15.2 画轴对称的图形-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

15.2i 画轴对称的图形 课前·预习笔记 入 预 1.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形. 习 ·2.理解平面直角坐标系中图形轴对称变换后点的坐标变化特点，能够在平面直角坐标 目 系中画出一个关于坐标轴对称的图形，用轴对称进行简单的图案设计.重点© 标 3.通过画轴对称的图形，体会轴对称在现实生活中的应用 第步明确考情 11.考频：5年3考 2.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第步梳理知识 1,画轴对称的图形：几何图形都可以看作由点组成。对于一些规则的几何图形，与 画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点)的对称 点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形 2.关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1)点(x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),其特点是横坐标相 同，纵坐标互为相反数； 预 (2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-，y),其特点是纵坐标相 同，横坐标互为相反数 习3.在平面直角坐标系中画轴对称的图形的步骤 任 (1)计算：计算对称点的坐标； 务 (2)描点：根据对称点的坐标描点； (3)连接：依次连接所描各点，即可得到要画的图形 第追步预习检测 1.点M(3,-3)关于y轴对称的点的坐标为（) A.(3,-3) B.（3,3) C.(-3,3) D.（-3,-3) !2.点A1（5,-7)关于x轴对称的点A2的坐标为（) A.(-5,-7) B.(-7,-5) C.(5,7) D.(7,-5) 3.如图，画出△ABC关于直线MN对称的图形.（不写作法，保留作图痕迹） M 94 随堂笔记8年级数学RJ上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1》画轴对称的图形 举一反三》>参考答案见答案册P12 1.方法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何1-1如图，画出图1、图2、图 图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊3中线段AB关于直线1对称的 点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到图形. 与原图形成轴对称的图形. A A 2.步骤：画轴对称的图形的步骤可简单概括为“一找、二画、 B 三连”。 除线段的端点外，线与线的交点也是特殊点 图1 图2 (1)找：在原图形上找特殊点； A (2)画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 一定要按照原图形的 (3)连：依次连接各对称点，”连接顺序依次连接 图3 一温馨提示：(1)我特殊点对画轴对称的图形很重要，我点的时候，要 1-2如图，画出△ABC关于直 把确定图形形状的特殊点我全；(2)对称轴上任意一点的对称点是它 线1对称的图形. 本身. 例1[教材P72例题]如图1，已知△ABC和直线1，画出与 △ABC关于直线1对称的图形. +A,B,C三点为特殊点 B 图1 图2 【分析】△ABC由三个顶点的位置确定，只要分别画出这三个 顶点关于直线的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的 图形. 【答案】解：如图2 (1)过点A画直线1的垂线，垂足为O,在垂线上截取OA'= OA,A'就是点A关于直线I的对称点； (2)同理，分别画出点B,C关于直线I的对称点B',C'; ! (3)连接A'B',B'C',CA',则△A'B'C即为所求. 知识点2》关于坐标轴对称的点的坐标 举一反三●》参考答案见答案册P12 关于坐标轴对称的点的坐标规律 2-1在平面直角坐标系中，将 (1)点(x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),其特点点A(3,4)向下平移2个单 是横坐标相同，纵坐标互为相反数；，简记为“横同纵反”位长度所得的点A'恰好与点B 第十五章轴对称 95 (2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),其特点关于x轴对称，点B的坐标 是纵坐标相同，横坐标互为相反数。，简记为“纵同横反 是() 注意事项：关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对值 A.(3,-2) B.(3,-1) 相同. C.(3,-4) 例2若点A(-4,m-2),B(n,1)关于y轴对称，则m+n D.(3,-6) 的值为（) 、·纵同横反 2-2如果点P(2,b)和点 A.8 B.-1 C.1 D.7 Q(a,-3)关于x轴对称，则 a,b的值分别是() 【解析】：点A(-4,m-2),B(n,1)关于y轴对称， A.-2,-3B.2,-3 ∴.n=-(-4),m-2=1, C.2,3 D.-2,3 解得n=4,m=3,∴.m+n=3+4=7. 【答案】D 知识点3>在平面直角坐标系中画▣轴对称的图形 举一反三》参考答案见答案册P12 在平面直角坐标系中画轴对称的图形的步骤 3-1如图，在平面直角坐标系 (1)计算：计算对称点的坐标； 三宇口诀：算、描、连 中，点A的坐标为（-2,3)，点B (2)描点：根据对称点的坐标描点； 的坐标为(-3,1)，点C的坐 (3)连接：依次连接所描各点，即可得到要画的图形 标为（1，-2) 例3[教材PT4例题]如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别 (1)作出△ABC关于y轴对称 为A(-5,1),B（-2,1),C（-2,5),D(-5,4),画出与 的△A'B'C';(其中A',B',C 分别是A,B,C的对称点，不 四边形ABCD关于y轴对称的图形 写作法) 【答案】解：点（x,y)关于y轴对称的点的坐标为（-x, (2)直接写出点A',B',C的 y),因此四边形ABCD的顶点A,B,C,D关于y轴对称的点 分别为A'(5,1),B'(2,1),C(2,5),D'(5,4),依 坐标 次连接A'B',B'C',C'D',D'A',就可得到与四边形ABCD关 于y轴对称的四边形A'B'C'D'. 5 4-3-210八1：23：4：5 -5-4-3-2-11012345x -3 -4 -5 96随堂笔记8年级数学RJ上册 课本练习◆[教材3练习] 1.如图，把各图形补成关于直线1对称的图形 答案 1.如图所示. 水得★ 2.用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高及其对角的 2.提示：可按要求实际操作得 平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合 出答案.对于不同的三角形会 [教材P75练习] 有不同的结果 1.分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标： (答案 (-2,6),(1,-2),(1,3),(-4,-2),(1,0) 1.各点关于x轴对称的点的 2.如图，△AB0关于x轴对称，点A的坐标为(1，-2)，写出 坐标分别为(-2，-6)， 点B的坐标 (1,2),(1,-3),（-4,2), (1,0);各点关于y轴对称的 2 C(-3,2) 2 A(-4,1) 点的坐标分别为（2,6)， 1 -2-10 123 -4-3-210 (-1,-2),(-1,3),(4,-2), 1234x B(-1,-1)-1 (-1,0). A(1,-2) -2 -3 -3 2.B(1,2) (第2题) 3.图略. (第3题) 3.如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点， 分别画出与 △ABC关于x轴和y轴对称的图形 课后·提升笔记 题型训练 题型●》与对称有关的规律探究问题 >变式训练》参考答案见答案册P12 例已知点E(xo,y),F(x2,y2),点M(x1,y1)是线段1-1已知点A,（-1,3),记 2,方=t EF的中点，则=， A,关于直线m（直线m上各点 2 .在平面直角坐标系中， 的横坐标都为0)的对称点为 A(1,-1),B(-1,-1),C(0,1),点P(0,2)关于点AA1,A1关于直线n(直线n上 的对称点为P1（即P,A,P1三点共线，且PA=PA),点P关 各点的纵坐标都为1)的对称 于点B的对称点为P2,点P2关于点C的对称点为P3,按此规 点为A2,A2关于直线P(直线 律继续以点A,B,C为对称点重复前面的操作，依次得到点 第十五章轴对称 97 P4,P5,P6,则点P22s的坐标是 P上各点的横坐标都为-2)的 0+x 2 =1, 对称点为A3,A,关于直线9 【解析】设点P,的坐标为（x,y),根据题意，得 (直线q上各点的纵坐标都为 2+y -1, 3)的对称点为A4,A4关于直 2 线m的对称点为A,A;关于 解得=2，则点户的坐标为(2，-4。 =-4, 直线n的对称点为A。…依此 同理可得，P2(-4,2),P3(4,0),P4（-2,-2), 规律，A22s的坐标是（) P5(0,0),P6(0,2) A.(2021,-2021) 观察各点坐标可知，每6个点的坐标循环一次.2025+1 B.(-2025,-2021) 6 C.(-2021,-2017) 337…4,∴.点P2s的坐标与点P3的坐标相同，点P225的 D.(2025,2027) 坐标是（4,0). 【答案】(4,0) 链接中考 考点1关于坐标轴对称的点的坐标特征 x轴对称的△AB1C1,再把△AB1C1平移，得 题型 难度 分值 到△A2B2C2·若B2（2,1),则点A2的坐标 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 为() 典例1[湘西州中考]在平面直角坐标系 中，已知点P(a,1)与点Q(2,b)关于x 轴对称，则a+b= 45元 【解析】：点P(a,1)与点Q（2,b)关于 x轴对称，.点P（a,1)与点Q（2,b)的 横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴.a=2,1+ A.(1,5) B.(1,3) b=0,解得b=-1,∴.a+b=1. C.(5,3) D.(5,5) 【答案】1 【解析】点A,B,C关于x轴对称的点的坐标 考点2◆轴对称变换 分别为点A1(-2,-1),B1（-1,-3), 题型 难度 分值 C1(-4,-4).点B2的坐标为（2,1)， 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 .平移规律为向右平移3个单位长度，向上平 典例②[聊城中考]如图，在平面直角坐标系 移4个单位长度，∴.-2+3=1，-1+4=3，.点 中，△ABC各点坐标分别为A(-2,1), A2的坐标为（1,3). B(-1,3),C(-4,4).先作△ABC关于 【答案】B 98随堂笔记8年级数学RJ上册∴.AE=BE,∠AED=∠BED=90°. 又DE=DE, ·.△ADE≌△BDE(SAS). 5-1B【解析】由尺规作图画垂线的步骤可 得，正确的排序：④任意取一点K,使点K和点 C在直线AB的两侧；①以点C为圆心，CK长为 半径作弧，交AB于点D和点E;③分别以点D 和点E为圆心，大于2DE的长为半径作弧，两 弧相交于点F;②作直线CF.故正确的排序是 ④①③②. 6-1解：，AB=AC, .点A在边BC的垂直平分线上 ·.边BC的垂直平分线即为△ABC的对称轴： 作法：分别以点B,C为圆心，大于BC的长为 半径作弧，两弧交于点D,连接AD,则AD所在 的直线即为△ABC的对称轴； 再以点A为圆心，AE为半径作弧，交AC于点 E,则点E'与点E关于直线AD对称. 如图，直线AD为等腰三角形ABC的对称轴，点 E是点E关于直线AD的对称点， 米D 6-2解：如图所示， 米D 直线CD即为所求， 变式训练 1-1（1)证明：.BC垂直平分AD, .AC=CD,∠CAD=∠CDA. AF平分∠BAC, .∴.∠CAD=∠BAD, .∠CDA=∠BAD, ∴.AB∥CD. (2)结论：∠F=∠MCD. 理由：，∠DAC=∠CDA,∠DAC=∠MPC, ∴.∠CDA=∠MPC. 又∠CDA+∠CDM=180°，∠MPC+∠MPF=180°， ∴.∠CDM=∠MPF. 又AF平分∠BAC,AE⊥BC,AE=AE, ∴.△ACE≌△ABE(ASA), ∴.AC=AB. 又AF平分∠BAC,AM=AM, .△ACM≌△ABM(SAS), ∴.∠AMC=∠AMB. 又∠AMB=∠PMF, .∴.∠AMC=∠PMF. 又∠AMC+∠MCD+∠CDM=180°，∠PMF+ ∠MPF+∠F=180°， ∴.∠F=∠MCD. 1-2证明：(1)如图，连接DB,DC. D ,AD平分∠BAC,DF⊥AB,DE⊥AC, .DF=DE,∠DFB=∠DEC=90°. .DG⊥BC且平分BC, .DB=DC. 在Rt△DFB和Rt△DEC中， (DB=DC, DF=DE, .Rt△DFB≌Rt△DEC(HL), ∴.BF=CE. (2),DF⊥AB,DE⊥AC, .∠DFA=∠DEA=90°. AD平分∠BAC, ∴.∠DAF=∠DAE. 在△DAF和△DAE中， I∠DFA=∠DEA, ∠DAF=∠DAE, AD=AD. ∴.△DAF≌△DAE(AAS), .AF=AE. BF=CE. .AB=AF+BF=AE+CE=AC+CE+CE=AC+2CE. 15.2 画轴对称的图形 预习检测 1.D2.C 3.解：如图所示，△A'B'C即为所求 举一反写 1-1解：如图1，图2，图3所示。 图1 图2 图3 1-2解：如图所示，△A'B'C即为所求。 B C 2-1A【解析】将点A(3,4)向下平移2个单 位长度所得的点A'的坐标为(3,2)，点A'关于x 轴对称的点B的坐标是(3，-2) 2-2C【解析】.点P(2,b)和点Q(a,-3)关 于x轴对称，∴.a=2,b=3. 3-1解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求. 5引 B以 2 卓422.3到45 13 5 (2)A'(2,3),B'(3,1),C(-1,-2) 变式训练 1-1D【解析】.直线m上各点的横坐标都 为0，∴直线m为y轴，∴.点A(-1,3)关于直线 m的对称点A,(1,3)在第一象限.直线n上各 点的纵坐标都为1，∴.直线n为直线y=1,∴.点 A(1,3)关于直线y=1对称的点A2(1,-1)在 第四象限.·直线p上各点的横坐标都为-2， ∴.直线p为直线x=-2,∴.点A(1,-1)关于直 线p对称的点A(-5,-1)在第三象限.：直线g 上各点的纵坐标都为3，∴.直线q为直线y= 3,∴.点A3（-5,-1)关于直线q对称的点 A4(-5,7)在第二象限.：A4(-5,7)与A关于 直线m(即y轴)对称，∴.A(5,7)在第一象限. :A(5,7)与A。关于直线n(即直线y=1)对 称，∴.A6(5,-5)在第四象限.A(5,-5)与A 关于直线p(即直线x=-2)对称，∴.A（-9,-5) 在第三象限…依此规律，每四个点的坐标所 在象限为一个循环.又2025=4×506+1，.点 A25与点A1在同一象限又A1(1,3),A(5, 7),…,∴.第一象限的点的坐标的特征为点A。 的横坐标为n,纵坐标为n+2,∴.点A2s的横坐 标为2025，纵坐标为2025+2=2027， .点A2s的坐标是(2025,2027). 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 预习检测 1.C2.B3.D 举一反三 1-1A【解析】∠AED=∠EDC+∠C, ∠ADC=∠B+∠BAD..'AE=AD, ∴.∠AED=∠ADE.,AB=AC,∴.∠B=∠C, ∴.∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC, 即∠BAD=2∠EDC..∠BAD=48°， .∴.∠EDC=24°. 1-2D【解析】：AB=AC,∠A=32°， 六∠ABC=∠ACB=180°-LA =74°.又.BC= 2 DC,∠CDB=∠CBD=】∠ACB=37 2 1-3A【解析】.∠BDA=90°，∴.∠ABD+ ∠BAD=90°..∠BAD=68°，∴.∠ABD=22. BD平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠ABD=44°. .AB=AC,∴.∠ABC=∠C=44°，.∠BAC= 180°-∠ABC-∠C=92°，∴.∠CAD=∠BAC- ∠BAD=24°. 2-1证明：AB=AC,∠A=36°， .∠B=∠ACB=。(180°-∠A)=72°. ,·DE是边AC的垂直平分线， .AD=DC, ∴.∠ACD=∠A=36° .∠CDB是△ADC的外角， .∠CDB=∠ACD+∠A=72°， .∠B=∠CDB, .CB=CD. ∴.△BCD是等腰三角形 变式训练 1-1证明：.AB∥CD, .∠ABD=∠EDC. (∠1=∠2， 在△ABD和△EDC中，{∠ABD=∠EDC, AB=ED, ∴.△ABD≌△EDC(AAS), ∴.BD=DC, ∴.∠DBC=∠DCB. 2-1证明：(1)在△ABC和△ADC中， 2