15.3 等腰三角形（知识清单，知识点5&易错&10题型）数学新教材人教版八年级上册

第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 🔷知识点一　 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 📌 归纳总结 等腰三角形的其他性质： 1．等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． 2．等腰三角形两底角的平分线相等． 3．等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 4．当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 🔷知识点二　 等腰三角形的判定 1．定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2．判定法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 📌 归纳总结 1．“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． 2．“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 🔷知识点三　 等边三角形及其性质 1．定义：三边都相等的三角形是等边三角形．也是特殊的等腰三角形． 2．等边三角形的性质： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； （2）三边都相等； （3）有三条对称轴； （4）同样满足三线合一. 📌 归纳总结 1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； 2．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 🔷知识点四　 等边三角形的判定 1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． 2．三个角都相等的三角形是等边三角形． 3．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 🔷知识点五　 含30°角的直角三角形的性质 定义：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 📌 归纳总结 1．该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． 2．这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． 3．该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． 4．在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 易错点 1 等腰三角形”三线合一”使用条件错误 错例：在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，AD⊥BC，求证AD平分∠BAC. 错解：由”三线合一”直接得证. 错因：使用正确，但需注意前提：必须是底边上的高/中线/顶角平分线.若D不在BC中点或AD不⊥BC，则不能直接用. 规避方法：使用”三线合一”时，明确三要素：①等腰三角形；②针对底边；③三个条件知一推二.缺一不可. 易错点 2 等腰三角形中已知一个角求其他角时未分类讨论 错例：等腰三角形一个角为50°，求其他角. 错解：底角=50°，顶角=80°. 错因：50°可能是顶角，也可能是底角，需分情况讨论. 规避方法：已知一角求等腰三角形其他角时： - 若该角≥90°，必为顶角； - 若该角<90°，分两种情况：①该角为顶角→底角=(180°-该角)÷2；②该角为底角→另一底角=该角，顶角=180°-2×该角. 题型一：等边对等角 📝方法技巧 先找相等边，再直接推出对应角相等，结合三角形内角和、外角性质倒角求值； 1．等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当外角的邻补角为等腰三角形的底角时，底角为，符合三角形内角和定理， 情况2：当外角的邻补角为等腰三角形的顶角时，顶角为，则底角为， 综上，等腰三角形的底角为或． 2．如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，进而可得，再根据三角形外角定理可得的度数． 【详解】解：， ， 由翻折可知，又， ， ， ． 题型二：三线合一 📝方法技巧 1．适用前提：仅限等腰三角形，针对顶角和底边； 2．核心逻辑：顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，知一推二，无需证全等； 3．解题用途：快速得垂直、线段平分、角平分三类隐藏条件，简化证明和计算． 口诀：等腰底边一中线，垂直角分全兑现． 1．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 2．如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，P，D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由等积法可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴． 3．如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， 中，，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最小值. 题型三：根据等角对等边证明等腰三角形 📝方法技巧 1．核心思路：欲证三角形为等腰，优先证三角形内两个内角相等； 2．常用倒角途径：平行线内错角相等、角平分线分角相等、对顶角、三角形外角性质； 1．如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵平分的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 2．如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 是等腰三角形， 理由：由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型四：根据等角对等边证明边相等 📝方法技巧 1．适用场景：直接证明线段相等困难时，优先转化为证角相等； 2．核心规则：同一三角形中，等角对等边，等角对应的侧边一一相等； 3．答题技巧：先倒角证两角相等，再直接写对应边相等，简化全等步骤． 1．如图，在中，已知．求证：． 【答案】 证明： 在中，三角形内角和为，，， ， ， ． 2．如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 3．已知：如图，，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，，平分，求证：． 【答案】 证明：如图，在上取点，使得， 在和中， ， ， ， ，且， ， ， ． 题型五：根据等角对等边求边长 📝方法技巧 1．解题流程：题干/图形找等角判定等腰三角形对应边等量代换； 2．周长计算：利用等边替换，将不规则折线边长转化为已知线段长度； 3．复杂题型：结合多次等角转换，得到多组等边，分步求解边长． 1．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如图，点为右侧一点，连接，若 ，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型六：含30°角的直角三角形 1．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，结合可得，再利用含角的直角三角形性质求解即可． 【详解】解：∵墙与地面垂直， ， ， ， ， ， ． 2．在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】过点作于点，求出，的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的中线，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴的面积为． 3．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 4．如图，某商场楼层之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示地面的水平线．已知，m．那么乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【答案】B 【分析】过作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，则， ，∵， ∴， ∵， ∴，即. 题型七：等腰三角形的性质和判定 📝方法技巧 1．先判定后用性质：先证等腰，再用等边对等角、三线合一解题； 2．常结合模型：角平分线+平行线、折叠对称、三角形外角综合倒角． 1．如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， ， 又， ， ， 点是边上一点， ，选项符合题意． 2．如图，在中，，平分若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，平分，得到是底边上的中线，继而得到的长度． 【详解】解：，平分， 是等腰底边上的中线， ． 3．如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据题意可得，由得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 在以为底边的等腰中， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，牢固掌握其性质是解题的关键，连接，由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，即可求解． 【详解】解：连接 ∵的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交 于点， ∴ ∴， 故选：C. 题型八：等边三角形的性质 📝方法技巧 1．核心性质：三边相等、三角均为60°、三条对称轴、满足三线合一； 2．解题核心：所有边角均相等，可自由等量代换，快速倒角、证边相等； 3．综合应用：等边三角形内角60°是全等证明、角度计算的核心条件． 1．为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】特殊情形：点是等边三边的垂直平分线的交点，据此解答即可． 【详解】解：如图，特殊情形：点是等边三边的垂直平分线的交点， ∴，，， ∵是等边三角形，且， ∴， ∴， ∴． 2．将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 【详解】解：如图，设等边三角形为，过点作， ∵， ∴， ∴，， 在等边三角形中，， ∴， ∴． 3．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用等边三角形三边相等的性质，直接计算周长即可得到结果. 【详解】解：∵等边三角形的三条边长度相等，该等边三角形的边长为， ∴周长为：． 4．如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明，结合，，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 5．三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作，则，，由 是等边三角形得，故． 【详解】解：如图，过点A作，则， ， ， 是等边三角形， ， ． 6．如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出的度数，再利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型九：等边三角形的判定 1．在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到底角相等，再利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵ ∴是等边三角形． 2．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 3．如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，三角形形状的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 先根据平行线的性质得出，，求出，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，根据题意可得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 4．如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形，是特殊三角形，特殊三角形只能是直角三角形，等边三角形，由此判断即可解答． 【详解】解：点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：直角三角形，等边三角形，直角三角形． 故选：． 题型十：最短路径问题 📝方法技巧 1．核心原理：轴对称转化+两点之间线段最短； 2．通用步骤：作定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，线段长度即为最短路径； 3．模型口诀：一线两点作对称，连线最短无争议； 4．角度求解：结合等腰、等边三角形性质，求最短路径对应的夹角． 1．某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是掌握该定理． 利用两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：设服务站的位置为点P，四幢公寓的位置分别为点A，B，C，D，所求为的最小值，可将距离之和分组为，根据“线段上任意一点到两端点的距离之和等于线段长度，线段外任意一点到两端点的距离之和大于线段长度”可知：当点P在线段上时，最小，最小值为；同理，当点P在线段上时，最小，最小值为； 为了使总距离之和最小，点P必须同时在线段和线段上，因为A，B，C，D，在同一直线上依次排列，线段在线段内，所以点P的位置应在线段上，即B和C之间（可包含端点）， 故选：B． 2．如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 3．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 4．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 🔷知识点一　 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成_________）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成_________）． 📌 归纳总结 等腰三角形的其他性质： 1．等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． 2．等腰三角形两底角的平分线相等． 3．等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 4．当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 🔷知识点二　 等腰三角形的判定 1．定义法：有_________的三角形是等腰三角形； 2．判定法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成_________）． 数学语言：____________________________________． 📌 归纳总结 1．“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． 2．“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 🔷知识点三　 等边三角形及其性质 1．定义：_________的三角形是等边三角形．也是特殊的_________三角形． 2．等边三角形的性质： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于_________； （2）三边都相等； （3）有三条_________； （4）同样满足_________. 📌 归纳总结 1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； 2．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 🔷知识点四　 等边三角形的判定 1．定义法：__________________是等边三角形． 2．_________都相等的三角形是等边三角形． 3．__________________的等腰三角形是等边三角形． 🔷知识点五　 含30°角的直角三角形的性质 定义：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么___________________________． 📌 归纳总结 1．该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． 2．这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． 3．该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． 4．在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 易错点 1 等腰三角形”三线合一”使用条件错误 错例：在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，AD⊥BC，求证AD平分∠BAC. 错解：由”三线合一”直接得证. 错因：使用正确，但需注意前提：必须是底边上的高/中线/顶角平分线.若D不在BC中点或AD不⊥BC，则不能直接用. 规避方法：使用”三线合一”时，明确三要素：①等腰三角形；②针对底边；③三个条件知一推二.缺一不可. 易错点 2 等腰三角形中已知一个角求其他角时未分类讨论 错例：等腰三角形一个角为50°，求其他角. 错解：底角=50°，顶角=80°. 错因：50°可能是顶角，也可能是底角，需分情况讨论. 规避方法：已知一角求等腰三角形其他角时： - 若该角≥90°，必为顶角； - 若该角<90°，分两种情况：①该角为顶角→底角=(180°-该角)÷2；②该角为底角→另一底角=该角，顶角=180°-2×该角. 题型一：等边对等角 📝方法技巧 先找相等边，再直接推出对应角相等，结合三角形内角和、外角性质倒角求值； 1．等腰三角形的一个外角为，则它的底角为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二：三线合一 📝方法技巧 1．适用前提：仅限等腰三角形，针对顶角和底边； 2．核心逻辑：顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，知一推二，无需证全等； 3．解题用途：快速得垂直、线段平分、角平分三类隐藏条件，简化证明和计算． 口诀：等腰底边一中线，垂直角分全兑现． 1．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 题型三：根据等角对等边证明等腰三角形 📝方法技巧 1．核心思路：欲证三角形为等腰，优先证三角形内两个内角相等； 2．常用倒角途径：平行线内错角相等、角平分线分角相等、对顶角、三角形外角性质； 1．如图，平分的外角，．求证：是等腰三角形． 2．如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 题型四：根据等角对等边证明边相等 📝方法技巧 1．适用场景：直接证明线段相等困难时，优先转化为证角相等； 2．核心规则：同一三角形中，等角对等边，等角对应的侧边一一相等； 3．答题技巧：先倒角证两角相等，再直接写对应边相等，简化全等步骤． 1．如图，在中，已知．求证：． 2．如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 3．已知：如图，，、相交于点O，求证：． 4．如图，在中，，平分，求证：． 题型五：根据等角对等边求边长 📝方法技巧 1．解题流程：题干/图形找等角判定等腰三角形对应边等量代换； 2．周长计算：利用等边替换，将不规则折线边长转化为已知线段长度； 3．复杂题型：结合多次等角转换，得到多组等边，分步求解边长． 1．如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点为右侧一点，连接，若 ，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 3．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型六：含30°角的直角三角形 1．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 2．在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 3．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 4．如图，某商场楼层之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示地面的水平线．已知，m．那么乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 题型七：等腰三角形的性质和判定 📝方法技巧 1．先判定后用性质：先证等腰，再用等边对等角、三线合一解题； 2．常结合模型：角平分线+平行线、折叠对称、三角形外角综合倒角． 1．如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型八：等边三角形的性质 📝方法技巧 1．核心性质：三边相等、三角均为60°、三条对称轴、满足三线合一； 2．解题核心：所有边角均相等，可自由等量代换，快速倒角、证边相等； 3．综合应用：等边三角形内角60°是全等证明、角度计算的核心条件． 1．为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 题型九：等边三角形的判定 1．在中，，，则的形状是（） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 3．如图，小宣在一张三角形纸片上放置三根互相平行的木棍，其中两根木棍经过三角形的顶点，，测得，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 4．如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 题型十：最短路径问题 📝方法技巧 1．核心原理：轴对称转化+两点之间线段最短； 2．通用步骤：作定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，线段长度即为最短路径； 3．模型口诀：一线两点作对称，连线最短无争议； 4．角度求解：结合等腰、等边三角形性质，求最短路径对应的夹角． 1．某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B．C． D． 3．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（   ） A． B． C． D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $