精品解析：湖南湘西龙山县皇仓华鑫学校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

花垣县华鑫学校2026年秋季九年级数学学科9月份月考试卷 时量120分钟，满分120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. 以上结果都不对 4. 若方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 在数轴上有表示一元二次方程的两个根的点，它们之间的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 在年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，则每个球队参加的场数为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 9. 2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（ ） A. B. ，2 C. ，4 D. ，0 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 14. 如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为_________． 15. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．17、18题各6分，19、20题各8分，21、22题各10分，23、24题各12分，解答应写出文字说明，证明过程或推导步骤． 17. 解方程 （1）用因式分解法解下列方程：； （2）用公式法解下列方程：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 19. 某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． （1）当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； （2）当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 21. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，出发多少秒后，四边形APQC的面积为16cm2？ 22. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 23. 某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）若一元二次方程是“二倍根方程”，则______． （2）若是“二倍根方程”，求的值． （3）若方程是“二倍根方程”，求b与c之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 花垣县华鑫学校2026年秋季九年级数学学科9月份月考试卷 时量120分钟，满分120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故选：D 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. D. 以上结果都不对 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程左边展开后，再移项，然后利用因式分解求解，最后对比各选项答案． 【详解】解：展开方程左边，得， 移项化简，得， 因式分解，得， 解得， ． 对比选项，A、B、C均不符合，故答案为D． 4. 若方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， 由根与系数的关系得． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 6. 在数轴上有表示一元二次方程的两个根的点，它们之间的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的两个根，再根据数轴上两点之间的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ∴两点之间的距离为． 7. 在年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，则每个球队参加的场数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确单循环赛制总场数与球队数量的关系，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设每个球队参加场比赛，则参赛球队共有支， ∵ 单循环赛制总场数为场， ∴ ，整理得， 因式分解得，解得（负根舍去）． ∴每个球队参加的比赛场数为． 8. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为， 则六块蔬菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 9. 2025年4月，某区举办了“云南村T——有一种叫云南的时尚”美育时尚展演活动，并发起了邀请一定数量的好友“转发”海报得门票的活动．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，如果收到小昆邀请的人也同样参与了活动并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 根据转发规则，从小昆开始，第一轮他邀请x人，第二轮第一轮被邀请的x人每人再邀请x人，故两轮后总人数为小昆自己、第一轮被邀请者和第二轮被邀请者之和，即，据此列方程． 【详解】解：设每人转发x人， ∵第一轮后人数为（小昆及第一轮被邀请者）， ∵第二轮新增人数为（第一轮被邀请者每人邀请x人）， ∴两轮后总人数为， ∴方程为． 故选：B． 10. 我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（ ） A. B. ，2 C. ，4 D. ，0 【答案】C 【解析】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 14. 如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为，据此即可求解； 【详解】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为： 15. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 将代入方程，根据定义运算得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：0或． 16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的判别式求出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于的方程，检验根后求解即可． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个不相等实数根是和， ∴，即， ∴根据根与系数的关系得：，， ∵，且 ∴，即， ∵， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分．17、18题各6分，19、20题各8分，21、22题各10分，23、24题各12分，解答应写出文字说明，证明过程或推导步骤． 17. 解方程 （1）用因式分解法解下列方程：； （2）用公式法解下列方程：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将方程移项后利用因式分解即可求解； （2）这里，，， 因为，所以方程有两个不相等的实数根，再利用求根公式即可求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得：，， 所以方程的两个根分别为，； 【小问2详解】 解：， ∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 19. 某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． （1）当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； （2）当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 【答案】（1） （2）该矩形停车区的占地面积不能达到  【解析】 【分析】（1）当时，利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． （2）令矩形面积等于，再判断一元二次方程是否有解，从而判断能否达到该面积． 【小问1详解】 解：由题意可知，垂直于外墙的边长． 金属护栏总长为 ，且平行于外墙的一侧预留两个  宽的门． 所以平行于墙的边长为 当  时，可得， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得，整理得 解得 因为  必须满足 ，所以  不符合题意，舍去． 所以， 所以，当时，若该电动车停放区的占地面积为， 的值为 ． 【小问2详解】 解：当外墙长度  足够大时，平行于墙的边长 为 ， 可得，解得， 又因为边长必须为正数， 所以 当矩形停放区的占地面积为时， 可得，整理得， 因为， 所以方程无实数解， 即该矩形停车区的占地面积不能达到 ． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 21. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，出发多少秒后，四边形APQC的面积为16cm2？ 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意表示出四边形APQC的面积，进而得出方程求出答案． 【详解】解：设t秒后，四边形APQC的面积为16cm2， 由题意得：S△ABC=×6×8=24（cm2），BP=6-t，BQ=2t， ∴24-•2t（6-t）=16， 解得：t1=2，t2=4， 当t=4时，BQ=2×4=8， ∵Q不与点C重合， ∴t=4不合题意舍去， 所以2秒后，四边形APQC的面积为16cm2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键． 22. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 【答案】（1）《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）单价应降低4元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； 【小问2详解】 解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 23. 某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． （1）求A型设备每小时铺设的路面长度； （2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】（1）型设备每小时铺设的路面长度为90米 （2）的值为10 【解析】 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； 【小问2详解】 根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）若一元二次方程是“二倍根方程”，则______． （2）若是“二倍根方程”，求的值． （3）若方程是“二倍根方程”，求b与c之间的关系． 【答案】（1）18 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设方程的其中一根为，则另一根为，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解； （2）求出原方程的解为，再由“二倍根方程”的定义解答即可； （3）设与是方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：设方程的其中一根为，则另一根为， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 解得：， ∵是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时， 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：设与是方程的解， ，， 即，， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $