第3章 第3节 三角函数的图象和性质-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第三节 三角函数的图象和性质 教材梳理 >>>>>> 知识点三角函数的图象与性质 三角函数 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx 图象 2 3 2m\ 定义域 R R {xr∈R,≠hm+,k∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 在 在[2c一元，2匹] (kEZ上是增函数， (k∈Z上是递增函数， 花 性 在 在[2L,2匹+π] (k∈Z☑上是递增函数 (∈Z上是递减函数 k∈Z 上是递减函数 周期是2m(k∈Z且 周期是2m(k∈Z且 周期是π(k∈Z且k≠0)， 周期性 k≠0)，最小正周期是 k≠0)，最小正周期是 最小正周期是亚· 2死-· 2L一 对称轴方程是x三土 对称轴方程是x三 称性 匹（∈Z,对称中心是匹(k∈Z，j 对称中心是对称中心是EZ· (m.0)k∈Z (kEZ· [常用结论] 1.对称与周期 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相 邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2.奇偶性 若f尤x)=Asin(ox十p)(A0,ω0)，则： (1)优)为偶函数的充要条件是0=十π(kEZ) (2)x)为奇函数的充要条件是o=π(k∈Z) 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×"） (1)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.（) (2)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.（) (3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.() (4)y=sinx是偶函数.（) [解析](I)余弦函数y=c0sx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条. (2)正切函数y=tax在每一个区间k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函 数，故不是增函数 (3)当>0时，yms=k+1;当0时，ym=-k+1. [答案](1)×(2)×(3)×(4)V 教材衍化 独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.(2026陕西汉中·模拟预测当x∈[一2元，时，曲线y=sinx与y=cosx的交点个 数为() A.2 B.3 C.4 D.5 [解析]曲线y=snx与y=cosx的图象如下，所以交，点个数为3，故选B. y y=cosx y=sin x -2m [答案]B 3.(2026·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末)tam2023° tan53°. (用“>”、“<”或“="填空) [解析]因为tan2023°=tan(11×180°+43)=tan43°，当0<a<90°时，tana随着a 的增大而增大，因为0°<43<53<90°，故tan2023°=tan43°<tan53°. [答案]< 考题体验 4.(全国川卷)若：=，=是函数fx)=sin wx(w>0)两个相邻的极值点，则ω=( A.2 B C.1 D. [解析]由题意及函数y=snox的图象和性质可知，T=一，.T=π，'.=π，'.ω =2.故选A. [答案]A 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5. (多选题(2026·山东新高考模拟)已知函数fx)=sin(x∈R),下列结论正确的是( A. 函数x)的最小正周期为2元 B.函数x)在区间上是增函数 C.函数x)的图象关于直线x=0对称 D.函数x)是奇函数 [解析]由题意可得x)=-c0sx,最小正周期T==2T,所以选项A正确；y=C0s x在上是减函数，所以函数x)在区间上是增函数，所以选项B正确；尤-x)=一C0S(一 )=一C0Sx=x),所以函数x)是偶函数，其图象关于直线x=0对称，所以选项C正 确，选项D错误.故选ABC [答案] ABC 典例精讲 ’)>>,》® [例1](25一26高一下·陕西渭南期中)求下列函数的定域. (1y=, (2x)=. [思路点拨](1)根据根号下大于等于0得到不等式，再结合正弦函数性质解出即 可 (2)根据根号下大于等于0得到不等式，再结合余弦函数性质解出即可· [自主解答](1)要使得函数有意义，则2sinx-≥0，即sinx之 解得+2π≤r≤+2π(k∈Z 故函数定义域为(kEZ 独家授权侵权必究 令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)要使得函数有意义，则2c0sx-1,即c0S2 解得-+2π≤r≤+2π(k∈Z) 故函数定义域为k∈Z [解题心得](1)求三角函数的定义域，既要注意一般函数的定义域的规律，又要注 意三角函数本身的特有属性，如题中出现tanx,则一定有x≠π+，k∈Z (2)求三角函数的定义域通常使用三角函数线，三角函数图象和数轴. [例2](25一26高一下.北京朝阳期中)已知函数x)=.求： (1x的定义域： (2))的值域. [思路点拨](I)根据题意snx一≥0，求解x的范围； (2)根据初等函数的性质求解x)的范围. [自主解答](1)根据题意可得，sinx-≥0，即sinx之，则2k饥+≤x≤2km十，kEZ, 故)的定义域为 (2)由(1)可知，1≥sin之， 故≥≥0，所以0s贰)≤， 故x)的值域为. [解题心得](I)将原函数式化为y=Asin(ωx+o)+B,y=Acos(ax十o)+B型或化 为关于six(或cosx)的二次函数式，利用换元法进行配方可解决问题 (2)关于y=acos2x+b cosx-十c(或y=a sin'x+b sinx+c,a≠0)型或可化为此型的函数 求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题，切忌忽视函数的定义域： (3)元法，旨在三角代数化，要防止破坏等价性 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [例3]已知函数)=si2x-cos2x. (1)求)的最小正周期和最大值； (2)讨论x)在上的单调性 [自主解答](1)x)=sin2x-cos2x=sin.因此fx)的最小正周期为元，最大值为1. (2)当x∈时，0s2x一≤π，从而当0≤2x-≤，即≤≤时，x)单调递增.当≤2x一 ≤π，即≤≤时，)单调递减. [解题心得] 将解析式化简为y=Asin(ωx+p) 或y=Acos(ωx+P) 令t=ωx+p,将原函数转化为 y=sint或y=cost A>0,w>0时 A>0,o<0时 ωx+p代入y=sinx 先利用诱导公式化成 y=cosx)的对应单调 ω>0，再求解。 区间，建立不等式求解 求函数的单调区间应遵循简单化原则： 掌握求三角函数单调区间的2种方法 就是将比复的三角函数含自量的代数式整体当作一个角 (或t),利用复 代换法 合函数的单调性列不等式求解 图象法 画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间 [例4](25一26高一下·陕西渭南·期中)已知函数x)=. (1)判断函数x)的奇偶性； (2)若a)=,且a∈，求a的值. ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [思路点拨](1)首先利用诱导公式、平方关系将函数解析式化简，再求出函数的定 义域，再计算一x)即可判断； (2)依题意根据平方关系可得2cos2a+=,即可求出cos2a,从而求出a的值. [自主解答](1)x)= --2sin2x. 即fx)=-2sin2x, 由C0sr≠0，得x≠+饥，k∈Z,所以函数x)的定义域是，关于原，点对称. 因为尺-x)=-2sin(-) =-2sin'x=f(x), 所以x)是偶函数. (2)因为fa)=-2sina=, 所以-2(1-c0s2a)=, 即2c0s2a+=, 解得cos2a=或cos2a=2(舍去) 又a∈，所以c0sa=,所a=. [解题心得](1)判断函数的奇偶性，首先要判断其定义域是否关于原点对称，之后 再作进一步判断 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)在求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含有一个三角函数的式子， 否很容易出 高考再现 1.(2025新高考1卷)若点(a,0)(a心0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a 的最小值为() A. B D. [解析]根据正切函数的性质，y=2tan的对称中心横坐标满足x一=，k∈Z,即y =2ta1的对称中心是，k∈Z,即a=十，k∈Z,又因为>0，则k=0时a最小，最小值 是，即a=.故选B [答案]B 2.(2026·北京卷)fr)=sin(r+p)(0<0<2),将fx)向x轴正方向平移30个单位，得 到的函数像与x)图像关于x轴对称，则的取值个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 [解析]将x)=sin(c+o)向x轴正方向平移3p个单位得g(x)=fx-3p)=sin(x-3o +0)=sin (x-20). 由题意，gx)与)的图像关于x轴对称，即g()=一x)恒成立， 即sin(x-2p)=-sin(c+p)=sin(-x-p).分两种情形讨论： ①x-20=-x-0+2m→2x-0=2饥(k∈Z),对任意x不恒成立，舍去； ②x-20=π-(-x-)+2m=π十x十0+2m(k∈Z,化简得 独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 -20=π+0+2π→30=-π-2π，即0=-1+2) 由0<0<2π得0<-(1+2附<2π→k=-1,-2,-3, 对应0=，兀，，因此p的取值个数为3. [答案]C 3.(全国乙卷（理）)已知函数，=si(ωx十p)在区间单调递增直线x=和x=为函 数y=x)的图象的两条相邻对称轴，则f=() A.- B.- C. D. [解析]由题意得×=一，解得ω=2，易知x=是x)的最小值点，所以×2十0=+ 2m(k∈Z☑），得p=+2r(k∈Z),于是尤)=sin=sin,f=sin=sin=.故选D. [答案]D 4.(2026·上海卷)已知三角函数)=Asin(wt+o)+B,(A>0,B∈R,w>0, 0s0<2),若0=)，当o=0或v=4时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到 4时用时为0.1秒，则)= [解析]由题意知，)=0和)=4时，导数为0，即)的最小值为0，最大值为 4, 又由于)∈[-A+B,A+B], 所以，解得， 故)=2sin(wt+o)+2; 已知初速度为0，则f0)=2sinp+2=0, 解得sin0=-1, 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 已知0≤0<2π，则p=, 速度第一次达到4时用时01秒， 则=0.1→T==0.2,即w=10元， 此时ft)=2sin+2, [答案]2sin+2 5.已知函数fx)=sin.给出下列结论： ①x)的最小正周期为2π； ②f是x)的最大值： ③把函数y=sx的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y=x)的图 象 其中所有正确结论的序号是() A.① B.①③ C.②③ D.①②③ [解析]本题考查三角函数的性质和图象的平移变换.的最小正周期T==2元， 故①正确；因为f=sin=≠1，所以f不是f代x)的最大值，故②错误；把函数y=six的 图象上所有，点向左平移个单位长度，得到函数y=sn的图象，故③正确，故选B [答案]B 6.(2026·全国1卷)已知x)=2sin(ax+)(a∈Z,0s2π)是偶函数，fx)在区间上单 调递增则0= ,f= [解析]设函数x)的最小正周期为T,由题意可知a0, 因为函数x)在上单调递增，则>，即T≥π， 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 可得≥π，解得as2, 且a∈Z,a≠0，则lad=1,2. 因为函数x)=2sin(ax十)为偶函数， 则0=π十，%∈Z,且0≤0<2π， 则%=0,1,8=，， 若0=，则d=2sin=2 cos ax=2cos(ar), 即)=2c0sx或x)=2c0s2x,不符合题意， 若0=，则尤x=2sin=-2 cos ax-=-2cos（dx), 即x)=-2c0sx或fx)=-2c0s2x,特合题意； 且f=-2c0s=1或f=-2c0s=-2c0s=2c0s=1; 综上所述：0=，f=1. 7.(2026北京卷)已知函数e)=2 sin wx cos o+2 cos wx sin,w>0,[pK,)最小 正周期为元，且f0)>0,f=1 (1)求ω、0的值； (2)求x)的单调递减区间. [解](1)因为f)=2 sin ox cos+2 cos wx sin o, 所以x)=2sin(awx+p), 又因为x)的最小正周期为兀，ω>0， 所以=几，所以0=2， 独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为0)>0，f=1, 所以sinw>0,2sin=1, 所以0<0<，由诱导公式sin=C0S0=, 所以0=， 所以fr)=2sin, (2)令2m+≤2x+≤2π+，k∈Z, 可得饥十≤sπ+，k∈Z, 函数fx)=2sin的单调递减区间为(k∈Z 课时作业（十八） 1.(2026·湖北期末)当x∈(0,2)时，曲线y=2+cosx与直线y=x的交点个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 [解析]作出函数y=2+cosx和y=x的图象，记x)=2+cosx,g(x)=x,函数 y=2+c0s x 2π y=2+c0sx在[0，]上递减，在[π，2上递增，)=1<g()=,0)=3>g(0)=0, 2)=3>g(2π)=，结合图象知在(0,2)上有两个交点，故选A [答案]A 2.(2026·江苏盐城模拟预测)函数y=cosx与y=lgx的图象的交点个数是( ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.2 B.3 C.4 D.6 [解析]函数y=cosx与y=lgx都是偶函数，其中cos2π=cos4π=1，lg4心lg10 =1>lg2π，在同一坐标系中，作出函数y=c0sx与y=lgd的图象，如下图，由图可 知，两函数的交点个数为6.故选D. y↑ y=lglxl y=cosx 4r3-2πm 2π3t 4πx [答案]D 3.(2026·上海徐汇·高一统考期末)函数y=3si的一条对称轴层) A.x=0 B.x= C.x=- D.x= [解析]令x十=+m,k∈Z,可得x=+m,k∈Z,令k=0,可得x=.所以函数y =3sin的一条对称轴是x=.故选B. [答案]B 4.(25一26高三上·河北衡水·期末)若点(a,0)(a心>0)是函数y=tan的图象的一个对称 中心，则a的最小值为() A. B. C. D [解析]依题意，a-=m,k∈Z,即a=+饥，k∈Z,又a>0,故a的最小值为.故 选B [答案]B 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 5. 函数x)=sin在区间上的最小值为丸 A.-1 B.- C D.0 [解析]由已知x∈，得2x-∈，所以sin∈，故函数)=sn在区间上的最小值为 [答案]B 6.(2026·重庆·高一校联考期末)函数孔)=2sn,x∈[0，的单调减区间是() A. B. C. D. [解析]令+2m≤r+≤+2m,k∈Z,所以+2m≤s+2阮，k∈Z,当k=0,≤s, 由于S,故D正确，ABC均错误，故选D. [答案]D 7.(25一26高一下.云南楚雄期末)已知x)是在R上单调递增的奇函数，则函数y =x)cosx在[-2,2]上的图象可能为() \s\up70 0 s\up70 Aslup70 [解析]由-x)cos(-x)=-fx)cosx,得y=x)cosx是奇函数，故C不符合题 意.令y=x)Cosx=0,得x=0或±，故D不特合题意.当0<K时，x)>O)=0,c0s ⊙0，所以y=x)c0Sx>0,故A不符合题意.故选B 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]B 8.(25一26高一下·山东潍坊·期末)已知函数fx)=tan,则() A.尤x)在定义域内是增函数 B.)是奇函数 C.x的最小正周期为元 D.x)图象的一个对称中心是 [解析]由于f=tan=>)=tan=-,故A错误；由于x)在x=0处有定义，但 O)=tan=一≠0，故B错误；fx)的最小正周期为，故C错误；f=tan=0,故是fx)的 一个对称中心，故D正确，故选D. [答案]D 9.下列函数中，周期为元且在上是减函数的层) A.y=sin B.y=cos C.y=sin 2x D.y=cos 2x [解析]对于函数y=c0s2x,T=元，当x∈时，2x∈[0，]，y=cos2x是减函数. [答案]D 10.(2025·上海卷)函数y=cosx在上的值域为 [解析]由函数y=c0sx在上单调递增，在单调递减，且f=0,0)=1,f=,故函 数y=cosx在上的值域[0,1]. [答案][0,1] 11.(2026·上海徐汇·高一统考期末)函数y=2cos七，x∈的值域为 [解析]因为x∈，所以cosx∈[0,1]，所以y=2c0sx∈[0,2]. ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案][0,2] 12.(2026·上海嘉定·期中)若tana=tanB,且满足a<B,则B-a的最小值为 [解析]y=tanx周期为π，且在区间上为单调增函数，.tana=tanB,故B-a= m,k∈Z.且aB,故B-a的最小值为π. [答案]π 13.函数fx)=4cos2x+4cosx-3-a,当x∈时)=0恒有解，数 a的范围是 [解析]x∈→cosx∈，令fx)=0,得a=4cos2x+4c0sx-3,令t=cosx∈，y=4P+ 4t-3,其对称轴t=-，所以y=4f十4t-3在上递增，当t=-时，y取得最小值-4， 当t=1时，y取得最大值5所以a的取值范围是[-4,5]. [答案][-4,5] 14.(25-26高一下·北京延庆·期末)函数x)=sin ox(w>0).已知)=1，)= 1,且一的最小值为，则w=一 [解析]由于x)=siω(w>0)的最大值为1，结合f)=1,)=1且，一的最 小值为，故函数的周期T=,故ω==8 [答案]8 ·独家授权侵权必究