第7章 第5节 椭 圆-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第五节椭圆 教材梳理 >>>>>> ⊕ 知识点1椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F,F2的距离之和等于常数2a(大于F1F的点的轨迹叫做椭 ,两个定点叫做的 焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距· (2)椭圆定义的数学表达式为PE+PF=2α(2a心EEl,即对于定点F1,F,椭 圆上的点P满足此关系式，反之亦然， 思考：集合P={MMF1l+MFl=2a},|F1F=2c,其中a,c常数且>0，c>0M 点轨迹为椭圆吗？ 提示：①当2a>F1F时，M,点的轨迹为椭圆； ②当2a=F1F时，M点的轨迹为线段F1F; ③当2aFF时，M,点的轨迹不存在. 知识点2椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 +=1(a心b>0) +=1(a>b>0) 方程 一般 Ax2+By2=1 方程 (A>0,B>0,AB) 图形 AOA衣 B2 A 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 焦点 E1(-c.0).E(c,0) E(0,-c).E(0,c 坐标 点 A1(-a,0),A(a,0). A1(0,-a),A(0,ad 坐标 B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0) 长轴 长轴A42=2a,a是长半轴的长 短轴 短轴B1B2=2b,b是短半轴的长 焦距 焦距F1F2=2c,c是半焦距 范围 lxsa,lysb xsb,lsa 离心率 e=三_(0<e<1)越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 [常用结论] 1.如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB=,称为通径. 2.椭圆+=1与+=k(其中心b>0,>0)有相同的离心率。 3.α+c与a一c分别为椭圆上的点到僬点距离的最大值和最小值， 4.AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦，A(G1,),B(,),AB吲==，如果AB中点为 Mo,b,则k4B=一O00), 诊断自测 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打”√"或“x) (1)平面内与两个定点F,F的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（) ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（) (3)方程x2+y2=1(>0,>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.() (4)+=1(a心b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同.() [解析](1)由椭圆的定义知，当该常数大于FF时，其轨迹才是椭圆，而常数等 于FF时，其轨迹为线段FF2,常数小于F1F时，不存在这样的图形. (2)因为e===,所以e越大，则越小，椭圆就越扁. [答案](1)×(2)×(3)N(4)V 教材衍化 2.(25一26高二下·贵州黔南·期末)已知椭圆E:十=1(a>b>0)的上顶点为A,F, F分别为椭圆E的左、右焦点，若△1F1F,的面积为，且椭圆E的离心率为，则椭圆E的 标准方程为() A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 [解析]△AFF的面积为bc=,离心率为= 又因为a心=b+c2,a心b>0,解得a=2,b=,即椭圆E的标准方程为十=1.故选C. [答案]C 3.(2026·河南开封·高二统考期末)直x+y=0(m∈R)与椭圆+=1交于A,B两 点，则A,B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为() A.10 B.16 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 C.20 D.不能确定 [解析]设椭圆两个焦，点为F1,F2,由题可得a=5,则A,B与椭圆的两个焦点构 成的四边形的周长为AF1|+|FB|+|BF+|FA=4a=20.故选C. [答案]C 考题体验 4.(2026·新高考8省联考)椭圆+=1（心0）的焦点为F1,F2,上顶点为A,若 ∠FAF2=,则m等于() A.1 B. C. D.2 [解析]d2=m2+1,b2=m2,则c2=d2-b2=1,由题意知b=c,则b2=3c2=3= t,又>0，则m=. [答案]C 5.(25一26高二下·河南周口·开学考试)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为 1,F,P是椭圆C上任意一点.若PF1+PF=10,则椭圆C的离心率为() A. B. C. D. [分析]根据椭圆方程及其定义和焦点位置得a=5,c=4,进而求离心率. 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]由椭圆的定义及题意，得2a=10,所以a=5.因为b2=9,所以c2=2-b =25-9=16,所以c=4,所以离心率e==.故选B. [答案]B 典例精讲 [例1](25一26高二上·内蒙古通辽·期末)求满足下列条件的椭圆的标准方程 (1)b=1,c=,焦点在y轴上； (2)a=10,c=6: (3)点 P(-2,0),Q0,2)两点 [思路点拨](1)根据b,c求出a,结合焦点位重即可求解椭圆标准方程. (2)根据a,c求出b,按照焦点位置分类求解即可. (3)由题意确定焦点位重及α，b,即可得解. [自主解答](1)因为b=1,c=,所以a㎡=b2+c2=16,因为椭圆焦点在y轴上，所 以其标准方程为+x=1. (2)因为a=10,c=6,所以b2=㎡2-c2=100-36=64,因为椭圆焦点位置不确定， 所以其标准方程为：+=1或+=1. (3)由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端，点，且椭圆的焦，点在x轴上，所以 a=2,b=2,所以椭圆的标准方程为十=1. [解题心得]确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件（即确定焦点的位 置)和两个定形条件（即确定α，b的大小）.当焦点的位置不确定，的准方程 为+=1(a>b>0)或+=1(a心b>0),或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为x2+ 2=1(0>0,心0，且m≠m). 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [例2]设椭圆C:+=1(>b>0)的左、右焦点分别为F1,F,P是C上的点， PF⊥FF,PF1F2=30°，则C的离心率为() A. B C. D. [思路点拨]有椭圆定义和PF⊥F1F来求解. [自主解答]法一：如图， 在Rt△PFF1中， ∠PF1F2=30°，FF=2C, PF==, PF=2c-tan30°=. .PF+PF2=2a, 即十=2a,可得c=a. .∴.e==. 法二（特殊值法）： 在Rt△PFF1中，令PF=1, ∠PFF=30°，.PF=2,FF=. ∴.e=== 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解题心得]求椭圆离心率或其范围的方法 解的关是借助形建立关于 a,b,c的关系式（等式或不等式），转化为e的关 系式，常用方法如下： (I)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解 (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e=求解， (3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a 与c的关系，从而求得e. [例3](25-26高二下·上海青浦·期末)2024年4月30日17046分，神舟十七号返 回成功着，返回是宇航返回地球的座.返回的截面可近似看作是由 半个 椭圆和一段圆弧组成的果圆”.如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过 椭圆的一个焦点F(0,一1)和短轴的两个顶点(2,0)与（一2,0） (1)写出图中“果圆”的方程： (2)直线y=x交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01） [思路点拨](1)由焦点坐标和短轴的两个顶点坐标可得半个椭圆的方程，由圆孤经 过的焦点坐标和短轴的两个顶点坐标，可求出圆弧方程，可得图中“果圆”的方程； (2)通过联立方程组求出A、B两点坐标，可求弦AB的长度， [自主解答](1)因为椭圆的一个焦点F(0,一1)和短轴的两个顶，点(2,0)与(-2,0) 可得c=1,b=2,即a2=5, 所以半个椭圆的方程为+=1(20)； ·独家授权侵权必究 令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 圆孤经过椭圆的一个焦，点F(0,一1)和短轴的两个顶，点(2,0)与（一2,0）， 设圆孤方程为x2+y-)2=2(6<0), 利用-1一=r=, 解得t=,所以r=, 得x2+=6<0) 所以椭圆方程为+=1(020)， X+=6<0) (2)由 解得，得A, 由 解得，得B, 所以AB引=≈3.31. [解题心得]直线与圆锥曲线相交，其弦长公式有两种表示形式，设两交点A(:1 M),B(,),直线斜率为k,若用x1、3表示，则AB到=一；若用M、表示，则 AB=?一y,具体利用哪一形式，要根据题设给出条件而定 高考再现 >>>>>> 1.(2024新课标川卷)已知曲线C:x2+y2=16(>0),从C上任意一点P向x轴作垂 段PP',P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为() A.+=1(>0) B.+=1(0>0) C.+=1(0>0) D.+=1(0>0) 独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 [分析]设点Mx,),由题意，根据中点的坐标表示可得P(化，2)，代入圆的方程 即可求解， [解析]设，点Mx,y),则P(x,),P'(c,O),因为M为PP'的中点，所以b=2y, 即P(x,2y),又P在圆x2+y2=16(y>0)上，所以x2+42=160>0),即+=16>0)，即，点 M的轨迹方程为+=1(>0).故选A. [答案]A 2.(全国甲卷（文）)设F,乃为椭圆C:y2=1的两个焦点，点P在C上，若 PF1PF2=0,则PF1PF=() A.1 B.2 C.4 D.5 [解析]法一：因为PF1-PF2=0,所以PF⊥PF2,则S△m,P=PF1HPF列=btam, 得PFPF=1×tan,所以PF1PF=2,故选B. 法二：因为PF1·PF2=0,所以PF1⊥PF,所以PF1P+|PF2P=|F1F2=(2c)2=16.因 为PF1|+|PF=2a=2,所以(PF+PF)=20,即PF1P+PF3P+2PF1PF2=20,所 以PF1PF=2.故选B. [答案]B 3.(全国甲卷（理）)设O为坐标原点，F1,F2为椭圆C:十=1的两个焦点，点P在 C上，coS∠FPF=,则OP=() A. B. C. D. [解析]法一：依题意a=3,b=,c==.如图，不妨令F1(-,0),F(,0).设PF1l =,1PF=n,在△FPF2中，cos∠FPF==①，由椭圆的定义可得m十n=2a=6 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ②.由①②，解得m=.设OP=x.在△F1OP和△FOP中，∠F1OP+∠FOP=π，由余弦 定理得=一， 得x2===, 所以OP=. 法二：依题意=3，b=,c==如图（图同法一），设，点P的坐标为(，)， a∠F1PPF2,则cos∠FPF2=cosa=,故sin∠F1PF2=sina===,则tan=或tan=2(舍 去).故△F,PP,的面积Sa,=btan=6x=3.又Sm2=×2cbW=bl,故y=3,又+= 1,所以x=,|OPP=x十y=,1OP到=.故选B. [答案]B 4.(2025·新高考川卷)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4. (1)求C的方程； (2)过点(0，一2)的直线l与C交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为， 求AB, [解](1)因为长轴长为4，故α=2，而离心率为，故c=,故b=,故椭圆方程为+ =1. ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)由题设直线AB的斜率不为0，故设直线1：x=y+2),A(xy),B(2), 由可e+2)y2+4y+4f-4=0, 故4=16-4(e+2)(4-4)=4(8-4)>0 即一<K, 且y1十y2=一，y边=， 故SA0AB=×|2t×M- =4 ==，解得t=±， 故AB|=yM1-y =×= 5.(2026·全国川卷)已知椭圆E:十y2=1(a心1)，过E的右焦点且与x轴垂直的直线 被E截得的线段长为， (1)求E的离心率 (2)设O为坐标原点，给定点Gt,0)(t#0),A(,o)Gb0)为E上的点，过A作y轴 的垂线，垂足为B,直线AO与直线GB的交点为P.当A在E上运动时，点P的轨迹为 M.求M的方程 [解](1)设椭圆+y=1的右焦，点为(c,0),其中c=, 那么过右焦，点且垂直于x轴的直线为x=C,代入椭圆得 +y=1,即y2=1-=1-=, 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 所以y=±，由于截线段长为=，解得a=, 故c==1,离心率e=== (2)由(1)知椭圆方程为十y2=1,由于点A(,0)满足十y=1,且00，过A作y轴 的垂线，交y轴于点B(0,b), 那么当o=0时，点A(0,±1)，点P与点A(0,±1)重合； 当xo0时，直线AO方程为：y=x,直线GB方程为：十+=1， 即y=-x十h, 联立，解得， 即，点P0),设Pc,), 则由→00)， 代入椭圆方程+y=1得+=1，即+=1， 两边乘以得+y=, 整理得x2+y2+x-1=0, 把，点P(0,±1)代入，仍然成立， 故轨迹M的方程为x十y2+x一1=0y≠0) 课时作业（四十一） 1.(25一26高二下·陕西咸阳·期末)已知椭圆+=1的两焦点分别为F1,F2,点P为 椭圆上任意一点，则PF+PF的值为() A.2 B.3 C.4 D.6 ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]由于椭圆+=1，故椭圆长半轴长为a=3,故PF1十PF=2a=6,故选D. [答案]D 2.若直线y=+1与椭圆+=1总有公共点，则m的取值范围是() A.>1 B.m0 C.0<K5且m≠1 D.m21且2≠5 [解析]法一：由于直线y=+1恒过，点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆 上，则0<≤1且m≠5，故m21且≠5 法二：由，消去y整理得(5+m)x2+10x+5(1-m)=0.由题意知=100R-20(1- m(52+m)≥0对一切k∈R恒成立，即5m2+m2-≥0对一切k∈R恒成立，由于>0且 ≠5，∴.m21-5恒成立，.m21且m≠5. [答案]D 3.若椭圆x2+2=1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( A. B. C.2 D.4 [解析]将原方程变形为+=1.由题意知=，b2=1,所以a=,b=1.所以= 2,所以m=.故选A. [答案]A 4.(25一26高二下·上海·期末)方程+2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是() A.(0,+∞) B.(-∞，1) C.(1,+∞) D.(0,1) 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 [解析]方程？+=2等价于+=1，因为方程x2+=2表示焦点在y轴上的椭 圆，所以>2，解得0<1，则实数k的取值范围是(0,1).故选D [答案]D 5.已知椭圆C:十=1(a心b>0)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若△4FB 是直角三角形，则椭圆C的离心率为() A. B. C. D. [解析]如图所示，F(-c,0),A(0,b),B(a,0),.'△ABF是直角三角形， AF⊥AB,∴AFAB=0,又：AF=(-c,-b),AB=(a,-b),∴.-ac+b=0,又 .b2=d-c2,.d2-ac-c2=0,又.e=,.e2+e-1=0,.e=,又.0<e1,.e=. 故选D, [答案]D 6.(25一26高二下·云南玉溪·期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，短轴长 为2，则a=() A. B. C.1 D. [解析]由题可知，所以α=.故选A, [答案]A 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 7.(2026·广东揭阳·高二统考期末)已知椭圆C：十=1(>b>0),若矩形的四个顶点 都在C上，则称C为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形ABCD的外接椭圆的短轴 长为2，则C的方程为() A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 [解析]因为椭圆的短轴长为2，则2b=2,即b=，所以椭圆方程C为+=1，又 正方形ABCD的边长为4，由椭圆与正方形的对称性可知，正方形ABCD的其中一个顶 点坐标为(2,2)，所以+=1，解得㎡=12，所以椭圆C的方程为十=1.故选B. [答案]B 8.(2026·四川泸州模拟预测)已知直线y=x一2经过椭圆C:+=1(a>0)的一个顶 点，则C的离心率为 [解析]令x=0,得y=-2,显然点(0，一2)不在椭圆上，∴.不可能是C的一个顶 点，令y=0,得x=2,所以点(2,0)是C的一个顶，点，所以a=2,故椭圆的离心率 [答案]0.5 9.(2026·陕西西安·模拟预测)已知椭圆C:+=1(>0)的焦距为2，则C的离心率为 [解析]因为焦距2c=2,所以c=>2,所以a==3,离心率为= [答案] 10.已知P为椭圆+y=1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此 弦所在的直线方程为 [解析]易知此弦所在直线斜率存在，设斜率为k,弦的两端点为A(,),B(, ),则有十y=1,十y=1,两式作差得+(-)2十)=0，十=1，n+=1, ·独家授权侵权必究·一 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ∴.十（归一）=0，'.k==一，经检验，k=一满足题意，.此弦所在的直线方程为y-= -,即2x+4y-3=0. [答案]2x+4y-3=0 11.(2026·上海青浦·二模)椭圆+y2=1(心1)的离心率为，则a= [解析]由题意得椭圆离心率为=，解得α=2. [答案]2 12.(2025·天津卷T18节选)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右J顶点为A,P 为x=a上一点，且直线PF的斜率为，△PFA的面积为，离心率为.求椭圆的方程. [解]依题意，设椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c, 则左焦，点F(-c,0),右顶，点A(a,0),离心率e==,即a=2c, 因为P为x=a上一点，设P(a,m), 又直线PF的斜率为，则=， 即=，所以=，解得m=C,, 则P(a,c),即P(2c,c), 因为△PFA的面积为，AF=a-(-c)=a十c=3c,高为m=c, 所以S△PRA=AFl=×3CXC=, 解得c=1, 则a=2c=2,b=a2-c2=3, 所以椭圆的方程为十=1. ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 13.(2025·上海卷T20节选)已知椭圆Γ：+=1(a>),M(0,m(>0),A是T的右 顶点. (1)若T的焦点(2,0)，求离心率e; (2)若a=4,且T上存在一点P,满足PA=2MP,求m. [解](1)由题意知，：+=1(a>), 则b2=5, 由右焦点(2,0)，可知c=2,则a==3, 故离心率e=三 (2)由题意A(4,0),M0,m)(>0),P(,yp) 由PA=2MP得，， 解得P,代入+=1， 得+=1， 又因为>0，解得=.（负值舍去) YA ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 14.(2025·新高考1卷T18节选)设椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，下顶点为 A,右顶点为B,AB= (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射AP上，且满足ARAP=3 (①)设P(m,m),求点R的坐标（用m,n表示）； [解](1)由题可知，A(0,-b),B(a,0),所以，解得㎡=9，b2=1,c2=8,故椭 圆C的标准方程为+y2=1。 (2)(1)设R(o,0),易知≠0， 法一：所以k4P=, 故=，且xo>0. 因为A(0,-1),ARAP=3, 所以×=3， 即xom=3, 解得=， 所以=，所以点R的坐标为： 法二：设AR=AP,>0,则ARAP到=3→[+(n十1)2]=3，所以1=，AR=AP= ,n十1)=，故，点R的坐标为. Y ·独家授权侵权必究