16.1 幂的运算（知识清单，知识点3&易错&7题型）数学新教材人教版八年级上册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十六章 整式的乘法 16.1幂的运算 知识速记 ◇知识点一 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质： 2.同底数幂的乘法的逆用公式： △特别提醒 1.同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式 2.三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即am··aP=a**P(m,n,P 都是正整数)· 知识点二 幂的乘方 1. 幂的乘方法则： 2.幂的乘方法则逆用公式： 根据 1/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. ?拓展延伸 公式的推广：(a四%”-mp (a≠0，m,n,P均为正整数) ◇知识点三 积的乘方 1.积的乘方法则： 2.积的乘方法则逆用公式： ,逆用公式适当的变形可简 化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便， △特别提醒 积的乘方每个因式分别乘方，勿混淆加减与乘除，勿忽略负号及底数为0情况. ?拓展延伸 公式的推广：(ahc)”=a·”·c为正整数). 易错辨析 易错点1同底数幂乘法与幂的乘方法则混淆 错例：计算aa2和(a错解：aa2=a,(a)=a正解：aa2=a5(同底数幂相乘，指数 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 相加)，(a)=a6(幂的乘方，指数相乘) 错因：混淆了两种运算法则的指数运算规则一一同底数幂相乘是”指数相加”，幂的乘方 是”指数相乘”。 规避方法：区分运算类型一一看到”乘法”（同底数幂相乘）指数相加；看到”乘方”（幂 的乘方)指数相乘。口诀：“乘则加，方则乘”。 易错点2积的乘方漏乘指数 错例：计算(2a)3和（-3x)3错解：(2a)3=2a,(-3x)3=-3xs正解：(2a)3=8a（系数2也要 立方)，(-3x)3=-27x6(系数-3也要立方) 错因：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。学生往往只对字母部 分乘方，遗漏了数字系数的乘方。 规避方法：运用分配思想，将括号内的每一项（包括符号和数字）都加上括号进行乘方。即 (ab)n=ab,切勿漏掉系数。 解题攻略 题型一：同底数幂的乘法的性质 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法技巧 1.前提：底数必须相同，底数不一样不能直接套公式： 2.底数可以是数字、字母、单项式、多项式（整体看成底数）： 3. 单独一个字母，指数是1，不要漏掉：a=a: 4. 符号优先处理：负底数先判断符号，偶数次为正、奇数次为负： 1.计算：a·a=() A.a3 B.q2 C.a5 D.a 2.下列计算正确的是() A.x3.x3=x5 B.x3.x2=x6 C.x3+x3=2x6 D.x5·x=x 3.若m,n是正整数，且满足3m+3m+3”=3”×3”×3”,则下列m和n的关系正确的是() A.m=n B.4m=n C.m+1=3n D.3n-m=0 4.己知xa-3=2,x+4=5,x+1=10,则a,b,c三者之间的数量关系是（) A.a-b=c B.a+b=c C.a-2c=b D.a+2b=c 题型二：同底数幂的乘法性质的逆用 方法技巧 1.看到指数是和的形式，优先拆成乘法； 2.拆分指数灵活组合，贴合已知条件. 1.若am=2,a”=3,则am+n的值为() A.5 B.6 D. 3-2 4110 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知a=6,a+y=36,则a+a'的值为() A.0 B.1 C.12 D.42 3.若3=2,3°=5，则3+b+1的值为() A.30 B.10 C.6 D.38 4.学校体育器材室有甲、乙、丙三个球袋，分别装有篮球19个、19个、7个，管理员先从甲袋中取出2 个篮球放入乙袋，再从乙袋中取出2+2个篮球放入丙袋，最后从丙袋中取出2个篮球放入甲袋，此时 三只袋中篮球的个数相同，则)x+y的值等于() 丙袋 7 2x+2 19 19 甲袋 乙袋 A.32 B.64 C.30 D.26 题型三：幂的乘方的性质 方法技巧 1.幂的乘方：底数不变，指数相乘，区分开同底数幂（指数相加）； 2.多层幂的乘方，连续相乘指数： 3. 底数带负号，括号位置决定底数范围： 4. 底数为多项式时，整体保留括号，不要拆开. 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.计算x4的结果是（） A.x2 B.x5 C.x8 D.x26 之.若a为正整数，则gag=(） a个 A.da B.2a C. D.d 3.下列运算正确的是() A.d+a=a B.d-d=a2 C.d.d=2a D.=as 4.已知a=829,b=1621,c=3217,则a,b,c的大小关系是() A.b>a>c B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 题型四：幂的乘方的性质逆用 国方法技巧 1.指数是乘积形式，可以双向拆分； 2.常用于比较幂大小：统一指数或者统一底数： 3.同一个指数乘积，两种拆分方式按需选用. 1. 已知3”=6，则32的值为() A.9 B.12 C.36 D.72 2.若a=2,a'=3,则a+2y的值是() A.5 B.8 c.11 D.18 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.若2×2=4"，则m的值为() A.8 B.6 C.5 D.4 4.已知2m+3n=4,则2×4m×8的值为() A.16 B.24 C.32 D.8 题型五：积的乘方的性质 圆方法技巧 1.积里面每一个因式都要乘方，不要漏项： 2.因式包含负号，负号单独算： 3.区分：只有是乘积形式才能用积的乘方，加减形式不能拆开； 4. 系数、常数、字母分开分别乘方，最后相乘. 1.-2a2的计算结果是（） A.-4a2 B.4a4 C.-2a D.-6a6 2.计算：-0.-a的结果是（） A.a B.-a2 C.-a9 D.g12 3.下列各式中，计算结果等于9a的是() A.(3a32 B.(4a23 c.(6a3 D.-(3a26 4.若-a2=-ao,则n的值为(） 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-10 B.-5 c.5 D.10 题型六：积的乘方的性质逆用 方法技巧 1.指数相同，底数相乘，指数不变： 2.指数不一样时，先逆用幂的乘方，化成同指数，再用积的乘方逆用； 3. 看到一对底数相乘为1、10、-1这类特殊数，优先考虑这个逆公式. 1.式子号x-3的结果是) A.-1 B.1 C.-3 D.3 2.计算： 112 54 ×0.811=() A.1 B.5 C.0.8 4 3.已知a-3+13b-1=0则g27,b22的值为（） A.8 B.6 C.5 D.3 4.已知数N=22×59,则数N的位数是() A.10 B.11 C.12 D.13 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型七：幂的混合运算 方法技巧 1.优先级口诀：先乘方、后乘除，有括号先括号： 2.符号全程盯紧，建议第一步先定符号，再算数值和字母： 3.做完后检查两点：①底数是否统一；②指数是加还是乘有没有搞混： 4.化简结果要求：指数为正整数，不要保留多层括号： 1.计算-a2-a2的结果是（） A.g8 B.-a8 C.a D.-a 2.下面是小颖同学和小芳同学计算（心）3的过程： 解：小颖：(a㎡)3=.(2)3.① =df.② =d.③ 小芳：(a2)3=(d)3.① =..② 则她们步骤依据的运算性质依次分别是() A.积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，幂的乘方 B.幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的乘法 C.同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，幂的乘方，积的乘方 D.幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，幂的乘方 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.若3×92a+1÷27+1=81,则a的值() A.5 B.6 c.9 D.3 4.已知a,b,c为自然数，且满足2°×3°×6=288，则a+b+c可取的值有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10/10 第十六章 整式的乘法 16.1 幂的运算 🔷知识点一　 同底数幂的乘法 1．同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数)．即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2．同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数．即（都是正整数）． ⚠️特别提醒 1. 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式． 2. 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 知识点二　  幂的乘方 1．幂的乘方法则： (其中都是正整数)．即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 2．幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题． 💡 拓展延伸 公式的推广： (，均为正整数) 🔷知识点三　 积的乘方 1．积的乘方法则：(其中是正整数)．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 2．积的乘方法则逆用公式：，逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便． ⚠️特别提醒 积的乘方每个因式分别乘方．勿混淆加减与乘除，勿忽略负号及底数为0情况． 💡 拓展延伸 公式的推广： (为正整数)． 易错点 1 同底数幂乘法与幂的乘方法则混淆 错例：计算 a³·a² 和 (a³)² 错解：a³·a² = a⁶，(a³)² = a⁵ 正解：a³·a² = a⁵（同底数幂相乘，指数相加），(a³)² = a⁶（幂的乘方，指数相乘） 错因：混淆了两种运算法则的指数运算规则——同底数幂相乘是”指数相加”，幂的乘方是”指数相乘”。 规避方法：区分运算类型——看到”乘法”（同底数幂相乘）指数相加；看到”乘方”（幂的乘方）指数相乘。口诀：“乘则加，方则乘”。 易错点 2 积的乘方漏乘指数 错例：计算 (2a)³ 和 (-3x²)³ 错解：(2a)³ = 2a³，(-3x²)³ = -3x⁶ 正解：(2a)³ = 8a³（系数2也要立方），(-3x²)³ = -27x⁶（系数-3也要立方） 错因：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。学生往往只对字母部分乘方，遗漏了数字系数的乘方。 规避方法：运用分配思想，将括号内的每一项（包括符号和数字）都加上括号进行乘方。即 (ab)ⁿ = aⁿbⁿ，切勿漏掉系数。 题型一：同底数幂的乘法的性质 📝方法技巧 1. 前提：底数必须相同，底数不一样不能直接套公式； 2. 底数可以是数字、字母、单项式、多项式（整体看成底数）； 3. 单独一个字母，指数是 1，不要漏掉：a=a1； 4. 符号优先处理：负底数先判断符号，偶数次为正、奇数次为负； 1．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和合并同类项法则，进行解答，即可． 【详解】解：A选项： ， 选项计算正确； B选项：，选项计算错误； C选项： ，选项计算错误； D选项：，选项计算错误． 3．若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用合并同类项和同底数幂的乘法法则化简等式，再根据同底数幂相等则指数相等推导与的关系． 【详解】解：∵， ， ∵等式左右两边同底数幂相等， ∴对应指数相等， ∴． 4．已知，，，则a，b，c三者之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知幂的值的关系，推导出指数间的关系，即可得到a，b，c的数量关系． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 整理得， 又∵ ， ∴指数相等，即， 化简得 ． 题型二：同底数幂的乘法性质的逆用 📝方法技巧 1. 看到指数是和的形式，优先拆成乘法; 2. 拆分指数灵活组合，贴合已知条件. 1．若则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，解决本题的关键是能逆用同底数幂相乘的法则．本题 由逆用即可． 【详解】解：，故选． 2．已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 【答案】C 【分析】逆用同底数幂乘法法则求出的值，再计算的结果． 【详解】解：∵， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 3．若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键． 需利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将待求式转化为已知幂的乘积形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故选A． 4．学校体育器材室有甲、乙、丙三个球袋，分别装有篮球19个、19个、7个，管理员先从甲袋中取出个篮球放入乙袋，再从乙袋中取出个篮球放入丙袋，最后从丙袋中取出个篮球放入甲袋，此时三只袋中篮球的个数相同，则的值等于（     ） A．32 B．64 C．30 D．26 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出三只袋中篮球的个数，由题意列式进行变形，计算出，的值即可． 【详解】解：取完后甲袋中篮球的数量为， 乙袋中篮球的数量为 丙袋中篮球的数量为 由题意知 ， ， ， ． 题型三：幂的乘方的性质 📝方法技巧 1.幂的乘方：底数不变，指数相乘，区分开同底数幂（指数相加）； 2. 多层幂的乘方，连续相乘指数； 3. 底数带负号，括号位置决定底数范围； 4. 底数为多项式时，整体保留括号，不要拆开. 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．若为正整数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 原式． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴选项A错误； ∵与不是同类项，不能合并，∴选项B错误； ∵根据同底数幂乘法法则，，∴选项C错误； ∵根据幂的乘方法则，，∴选项D正确． 4．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，都转化为底数相同的幂，再通过比较指数大小判断原数的大小． 【详解】，，， ， ，即． 题型四：幂的乘方的性质逆用 📝方法技巧 1. 指数是乘积形式，可以双向拆分； 2. 常用于比较幂大小：统一指数 或者 统一底数； 3. 同一个指数乘积，两种拆分方式按需选用. 1．已知，则的值为（  ） A．9 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 2．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂乘法和幂的乘方的运算法则，只需将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 3．若，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】将等式两边化为底数为的幂，根据指数相等求解． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 4．已知，则的值为（     ） A．16 B．24 C．32 D．8 【答案】C 【分析】将待求式中的、化为以2为底的幂，使指数出现，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式． 题型五：积的乘方的性质 📝方法技巧 1. 积里面每一个因式都要乘方，不要漏项； 2. 因式包含负号，负号单独算； 3. 区分：只有是乘积形式才能用积的乘方，加减形式不能拆开； 4. 系数、常数、字母分开分别乘方，最后相乘. 1．的计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据积的乘方运算法则，将展开，可得， 根据乘方的定义，， 根据幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，可得， 将，代入， 可得． 2．计算：的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ． 3．下列各式中，计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据运算法则计算各选项结果，即可选出正确答案，用到的运算法则为：积的乘方等于将每个因式分别乘方，再将所得幂相乘；幂的乘方底数不变，指数相乘． 【详解】解：依次计算各选项： 对选项A：，符合要求； 对选项B：，不符合要求； 对选项C：，不符合要求； 对选项D：，不符合要求． 4．若，则n的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据结果的符号判断的奇偶性，再根据指数相等计算的值即可． 【详解】解∶∵， ∴为奇数，且， ∴． 题型六：积的乘方的性质逆用 📝方法技巧 1. 指数相同，底数相乘，指数不变； 2. 指数不一样时，先逆用幂的乘方，化成同指数，再用积的乘方逆用； 3. 看到一对底数相乘为 1、10、-1 这类特殊数，优先考虑这个逆公式. 1．式子的结果是（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】解： ． 2．计算：（   ） A．1 B． C．0.8 D． 【答案】B 【详解】解：． 3．已知，则的值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再结合积的乘方的逆运算化简所求式子，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，． ∴， 代入，，可得， ∴原式． 4．已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】将原式转化为含的幂的形式，便于判断位数． 【详解】解：． ∵是1后面带9个0的正整数，共10位． ∴的位数为10． 题型七：幂的混合运算 📝方法技巧 1.优先级口诀：先乘方、后乘除，有括号先括号； 2.符号全程盯紧，建议第一步先定符号，再算数值和字母； 3.做完后检查两点：①底数是否统一；②指数是加还是乘有没有搞混； 4.化简结果要求：指数为正整数，不要保留多层括号； 1．计算的结果是（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】B 【分析】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：-a2•（a2）3=-a2•a6=-a8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 2．下面是小颖同学和小芳同学计算（a•a2）3的过程： 解：小颖：（a•a2）3＝a3•（a2）3…① ＝a3•a6…② ＝a9…③ 小芳：（a•a2）3＝（a3）3…① ＝a9…② 则她们步骤依据的运算性质依次分别是（　　） A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，幂的乘方 B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的乘法 C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，幂的乘方，积的乘方 D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，幂的乘方 【答案】A 【分析】根据幂得运算法则进行扽西判断即可． 【详解】由幂的运算法则，有： 小颖：①为积的乘方，②为幂的乘方，③为同底数幂的乘法， 小芳：①为同底数幂的乘法，②为幂的乘方． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则是关键． 3．若，则的值（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将原式所有幂统一转化为以3为底的幂，再用幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简，根据同底数幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ 原式可变形为：， 根据幂的乘方法则 化简得： ， 根据同底数幂的乘除法则计算左侧指数： ， ， ∵ 底数相同的幂相等，底数不为1，则指数相等， ∴ ，解得 ． 4．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $