第3章 第4节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第四节两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教材梳理 >>>>>> 知识点1两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)两角和与差的余弦 cos(a+B)=cos acos B-sin asin B,cos (a-B)=cos acos B+ sin asin B_· (2)两角和与差的正弦 sin (a+B)=sin acos B+cos asin B,sin (a-B)=sin acos B- cos asin B_· (3)两角和与差的正切 tan (a+B)= tan (a-B)= 其变形为：tana+tanB=tan(a+)(1一tan atan), tana-tanB=tan(a二B)（(1+tan atan). 知识点2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2a-2sin acos a (2)cos 2a=cosa-sin2a 2cosa-1 1-2sin'a (3)tan2a=- 知识点3两角和与差公式的应用总结 ·独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)熟悉公式的逆用和形用，公式的正用是常的，但逆用和形用往往 容易被忽，公式的逆用和形用更能开拓思路，培养从正向思向逆向思化的 能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用 (2)角的变换 在应用两角和与差三角函数公式时，角的变换是最基本的技能，常见的变换有： a=(a+B)-B;a=B-(B-): a=(2a-)-(a-): a=[(a+)+(a-]; a=I(B+a-(B-a)]; a+B=(a+2β)-B;十=等 [友情提示]在公式T中，a、B、a十B必须使等式两端均有意义，即a、B、±p 都不能取+π（∈Z.否则，利用诱导公式求解 知识点4二倍角公式的应用形式 二倍角公式的正用、逆用、形用是公式的三种主要使用方法，特是二倍角 的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有广泛的应用.解题时应根据不同的需 要，灵活选取不同的形式. 二倍角公式的逆向变换及常见变形有： 1±sin2a=(sinc±cosa)2;1+cosa=2cos2, 1-cosa=2sin2 cos a=sin2a= 其中，cos2a=,sina=称为降幂∠么公z式，而把1-cos2a=2sim?a,1+c0s2a=2c0s2a 称为升幂公式 [友情提示](I)在应用二倍角的正切公式时，应注意a的取值范围，即tana与tan 2a的值应存在. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (②)降暴公式是三角变换中非常重要的变形公式，升暴公式是根式化简时常用的公 式 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“V"或”×”） (I)两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,B是任意的.（) (2)存在数a,B,使等式sin(a+)=sina+sinB成立.（) (3)公式tan(a+B)=可以变形为tana+tanB=tan(a+)(1一tan atan B),且对任意角 aB都成立.() (4)存在实数a,使tan2a=2tana.() [解析](3)变形可以，但不是对任意的a,B都成立，a,B,a十件+m(kEZ [答案](1)N(2)V(3)×(4)V 教材衍化 2.(25-26高二下·河南安阳期末)下列α的值能使=成立的是() A.a=195° B.a=105° C.a=275o D.a=75° [解析]因为=tan(45°+a=,所以45°+a=60°+k180°，k∈Z,所以a=15°+ k180°，k∈Z,结合各选项可知，a=195°.故选A. [答案]A 3.(25-26高一下·海南海口·期末)已知角0终边过点P(-2,1),si=() A B 独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 C D. [解析]由三角函数的定义可得cos0=一=一，sin0==,由两角差的正弦公式可 得sin=sin0cos-cos 0sin=·-·=.故选B. [答案]B 考题体验 4.(全国川卷)若sinx=一，0cos2x= [解析]因为sinx=一， 所以cos2x=1-2sinx=. [答案] 5.(25-26高一下·海南-期末)已知Be,且sinB=,若tana=2,tan(a-)= [解析]已知Be,且sinB=,则cosB===,从而tanB==,又因为tana=2, 所以tan(a-)=== [答案]/0.5 6.(2026·全国大联考)已知cos-sina=,0sin= [解析]由cos-sina=cosa-sina-sina=cosa-sina= =cos =sin = 得sin= sin =-sin =一sin=-. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]一 典例精讲 >>>>>> [例1]化简2十sin2-sina. [思路点拨]熟练运用公式，根据角的范围直接化简. [自主解答]原式=+-sin2a=1--sima=1-cos2a:c0s-sina=1--= [解题心得](1)本题由变角入手，变角化同角： (2)根式形式的三角函数式的化，常以去根号目，此常使被开方的式子配成 完全平方式，化，要注意角的范符号的影响， [例2]在△ABC中，sinA=,cosB=,求cosC的值， [思路点拨]利用A十B+C=π，得C=π一(A十B). [自主解答].A、B是△ABC的内角，且sinA=<,coS60°<c0SB=<CoS45°. .0°<A<30°或150°<A<180°，45°<B<60°. .A+B+C=180°. ∴.0°<A<30° .'.cosA=.sin B= .'.cos C=cos [-(A+B)]=-cos(A+B) =-(cos A cos B-sin A sin B) 三一=一 ·独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com□ 您身边的互联网+教辅专家 [解题心得]根据三角形的内角和为180和内角的三角函数值，能进一步确定角的 取范，而此点最容易忽不考上述含条件，会出 c0sA=±两种情况，会有 c0sC取两值的错误情况，所以求值时一定要注意隐含条件，根据三角函数，进一步确 定一下角的取值范围， [例3](25-26高一下·辽宁朝阳期中)已知0<<，0<B<且cos=,cos(a十)= 求： (1)sina的值； (2)cosB的值 [思路点拨](1)2)利用平方关系及差角的正弦、差角的余弦公式求解. [自主解答](I)由0<a<,得<a十<，又因为cos=,则sin==, 所以sina=sin=sin cos-cos sin==. (2)由0<，0<，得0<a+B<π， 又因为c0s(a+)=, 则sin(a+)==, 又因为c0sa==, 所以cos3=cos[(a+)-a]=cos(a+)cosa+sin(a+)sina=×+×= [解题心得]对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角 的三角函数值，关键在于变角”，使“目标角"变换成“已知角”.若角所在的象限没有确 定，分情况，注意公式的正用、逆用、形运用，掌握其构特征，要会 拆角、拼角等技巧， 高考再现 >>>>>> 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.(2024:新课标1卷)已知cos(a+)=m,tan atan B=2,cos(a-)=() A.-3m B.- C. D.3m [分析]根据两角和的余弦可求cos acos B,sin asin B的关系，结合tan atan B的值 可求前者，故可求cos(a一)的值. [解析]因为cos(a+)=m,所以cos acos B-sin asin B=,而tan atan B=2,所 以sin asin B-=2 cos acos B,故cos acos B--2 cos acos B=m即cos acos B=-m,从而sin asin B-=-2m,故c0s(a-)=-3m,故选A. [答案]A 2.(全国甲卷)函数)=si在区间0，π)恰有三个极点、两个零点， ω的取 值范围是() A. B. C 0 [解析]由x∈(0，)，得ωx+∈，根据函数x)在区间(0，恰有三个极值，点，知 <πω+≤，得<ws.根据函数x)在区间(0，T)恰有两个零，点，知2<πω+≤3π，得<ω≤ 综上，ω的取值范围为<ω≤， [答案]C 3.(新课标全国I卷)已知sin(a一)=，cos asin B=,Dcos(2a+2)=() A B. C.- D.- [解析]依题意，得，所以sin acos B=,所以sin(a+B)=sin acos B-+cos asin B= +=,所以c0s(2a+2=1-2sin(a+)=1-2×=.故选B. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]B 4.(2026·全国l卷)已知a为第二象限角，3sin2 acos a-=8 sin acos2a,=() A B. C. D [解析]由3sin2 acos a=8 sin acos2a,得：6 sin acos2a=8sina(cos2a-sin2a) 因为α是第二象限角， 所以sinc心0，cosc<0, 化简得：3c0s2a=4(2c0s2a-1), 即c0s2a= 由于c0sa<0,解得：cosa=-, 因为sina>0,所以sina==, 所以== [答案]C 5.(2024新课标川卷)已知a为第一象限角，B为第三象限角，tana+tanB=4,tan atan B=十1，sin(a+)= [分析]法一：根据两角和与差的正切公式得tan(a十)=一2，再缩小a十B的范 围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答 案。 [解析]法一：由题意得tan(a+)===-2,因为a∈，B∈，k,mEZ,则a+ B∈(2m+2)π+π，(2+2)元+2)，k,m∈Z,又因为tan(a+)=-2<0,则a+B∈， ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 k,m∈Z,则sin(a+<0,则=-2，联立sin(a+)+cos2(a+=1,解得sin(a+)= 法二：因为a为第一象限角，P为第三象限角，则cos心0，c0S<0,c0sa==, cosB==,sin(a+B)=sin acos B++cos asin B=cos acos B(tan a++tan B)=4cos acos B- ==一 [答案]一 6.(2025·北京卷)已知a,B∈[0,2m,且sin(a+)=sin(a-),cos(a+)cos(a 一写出满足条件的一组a,β的值a= ,B= [解析]因为sin(a+)=sin(a-B),cos(a+)cos(a-),所以a十B,a-B的终 边关于y轴对称，且不与y轴重合，故a+B+a一B=π十2m,k∈Z且a+B≠+lm,IEZ, 即a=十饥，k∈Z,故取a=,B=可满足题设要求. [答案]答案不唯一)（答案不唯一） 课时作业（十九） 1.(25-26高一下·广东汕尾·期末)sim75c0s30°-sin30c0s75°=() A. B. C. D. [解析]sin75cos30°-sin30cos75°=sin(75°-30)=.故选B, [答案]B 2.已知sin acos a=,且<a<,cos a--sina的值是() 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A. B. 一 C.- D.± [解析]<a<,.∴cos a<sin a,∴.cosa-sina<0.cosa-sina=- [答案]B 3.(25-26高一下·河南洛阳·期末)已知sin(a+)=,tana=tan B,sin(a一)=( A. B.- C. D.- [解析]由sin(a+)=,可得sin acos B-+cos asin B=,由tana=tanB,可得=， 所以2 sin acos B=cos asin B,所以sin acos B=,cos asin B=,所以sin(a-)=sin acos B-cos asin B=-.故选B. [答案]B 4.(2026·四川眉山)函数y=sn2元x十c0s2元x的图象的最小正周期是() A.1 B.π C.2 D.2元 [解析]y=sin2πx+cos2πx=2=2=2sin,所以最小正周期为=1，故选A. [答案]A 5.(25一26高一下.四川攀枝花·期末)的值) A.- B. C.- D. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]cos250°=cos(180°+70)=-c0s70°，c0s225°-sin155°=cos225°-sin25° =c0s50°=sin40°，则原式==- =一=一=一.故选C [答案]C 6.(2026江西九江·三模)已知sina-cosa=,Dcos=() A.- B.- C D. [解析]sina-cosa=in=,即sin=,cos=cos=-sin=一.故选B. [答案]B 7.(2026·广东湛江)tan20°+十ta20tan40°=() A.1 B. C. D.2 [解析]因为==tan(45°-5)=tan40°，且tan60°=tan(20°+40)==，可得tan 20°+tan40°=(1-tan20tan40),所以tan20°++tam20tan40°=tan20°+tan40°+tan 20tan40°=(1-tan20tan40)+tam20tan40°=.故选C. [答案]C 8.(2026·广东省江门市高一下学期期末)在△ABC中，cosA=,tanB=2,tan(A十 B)=() A.2 B C.-2 D.- ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因为在△ABC中，cosA=>0,所以A为锐角，所以sinA===,tanA== =,则tan(A十B)===-2.故选C. [答案]C 9.(25一26高一下.甘肃白银.期末)tan35°+tan100°-tan35tan100°= [解析].tan135°==-1， .∴.tan35°+tan100°=-1+tan35tan100°， .∴.tan35°+tan100°-tan35tan100°=-1. [答案]一1 10.(25-26高二下.云南保山期末)已知c0s7°=m,sin76°= (用含的 式子表示). [解析]sin76°=sin(90°-14)=cos14°=2cos27°-1=2m2-1 [答案]2m2-1 11.(2026陕西榆林市第一中学高一期中)化简计算：= [解析] ==sin45°=】 [答案] 12.(25-26高一下·山东东营期末)已知a∈，且cos=,0c0sa= [解析]因为aE, 独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以a+∈， 又因为c0s=,所以sin=, 所以c0Sa=c0s=COS cos十Sin sin=, 故c0sa的值为. [答案]/ 13.(25-26高一下·福建漳州·期中)已知sin(x+)=,tanx=4tany.求： (I)sinsin-cos cos的值， (2)sin(x一y)的值 [解](1)因为sin(x+y)=, 所以sin sin-c0scos =-c0S =-C0S =-sin(x+)=-. (2)因为tanx=4tany, 所以=， psin x cos y=4cos x sin y, 因为sin(x+y)=sin x cos y+cosx sin y=, 所以5c0 sx sin y=, 解得cos x sin y-=,sin x cosy=, 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 Sin (x-y)=sin x cos y-cos x sin y=-=. 14.已知a)=. (1)化简； (2)若cos=,且a为第三象限角，求a). [解](1)a)= ==-cOS a. (2).a为第三象限角， 则2m+<a十<2π+， ∴sin=-, 而sin=sin cos十cos sin, .C0Sa=-×十×=， 则a)= ·独家授权侵权必究