14.3 角的平分线（知识清单，知识点4&易错&6题型）数学新教材人教版八年级上册

第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 🔷知识点一　角平分线的定义 1．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个_________的射线，叫做这个角的平分线． 2．几何语言：若射线OC平分∠AOB，则__________________． 3．补充：一个角有且只有一条角平分线． ⚠️特别提醒 1．角的平分线是射线；三角形的角平分线是线段，二者概念不同，不能混用表述． 2．把一个角分成两个相等的角的射线是角平分线． 🔷知识点二　尺规作已知角的平分线 1．作图工具：无刻度直尺、圆规（禁止使用量角器） 2．已知、求作 已知：∠AOB，求作：射线OC，使OC平分∠AOB. 3．作图步骤 （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，_________的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C； （3）过点O、C作射线OC． 结论：_________即为所求作的角平分线． 4．作图原理 连接DC、EC，由作图可知___________________________, 根据_________可证△ODC≌△OEC，因此∠DOC＝∠EOC． 5．作图要求 全程保留作图痕迹；第二步两弧半径必须大于DE，否则两弧无法相交． ⚠️特别提醒 1．第一步半径长短适中，保证弧与角的两边有清晰交点即可． 2．第二步两弧半径必须大于DE，且两次画弧圆规半径保持一致，两弧交点必须落在角内部． 3．全程保留所有圆弧、交点等作图痕迹，不可擦除． 4．最后必须规范书写作图结论． 🔷知识点三　角平分线的性质定理 1． 定理内容：______________________________________________________． 2．关键：距离指点到直线的垂线段长度． 3．几何语言：∵_____________________________________________,∴_________. 4．使用场景：已知角平分线 ＋ 垂直，直接证明两条垂线段相等，无需再证全等． ⚠️特别提醒 1． 这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； 2． 该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； 3． 使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； 4． 运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 🔷知识点四　角平分线的判定定理（性质逆定理） 1．定理内容：_______________________________________________________________. 2．几何语言： ∵______________________________________________________, ∴___________________________. 3．使用场景：已知垂线段相等＋垂直，证明射线是角平分线． ⚠️特别提醒 角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 易错点 1 角平分线性质定理与逆定理条件混淆 错例：已知点P到∠AOB两边的距离相等，求证P在∠AOB的平分线上. 错解：因为P到两边距离相等，所以P在角平分线上.（未说明垂直条件） 错因：角平分线的判定定理（逆定理）要求”点到角两边的垂线段长度相等”，缺少”垂直”这一关键前提. 规避方法：使用逆定理时，必须明确写出”过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，且PE=PF”，才能得出P在角平分线上. 易错点 2 利用角平分线性质证明线段相等时，未作垂线段 错例：已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，求证PA=PB（A、B分别在OA、OB上）. 错解：由角平分线性质直接得PA=PB. 错因：角平分线性质指的是”点到角两边的垂线段相等”，PA、PB若非垂线段，则不能直接使用该性质. 规避方法：遇到角平分线+证线段相等，优先考虑从角平分线上一点向两边作垂线，再利用性质定理. 题型一：尺规作角平分线 📝方法技巧 牢记四步作图法，圆规半径规范，保留全部作图痕迹，最后写结论． 1．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ） A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1 2．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3．如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接交于.若，则的长为（ ） A． B．2 C．3 D．4 题型二：运用角平分线性质求值 📝方法技巧 角平分线＋双垂直⟹ 垂线段直接相等，省略全等步骤． 1．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 2．如图,在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上,则(　　) A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.l1与l2一定相等 D.l1与l2一定不相等 3．点在的平分线上，点到边的距离等于6，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．如图，已知AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，则点A，B在运动的过程中，∠AEB的度数为(　　) A．120° B．135° C．100° D．无法确定 题型三：运用角平分线判定证明角平分线 📝方法技巧 先证两条垂线段相等，结合垂直条件，判定射线为角平分线 1．如图，一把直尺压住射线 ，另一把完全一样的直尺压住射线 并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线 就是 的平分线．”他这样做的依据是（      ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 2．已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ）. A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 题型四：角平分线的性质实际应用 1．王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 2．为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于.若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 题型五：角平分线＋辅助线（作垂线）综合题 📝方法技巧 见角平分线，立刻向角两边作垂线，构造相等线段，再结合全等解题． 1．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是20，，，则的面积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 题型六：角平分线与全等三角形综合 📝方法技巧 角平分线提供一组等角，结合公共边、垂直条件，用 AAS/ASA 证明三角形全等 1．如图，，，垂足分别为点，，，相交于点，，连接.若 ，则（ ） A. B. C. D. 2．如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 4．如图，点是内的一点，于点，于点，连接，．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C．垂直平分 D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 🔷知识点一　角平分线的定义 1．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线． 2．几何语言：若射线OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB． 3．补充：一个角有且只有一条角平分线． ⚠️特别提醒 1．角的平分线是射线；三角形的角平分线是线段，二者概念不同，不能混用表述． 2．把一个角分成两个相等的角的射线是角平分线． 🔷知识点二　尺规作已知角的平分线 1．作图工具：无刻度直尺、圆规（禁止使用量角器） 2．已知、求作 已知：∠AOB，求作：射线OC，使OC平分∠AOB. 3．作图步骤 （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C； （3）过点O、C作射线OC． 结论：射线OC即为所求作的角平分线． 4．作图原理 连接DC、EC，由作图可知OD＝OE，DC＝EC，OC＝OC， 根据SSS可证△ODC≌△OEC，因此∠DOC＝∠EOC． 5．作图要求 全程保留作图痕迹；第二步两弧半径必须大于DE，否则两弧无法相交． ⚠️特别提醒 1．第一步半径长短适中，保证弧与角的两边有清晰交点即可． 2．第二步两弧半径必须大于DE，且两次画弧圆规半径保持一致，两弧交点必须落在角内部． 3．全程保留所有圆弧、交点等作图痕迹，不可擦除． 4．最后必须规范书写作图结论． 🔷知识点三　角平分线的性质定理 1． 定理内容：角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等． 2．关键：距离指点到直线的垂线段长度． 3．几何语言：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E， ∴PD＝PE. 4．使用场景：已知角平分线 ＋ 垂直，直接证明两条垂线段相等，无需再证全等． ⚠️特别提醒 1． 这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； 2． 该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； 3． 使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； 4． 运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 🔷知识点四　角平分线的判定定理（性质逆定理） 1．定理内容：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 2．几何语言： ∵点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE， ∴点P在∠AOB的平分线上． 3．使用场景：已知垂线段相等＋垂直，证明射线是角平分线． ⚠️特别提醒 角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 易错点 1 角平分线性质定理与逆定理条件混淆 错例：已知点P到∠AOB两边的距离相等，求证P在∠AOB的平分线上. 错解：因为P到两边距离相等，所以P在角平分线上.（未说明垂直条件） 错因：角平分线的判定定理（逆定理）要求”点到角两边的垂线段长度相等”，缺少”垂直”这一关键前提. 规避方法：使用逆定理时，必须明确写出”过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，且PE=PF”，才能得出P在角平分线上. 易错点 2 利用角平分线性质证明线段相等时，未作垂线段 错例：已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，求证PA=PB（A、B分别在OA、OB上）. 错解：由角平分线性质直接得PA=PB. 错因：角平分线性质指的是”点到角两边的垂线段相等”，PA、PB若非垂线段，则不能直接使用该性质. 规避方法：遇到角平分线+证线段相等，优先考虑从角平分线上一点向两边作垂线，再利用性质定理. 题型一：尺规作角平分线 📝方法技巧 牢记四步作图法，圆规半径规范，保留全部作图痕迹，最后写结论． 1．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ） A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1 【答案】B 【详解】解：根据作图方法得点P在第二象限角平分线上，∴P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0， ∴2a+b=﹣1．故选B． 2．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】题中第一个图为用尺规作角平分线的方法,OP为∠AOB的平分线.第二个图,由作图可知,OC=OD,OA=OB,∴AC=BD.∵∠AOD=∠BOC,∴△AOD≌△BOC,∴∠OAD=∠OBC. ∵AC=BD,∠BPD=∠APC,∴△BPD≌△APC,∴AP=BP.又∵OA=OB,OP=OP,∴△AOP≌△BOP,∴∠AOP=∠BOP,∴OP为∠AOB的平分线.第三个图,由作图可知∠ACP=∠AOB,OC=CP,∴CP∥BO,∠COP=∠CPO, ∴∠CPO=∠BOP,∴∠COP=∠BOP,∴OP为∠AOB的平分线.第四个图,由作图可知OP⊥CD,OC=OD,∴OP为∠AOB的平分线.故选D. 3．如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接交于.若，则的长为（ ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 如图，过点作于，交的延长线于，连接．首先推出，进而利用角度关系得出，即可解决问题． 【详解】如图，过点作于，交的延长线于，连接． 由作图可知平分,所以. 因为，，所以，所以，. 因为，，所以， 所以，所以，所以. 因为，，所以. 因为，所以，所以，所以，所以.故选. 题型二：运用角平分线性质求值 📝方法技巧 角平分线＋双垂直⟹ 垂线段直接相等，省略全等步骤． 1．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵，∴，∵，∴是的角平分线，∴D点到和的距离相等，∵表示D点到的距离，，∴D到的距离为3．故选A． 2．如图,在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上,则(　　) A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.l1与l2一定相等 D.l1与l2一定不相等 【答案】A 【详解】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知,当点P在∠AOB的平分线上时,d1与d2一定相等,故选A. 3．点在的平分线上，点到边的距离等于6，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】如图,平分，,，过点作于，则 点是边上的任意一点，.故选. 4．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．如图，已知AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，则点A，B在运动的过程中，∠AEB的度数为(　　) A．120° B．135° C．100° D．无法确定 【答案】B 【分析】根据MN⊥PQ，得出∠BAO＋∠ABO＝90°，再根据AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线得出∠BAE＋∠ABE＝45°，进而得出∠AEB＝135°. 【解析】由题意得，MN⊥PQ，所以∠AOB＝90°，所以∠BAO＋∠ABO＝180°－∠AOB＝180°－90°＝90°.又因为AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，所以∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，所以∠BAE＋∠ABE＝∠BAO＋∠ABO＝(∠BAO＋∠ABO)＝×90°＝45°，所以∠AEB＝180°－(∠BAE＋∠ABE)＝180°－45°＝135°.故选B． 题型三：运用角平分线判定证明角平分线 📝方法技巧 先证两条垂线段相等，结合垂直条件，判定射线为角平分线 1．如图，一把直尺压住射线 ，另一把完全一样的直尺压住射线 并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线 就是 的平分线．”他这样做的依据是（      ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得 平分 ． 【详解】解：如图所示,过点 作 ， ， 两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ， 平分 （角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选B． 2．已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ）.    A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 【答案】A 【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】如图， ∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF， ∴M在∠BAC的角平分线上， 故选A． 题型四：角平分线的性质实际应用 1．王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：∵充电点到三条路的距离相等， ∴充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选A． 2．为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于.若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【详解】如图，分别作，，，的平分线.和的平分线的交点到，，的距离相等， 这两个角的平分线的交点满足条件；和的平分线的交点到，，的距离相等， 这两个角的平分线的交点满足条件， 满足条件的点有2个.故选. 题型五：角平分线＋辅助线（作垂线）综合题 📝方法技巧 见角平分线，立刻向角两边作垂线，构造相等线段，再结合全等解题． 1．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是20，，，则的面积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到的距离，然后再根据三角形中线的性质即可得出结论． 【详解】解：过点作，，垂足分别为， 是角平分线， ，设，， ∴， ， 解得，， ， 是的中线， ．故选B. 2．如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作于，于，于，由角平分线的性质可得，即可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，于， ∵为的角平分线， ∴，， ∴， ∴．故选B. 3．如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】先过点作，利用三角形面积公式求出的长度，再依据角平分线的性质得到到的最短距离，结合垂线段最短确定的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：过点作于， ∵，，∴，∴，∴，∴， ∵平分，，∴点到的垂线段长度等于，∵垂线段最短，∴， ∴的长可能为、、，的长不可能为．故选D. 题型六：角平分线与全等三角形综合 📝方法技巧 角平分线提供一组等角，结合公共边、垂直条件，用 AAS/ASA 证明三角形全等 1．如图，，，垂足分别为点，，，相交于点，，连接.若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为，，所以 .在和中，所以（角角边），所以.又因为，，点在的内部，所以平分，所以.因为 ， ，所以 ，所以 ，故选. 2．如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过作于，在线段上取一点，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点分别为上一个动点，得到当在上，与重合时，最小． 【详解】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小．故选C． 3．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，由角平分线的性质得，，证明得，而，则，证明得，再分两种情况讨论，一是点在线段上，则，二是点在线段的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为上一点，点是线段上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图1，点在线段上， 此时； 如图2，点在线段的延长线上， ， 此时， 综上所述，的长度为或．故选D． 4．如图，点是内的一点，于点，于点，连接，．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】根据角平线的判定定理可判断A，证明，可判断B，根据，可得OC=OD，进而可判断C，根据等边三角形的定义，可判断D． 【详解】解：∵点是内的一点，于点，于点，， ∴OP是∠AOB的平分线，即，故A成立，不符合题意； ∵OP=OP，， ∴（HL）， ∴，故B成立，不符合题意； ∵， ∴OC=OD， 又∵， ∴垂直平分，故C成立，不符合题意； ∵不一定是等边三角形， ∴不一定成立，故D符合题意． 故选D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $