第3章 第5节 简单的三角恒等变换-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

季学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第五节 简单的三角恒等变换 教材梳理 >>>>>> 知识点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (I)S(atp公式：Sin(a±p)=sin acos±cos asin B (2)Catn公式：cos(c±p)=cos acos B年sin asin B (3)Tap公式：tan(a±=(a,B,ca±B≠+L,k∈Z) 知识点2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)二倍角的降公式 c0s2a=-, sina= (2)二倍角的升幂公式 1+cos 2a=2cosa 1-cos2a=2sin'a. (3)Tap的公式变形 tanc±tanB=tan(c±)1干tan atan); tan atan B=-1-1-. 思考：如何用sinx、cosx表示tan? 提示：tan==== [常用结论] 1.公式的常用变式 tana吐tanB=tan(a±p)(1千tan atanβ)： tan atanβ=1-=-1 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.降幂公式 sin2a=cos a=sin acos a=sin 2a. 3.升幂公式 1+cos a=2cos 1-cosa=2sin2,1+sina=:1-sin a=. 4.常用拆角、拼角技巧 例如：2a=(a+)+(a-);a=(a+)-B=(a-)+B;B=-=(a+2)-(a+);a -B=(a-)+(0-);15°=45°-30°；+a=-等 5.辅助角公式：一般地，函数fa)=a sin a+b cos a(a,b为常数)可以化为f代a)= sin(a+p)或c)=cos(a一p).常见形式有sinx+cosx=sin,sinx+cosx=2sin,sinx+ cosx=2sin 诊断自测 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√厂"或“×） (1)存在实数a,B,使等式sin(a+B)=sina+sinB成立.（) (2)对任意角a都有1+sina=.() (3)存在a∈R使tan2a=2tana.() (4)公式tan(a+)=可以变形为tana+tanB=tan(a+)(1一tan atan B),且对任意角 a,B都成立.（) [答案](1)N(2)N(3)V(4)× 2.(25-26高一下·河南南阳·期末)函数x)=sinx+cosx一1在[0,2π上的零点个 数为() A.1 B.2 独家授权侵权必究 享学科网书城 三方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.3 D.4 [解析])=sinx+cosx-1=im-1. .x∈[0,2π]，.x+∈. 令x)=0,得sin=, ,.x十=或x十=或x十= 所以x=0或x=或x=2π.故选C. [答案]C 教材衍化 3.若c0sa=一，a是第三象限的角， sin=() A.- B. C.- D [解析]因为cosa=一，a是第三象限的角，所以sina=一=一，所以sin=sin ac0s+cos asin=×+×=- [答案]C 4.(25-26高一下·山东潍坊期末)sin2-sin=() A.0 B. C. D. [解析]因为sin-sin=-==×=,故选D. [答案]D 考题体验 独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.已知函数x)=sin十cos. (1)求函数x)在区间上的最； (2)若cos0=，,0E,求f的值. [解](1)由题意得 fx)=sin +cos =-·sin 因为x∈，所以x-∈， 所以sin∈， 所以-sin∈， 即函数x)在区间上的最大值为，最小值为一， (2)因为cos0=,0∈，所以sim0=-,所以sin20=2sin0cos0=-, 所以c0s20=cos20-sin0=-=, 所以f=-sin =-sin --(sin 20-cos 20)=(cos 20-sin 20) 典例精讲 >>>>>> [例1]化简[2sin50°+sin10(1+tam10)] 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [思路点拨]50°，10°，80°都不是特殊角，但注意到它们的和60°，90°都是特殊 角，因此可考虑用和角公式求值.另外正切函弦要化成正、余弦函数， [自主解答]原式=·in80° =c0510° =2/sin50°c0s10°+sin10°.c0s(60°-10)] =2sn(50°+10)=2×= [解题心得](1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名.能求值的求 值，必要时切化弦，更易通分、约分 (2)三角函数式化简的要求 ①能求出的求出； ②尽量使三角函数种数最少： ③尽量使数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数： [例2]已知tana=2 (1)求tan的值， (2)求的 [思路点拨](1)量角和的正切公式代入(2)化简后代值. [自主解答](1)tan===-3 (2) ·独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ==1. [解题心得]解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化所求式子或所条件； (2)观察已知条件与所求式子之的系： (3)将已知条件代入所求式子，化求 [例3](25一26高一下·湖南衡阳-期末)已知函数x)=sin+sin. (1)求函数x)的单调递增区间： (2)当x∈时，求函数fx)的最值及相应x的值. [思路点拨](1)利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后利用整体代入法 求得函数x)的单调递增区间； (2)根据三角函数最值的求法求得x)的最值及相应x的值. [自主解答](1)因为 fx)=sin +sin =sin /sin =sin fcos =sin 所以令-+2m≤4x十≤+2π，k∈Z, 解得-+≤s+,k∈Z, 所以函数x)的单调递增区间为，k∈Z. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)因为x∈，所以≤4x+≤， 令t=4x十，则函数y=nt在单调递增，在单调递减， 所以t=时，ym=, t=时，min=inπ=一sin -sin= 所以当x=时，函数x)取最大值为，当x=时，函数x)取最小值为. [解题心得]三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点 (I)三角函数的性质问题，往往都要先化成x)=As(ω.x+p)+b的形式再求解.要 注意在行此步之前，如果函数解析式中出 a及其二倍角、半角或函数的平方， 应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式 一化成关于同一个角的三角函数式. (2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体 代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期. 高考再现 >>>>>> 1.(全国|卷)已知a∈(0，)，且3cos2a-8cosa=5,sina=() A. B C. D. [解析]本题考查三角恒等变换以及同角三角函数基本关系.因为3cos2a一8c0sa =5,所以3(2c0sa-1)-8c0sa=5,即3c0s2a-4c0sa-4=0,即(3c0sa+2)(c0sa-2)= 0,解得c0sca=-或c0sa=2(舍去).又a∈(0，)，所以sina==.故选A. [答案]A 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.(2025·新高考l卷)已知0<a<死，cos=,0sin=() B. C. D. [解析]c0sa=2cos2-1=2×-1=-,因为0<a<π，则<<死，则sina===,则 sin=sin acos一cos asin=×-×=,故选D. [答案]D 3.(2025·北京卷)设函数x)=sin wx+COS wx(aw>0),若fx+元)=x)恒成立，且x) 在上存在零点·ω的最小值为() A.8 B.6 C.4 D.3 [解析]函数x)=sinωx+COS Wx=sim(w>O),设函数fx)的最小正周期为T,由 x十)=x)可得kT=π，(kEN,所以T==,(k∈N),即w=2k,(EN；又因为函数 尤)在上存在零，点，且当x∈时，ωx十∈，所以十≥π，即w23;综上，0的最小值为4.故 选C [答案]C 4.(2026·全国I卷)已知在△ABC中，AB=3,BC=2,c0SB=,c0SA= [解析]在△ABC中，AB=3,BC=2,c0sB=. 由余弦定理可知AC=AB2+BC2-2AB:BCc0sB=9+12-2x3x2×=9, 故AC=3(负值舍去).再由余弦定理得c0SA==== [答案] ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.(2024全国甲卷（文）)函数fx)=sinx一cosx在[0，]上的最大值是 [分析]结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. [解析])=sinx-cosx=2sin,当x∈[0，时，x-∈，当x-=时，即x=时， 尤x)mr=2 [答案]2 6.(多选题(2025·新高考1卷)已知△ABC的面积为，若c0s2A+cos2B+2sinC= 2,cos A cos B sin C=, A.sin C=sinA++sinB B.AB= C.sinA+sin B= D.AC2+BC2=3 [解析]cos2A+cos2B+2sinC=1-2sin2A+1-2sinB+2sinC=2,所以sin2A+ sinB=sinC,A正确；令a=BC,b=AC,c=AB,则===2R(R为△ABC的外接圆半 径)，由sinA+sinB=sinC,得㎡+b2=c2R≥c2.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角 形，则A十B>,即A>一B,则sinA>sin=cosB,所以sinC=sinA+sinB>cos2B+ sinB=1,矛盾.故a2+b2=c2,即C=A十B=,所以cos(A+B)=cos A cos B-sin A sin B=0,又cos A cos B sin C=cosA cos B=,所以sin A sin B=.因为SAsc=ab sin C=ab =,所以ab=,所以=(2R)?==2,所以2R=,所以c=2 R-sin C=,B正确；(SinA十 sin B)2=sin2A+sin2B+2sinA sin B=sin C+2sin A sin B=1+2x=,sin A+sin B=, C正确；AC+BC=AB=C=2,D错误.故选ABC [答案]ABC 课时作业（二十） 1.(25一26高一下.甘肃张掖·期末)已知tan0=2,tan20=() A.4 B. ·独家授权侵权必究 令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C. D. [解析]tan20===-.故选C. [答案]C 2.(2026·湖北模拟预测)已知cos+3cos(a-)=0,=() A. B.- C D.- [解析]因为cos+3cos(a-)=0,所以-sina-3cosa=0,所以ta1a=-3.== sin acos a==-.故选D. [答案]D 3. (25-26高二下.安徽宣城期末)已知sima+cosa=2,tana=() A. B C D.- [解析]因为sna十cosa=2,所以2sin=2,则sin=1,解得a=+2m,k∈Z,由 诱导公式得tana=tan=tan=,故B正确.故选B. [答案]B 4.(2026·广东深圳期中)计算：-c0s2=() A.- B. C. D.- [解析] 一C0s2=一=一，故选A [答案]A 5.已知ina+cosa=, cos=( 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.- B. C.- D [解析]由ia十cosa=,得2cos=,即cos=, ∴.c0s=2c0s2-1=2×-1=-.故选C. [答案]C 6.(2026·河南南阳·期末)化简十tan12°=() A.1 B C. D.2 [解析]十tan12°===三，故选C. [答案]C 7.(多选题(2026·江苏连云港·二模)已知函数x)=cos2一sincos,D() A.函数x)的最小正周期为4π B.点是函数x)图象的一个对称中心 C.将函数x)图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于y轴对称 D.函数x)在区间上单调递减 [解析])=cos2-sincos=·-=cosx-sinx+=cos+,故最小正周期为2元，A 错误；∫=C0S十=，点是一个对称中心，B正确；向左平移个单位长度得到f=c0s+= 一c0Sx十，关于y轴对称，C正确；x∈，十∈，所以x)在区间上单调递减，D正确. 故选BCD [答案]BCD 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 8.(25-26高一下·广西钦州期末)函数a)=8 sin acos2-4sina+sina-cos2a的最 大值为() A. B.2 C D.3 [fa)=8sinacos2-4sina+sina-cosa=4sina-cos2a=4sin acos a-cos 2a= 2sin2a-cos2a=sin(2a-p),其中tanp=,则当2a-o=+2hm,k∈Z时，术a)取最大 值故选C [答案]C 9.(2026·重庆南开中学模拟预测)已知a∈且tan=2,sin acos a十cos2a的值为( A. B. C. 0 [解析]由a∈且tan=2,得 所以sin acos a+cos2a=sin2a+cos2a =sin =2sin cos ==.所以sinacos a-十cos2a的值为.故选D. [答案]D 10.(2026四川成都·高一统考期中)函数f=in2x+cos2x,x∈R,将函数fx)的 图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上的最小值为） A.0 B.- C.-1 D. 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 [解析]由函数)=sin2x+cos2x=sin,将函数fr)的图象向右平移个单位长度， 可得g()=sim=sin,因为x∈，可得2x-∈，所以当2x-=-时，即x=-时，函数 g(x)取得最小值，最小值为一1，即函数g(x)在区间上的最小值为一1.故选C [答案]C 11.(25-26高二下.云南昆明·期末)已知sina一c0sa=,0c0S= [解析]因为ina-cosa=, 所以2sin=*in=, 令t=a-,则sint=, cos =cos =cos 2t=1-2sin2t=1-=. [答案] 12.(2026山东师范大学附中模拟预测)已知0<a<,sn=,D= [解析]因为0<a<,一<-a<,所以cos==, 所以-Sina=sin=sin cos-c0ssin=×-×=-,所以sina=,cosa==,所以 tana==,则==. [答案] 13.(2025新高考1卷T19节选)1)设函数x)=5cosx一c0s5x,求fx)在的最大 值. [解](1)法一：f(x)=-5sinx+5sin5x =10cos 3x sin 2x, 因为x∈，故2x∈，故Sin220, 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当0<×时，c0s3x>0即fx)>0, 当<时，c0s3x<0即f(x)0, 故x)在上为增函数，在为减函数， 故)在上的最大值为 f=5c0s-c0s=3. 法二：我们有c0s5x=cos(x+4x) =cosx cos 4x-sin x sin 4x -cos x(2cos22x-1)-sinx:2sin 2x cos 2x =cos .x(2(2cosx-1)2-1)-sinx.2.2sin .x cos x cos 2x =cos x(8cosx-8cosx+1)-4cosx cos 2x sin2x =8cosx-8cosx+cosx-4cosx(2cosx-1)(1-cosx) =16cos'x-20cosx+5cosx. 所以r)=5cosx-cos5x =5cosx-(16cos'x-20cosx+5cosx) =20c0s3x-16c0sx =4cos x(5-4cosx)s4cosx3(5-4cos x2) =4cosx3(-2cosx)(2cosx) ≤× ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ==3. 这得到x)s3,同时又有f=5c0s-c0s=3, 故x)在上的最大值为3，在R上的最大值也是3. 14.(2025·新高考川卷)已知函数x)=c0s(2x+p)(0s0<),0)=. (1)求0； (2)设函数g()=x)+f求g(x)的值域和单调区间. [解](1)由题意0)=c0s0=,(0≤0<)，所以p=. (2)由(1)可知fx)=c0s, 所以g()=)+f =cos cos 2x =cos 2x-sin 2x+cos 2x -cos 2x-sin 2x =C05, 所以函数g()的值域为[-，]， 令2π≤2x+≤π+2h饥，k∈Z, 解得-十≤≤+阢，kEZ, 令π+2m≤2x+≤2π+2m,k∈Z, 解得+π≤r≤十π，k∈Z, 所以函数g(x)的单调递减区间为 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 kEZ, 函数g(x)的单调递增区间为 ,k∈Z ·独家授权侵权必究