🔷知识点一　 单项式与单项式相乘 法则：单项式相乘，把它们的_________分别_________，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的_________作为积的一个因式．         ⚠️特别提醒       ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值．这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；              ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；           ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式．       🔷知识点二　  单项式与多项式相乘 1.法则：单项式乘以多项式，是通过_________，把它转化为_________，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 2. 符号表示：___________________________ .      ⚠️特别提醒 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； ③在混合运算时，要注意运算顺序． 🔷知识点三　 多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2. 符号表示：___________________________. ⚠️特别提醒  ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；              ②多项式相乘的结果应注意合并同类项；              ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积．即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab，对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到． 🔷知识点四　  同底数幂的除法 1.性质：同底数幂相除，__________________. 2. 符号表示：____________________________________. ⚠️特别提醒       同底数幂相除指数相减，底数不为0. 🔷知识点五　  零指数幂 定义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即__________________. ⚠️特别提醒     零指数幂：底数不为0时结果为1，勿忘底数≠0．   🔷知识点六　  单项式除以单项式 法则：一般地，单项式相除，把_________分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同_________作为商的一个因式. 📌 归纳总结 1.确定系数：系数相除所得的结果作为商的系数； 2.确定相同字母：同底数幂分别相除，所得的结果分别作为商的因式； 3.确定单独字母：只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式. 🔷知识点七　  多项式除以单项式 1.法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 2.符号表示：______________________________________________________． 📌 归纳总结 1.多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加； 2.多项式除以单项式，商也应该有几项. 易错点 1 单项式乘多项式漏乘常数项 错例：计算 2x(x-3+1) 错解：2x²-6x 正解：2x²-6x+2x 错因：单项式乘多项式，必须用单项式去乘多项式的每一项。学生常因粗心漏乘括号内的常数项或最后一项。 规避方法：在多项式的每一项上方标出序号或画箭头，确保单项式与多项式的每一项都完成相乘，做到”项项相乘，不漏不重”。 易错点 2 多项式乘多项式符号错误 错例：计算 (x-2)(x+3) 错解：x²+3x-2x-6 = x²+x-6（中间项符号出错或合并错误） 正解：x²+3x-2x-6 = x²+x-6（注：此题正解确为x²+x-6，易错点在于展开时 -2×3 = -6 的符号，或 -2×x = -2x 漏写负号） 修正错例：计算 (x-2)(x-3) 错解：x²-3x-2x-6 = x²-5x-6 正解：x²-3x-2x+6 = x²-5x+6 错因：多项式相乘展开时，各项的符号由两个因式的符号共同决定。“负负得正”容易在连续运算中被遗忘或搞混。 规避方法：展开时严格遵循”同号得正，异号得负”，建议将减法统一转化为加法（如 x-2 看作 x+(-2)），或逐项相乘时先定符号再算绝对值 易错点 3 运算顺序混乱 错例：计算 (-a)⁵÷a³·a² 错解：(-a)⁵÷(a³·a²) = -a⁵÷a⁵ = -1 正解：(-a⁵)÷a³·a² = -a²·a² = -a⁴ 错因：乘除属于同级运算，应从左到右依次计算。学生常受乘法结合律影响，错误地将后面的乘法先结合计算。 规避方法：牢记”同级运算从左到右”的原则。遇到乘除混合，严格按照书写顺序逐步计算，切忌随意添加括号改变运算顺序。 题型一：计算单项式乘单项式 📝方法技巧 1.分三部分分别算：系数 × 系数；同底数幂相乘；单独字母直接保留； 2. 系数先定符号：同号得正、异号得负；再算数字乘积； 3. 同底数幂：底数不变，指数相加；只在一个单项式里有的字母，连同指数直接照抄，不要丢； 4. 顺序：先符号→系数数字→字母幂. 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 题型二：利用单项式乘法求字母或代数式的值 📝方法技巧 1.先正常计算等式左边单项式乘法：系数相乘，同底数幂指数相加； 2.左右两边是相等的单项式 ⇒ 对应字母的系数相等、相同字母的指数相等； 3.有几个未知数，就列几个方程，解出字母； 4.求出字母后，再代入目标代数式计算 1．若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 3．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 4．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：计算单项式乘多项式及求值 📝方法技巧 1.分配原则：单项式要和多项式每一项都相乘，不能漏乘某一项； 2.符号优先：单项式带负号时，乘后面每一项都要变号，是高频易错点；每一项自带前面的正负号； 3.运算顺序：式子里面有乘方，先算乘方，再算单项式乘多项式； 4.先化简、后代入：求值题一定要先展开、合并同类项化成最简，再代入数值，不要直接代值硬算； 5.代入细节：负数、分数代入时，必须加上括号；乘号不能省略； 6.检验要点：展开之后核对项数，原来多项式几项，展开后（未合并前）就有几项，用来排查漏乘。 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为（     ） A．3 B． C．9 D． 3．某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 4．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型四：利用单项式乘多项式求字母的值 📝方法技巧 1.先用乘法分配律，完整展开单项式乘多项式； 2.合并同类项，整理成标准降幂形式； 3.等式左右两边同类项系数相等，列出方程；如果题目说 “不含某一项”，直接令这一项的系数 = 0； 4.解方程求出参数字母； 5.求出参数后可以带回原式验算，防止符号、漏乘出错 1．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 2．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 3．若将展开的结果中不含有x的一次项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 4．若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 题型五：单项式乘多项式的应用 📝方法技巧 1.审题：理清数量关系，把题目里的文字翻译成代数式； 2. 列式优先：用单项式乘多项式表示总量，不要分步单独计算； 3. 有括号、负号，分配展开时不漏乘、不错符号； 4. 先化简代数式，再代入数值计算，减少运算量； 5. 结果要带上实际单位；应用题作答必须写答句； 6. 几何类（长方形、组合图形）：分清长、宽，面积 = 长 × 宽. 1．一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的长方形示意图如图所示．现要进行修补，有三种地砖可供选择，则需要砖（     ） A．张 B．张 C．张 D．张 3．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 4．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 题型六：计算多项式乘多项式 📝方法技巧 1.逐项相乘：第一个多项式的每一项，乘第二个多项式的每一项，不重复、不漏乘； 2. 符号随身带：每一项连同它前面的正负号一起相乘；同号得正，异号得负； 3. 展开完成后，合并同类项，最后按降幂排列； 4. 项数检验：没有合并同类项之前，总项数 = 两个多项式项数相乘，可以用来快速检查有没有漏乘； 5. 有乘方时，遵循运算顺序：先乘方，再多项式相乘. 1．若，则的值为（     ） A．1 B．9 C．10 D．20 2．小江在计算时，他第一步是这样计算的：原式．则小江这一步做法的依据是（   ） A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．乘法分配律 3．若 ，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．由x的取值而定 4．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 题型七：已知多项式乘积不含某项求字母的值 📝方法技巧 两个多项式相乘，展开、合并同类项之后，不含哪一项，就让这一项的系数等于 0，列方程求解参数. 1．若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 2．若不含项，则的值为（     ） A． B． C．2 D．1 3．若的展开结果中不含项和x项，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 4．如图是小圳设计的一个数据运算程序，他发现在框内填上一个常数k，使得对于任意x，输出的y恒为定值，则k是（   ） A．5 B．0 C．5 D． 题型八：多项式乘多项式——化简求值 📝方法技巧 先展开、合并同类项化简，再代入数值计算，不直接硬代. 1．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D．6 3．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 题型九：多项式乘多项式与图形面积 📝方法技巧 用多项式表示图形边长，利用 “面积 = 长 × 宽”，结合多项式乘法列式计算；也可以用整体面积 = 各部分面积和，建立等式. 1．如图，一块长为 、宽为 的长方形草坪，中间修建了两条互相垂直且宽度均为的小路（呈十字形，阴影部分），则剩余草坪的面积为（    ） A．    B．   C．    D． 2．如图，书画店为一幅正方形福字书法作品装裱，装裱后形成一个长方形画框．已知装裱后的画框长为米、宽为米，中间待装裱的正方形福字书法作品边长为米，求用于装裱的边框（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 3．为了丰富校园文化，学校决定在教学楼走廊打造一面文化墙．施工时需要使用如图所示的三种规格的瓷砖：类正方形瓷砖（边长为）、类正方形瓷砖（边长为）和类长方形瓷砖（长为，宽为）．已知文化墙被设计成长为、宽为的长方形区域，且墙面恰好由这三种瓷砖无缝拼接而成（瓷砖数量为正整数），则需类长方形瓷砖的块数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，某小区规划在正方形ABCD场地中建一条矩形甬道EFGH及一条平行四边形甬道MNQP，其余部分为草坪，若，，则甬道所占的面积为（    ） A． B． C． D． 题型十：多项式乘法中的规律性问题 📝方法技巧 先算、再观察式子和结果，总结通项，最后用规律求值 / 证明，常考平方差、完全平方、多次连乘找规律、杨辉三角四类. 1．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 2．我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 3．根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 4．“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想． 例：求前个正整数之和的平方 ． 第一步：若小正方形的边长为1个单位长度，则、、、的值可用一个正方形的面积来表示（如图所示）； 第二步：通过观察，上述各式的值还可以用若干个正方形的面积之和来表示； 第三步：根据规律可得到（    ） A． B． C． D． 题型十一：同底数幂的除法运算 📝方法技巧 1. 先统一底数，再算指数，底数不一样不能直接指数相减； 2. 底数带负号、多项式，把整体看成一个底数（整体思想）. 1．计算：（     ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A．a B． C． D． 3．《孙子算经》中记载：“八八六十四，自相乘，得四千九十六．八人分之，人得……”将其大意用算式表示为，其结果为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，之间满足数量关系，若，，则（  ） A．5 B． C． D． 题型十二： 同底数幂除法的逆用 📝方法技巧 1. 目标拆分法：所求指数拆成减法形式； 2. 先幂再除：指数里的倍数优先用幂的乘方转化； 3. 正负留意：指数减法可以是负数，结果会出现负整数指数，记得取倒数 4. 多字母 / 多指数，分开拆解，一步只拆一组，不要一次性拆太复杂 5. 验算技巧：正向推回去，看指数加减是否和原式一致 1．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．若的算术平方根是，则“？”表示的数为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 3．已知（，a，b是正整数），则（    ） A．12 B． C． D． 4．已知 则 的值为（     ） A．250 B．160 C．150 D．133 题型十三：零指数幂 📝方法技巧 1. 先判底数，再算结果； 2. 底数可以是单项式、多项式，整体看待. 1．关于式子，下列说法正确的是（    ） A．结果等于0 B．结果等于1 C．结果等于 D．没有意义 2．的值为（   ） A． B． C． D． 3．如果等式成立，则满足条件x值为（   ） A．3或 B．4或3或 C．4或2或 D．4或 4．若则（    ） A． B． C． D．，或，或且为偶数 题型十四：计算单项式除以单项式 📝方法技巧 1. 拆分三步法（固定顺序） ① 系数 ÷ 系数（注意符号！先定符号，再算数值） ② 同底数幂相除：底数不变，指数相减 ③ 只在被除式有的字母：直接照抄，指数不变 除式里独有的字母，不能保留. 2. 符号技巧：同号得正，异号得负，先判断符号再算数值，避免最后符号出错 3. 多个字母依次处理，一个字母一组，不要混在一起 4. 结果规范：系数写在前，字母按顺序排列，系数为分数时保持最简 1．该等式'被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖掉的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则（     ） A．， B．， C．， D．， 4．已知 ，则整式M=（   ） A． B． C． D． 题型十五：计算多项式除以单项式 📝方法技巧 1. 分项除法（核心：分配进去，一项一项除） 把多项式的每一项，分别除以后面的单项式，再相加；本质是乘法分配律的逆用。 2. 符号先行：每一项自带符号，连同符号一起除，不要漏负号。 3. 每一项除法，按【单项式 ÷ 单项式】规则计算 ◦ 系数相除 ◦ 同底数幂指数相减 ◦ 只在被除式里的字母直接保留 4. 项数不变提醒：原式多项式有几项，分开之后就有几项，不要丢项 5. 最后能合并同类项的，一定要合并化简 6. 检验方法：商 × 单项式 = 原来的多项式（验算） 1．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 2．如图是一道残缺不全的题目，被遮住的式子是（     ） A． B． C． D． 3．学校科技小组对整式运算进行探究活动，甲乙两人各写一个整式，若把甲写的整式当作除式，乙写的整式当作被除式，规定商是，若乙写的整式是，则甲写的整式是（    ） A． B． C． D． 4．定义新运算符号“”：，则（    ） A． B． C． D．1 题型十六：整式四则混合运算 📝方法技巧 1. 顺序口诀：乘方优先，乘除次之，加减最后；括号优先 2. 区分两类运算 ◦ 乘除：用幂的法则、整式乘除规则 ◦ 加减：只有同类项才能合并，不是同类项不能合并 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果是（     ） A． B． C． D．与这个数有关 3．如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知m为非零实数，按如下程序进行计算，则输出的结果（    ） A．随m的变化而变化 B．不变，总是2 C．不变，总是 D．不变，总是4 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $