第3章 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 教材梳理 >>>>> 知识点1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sina+cos2a=1; (2)商数关系：tana= 知识点2三角函数的诱导公式 公式 二 三 四 五 六 角 2m+a(k∈Z) 兀十a 元一a -a +a 正弦 sin a -sin a -sin a sin a cos a cos a 余弦 cos a -cos a cos a -cos a sin a -sin a 正切 tan a tan a -tan a -tan a 口诀 函数名不，符号看象限 函数名改变，符号看象限 [常用结论] 1.若a∈，则tana>a>sina. 2.同角三角函数的基本关系的几种变形 (1)sin'a=1-cosa=(1+cosa)(1-cos a) (sina±cosa)2=1±2 sin acos a. (2)sin a=tan acos a. (3)sin'a== cos a==. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 诊断自测 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“厂"或“×） (1)若a,B为锐角，则sina十cos2B=1.() (2)sin(π+a)=一sina成立的条件是a为锐角.() (3)若a∈R,则tana=恒成立.（) (4)若sin(m-a=(k∈Z,则sina=.() [解析](1)对任意的角a,sina+cos2a=1. (2)中对于任意a∈R,恒有sin(π+a=-sina. (3)中当a的终边落在y轴上时，商数关系不成立. (4)当k为奇数时，sina=, 当k为偶数时，sina=-. [答案](1)x(2)×(3)×(4)x 教材衍化 2.(25一26高一下.贵州遵义·期末)已知tana=3,0<a<,则sina=() A B C D.- [解析]因为0<c<,故a是第一象限角，因此sima>0且tana=3,故=3，又sima +cos2a=1,sina十=1，解得：sina=,sina=-(舍去)，故选A. [答案]A 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.(25一26高一下·贵州黔西期末)已知sima=,且a是第一象限角，则() A.Sin(2π+a=一 B.sin(π-a=- C.cos (-a)=- D.tan (n+a)= [分析]由题意得cosa==,tna==,结合诱导公式逐一验算各个选项即可求 解， [解析]已知sina=,且a是第一象限角，因此cosa>0,则cosa==,tana= =,sin(2π十a)=sina=,故A错误；sin(π-a)=sina=,故B错误；cos(-)=c0sa =,故C错误；tan(π十a)=tana=,故D正确.故选D. [答案]D 考题体验 4.(25一26高一下·云南曲靖·期末)已知5tan-1=0,则=() A. B C.5 D.10 [解析]由题意得tan=,即tan=,由正切函数诱导公式可得tan=,由tan= =,解得tan0=5,故=tan0=5.故选C. [答案]C 5.(2026盐城模拟)已知角a的终边经过点（一4,3），则cos(2a+)=() A. B.- C D [解析]由题意得cosa==-,所以c0s(2a十m)=-c0s2a=1-2cos2a=-,故选B. [答案]B 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 典例精讲 [例1](25-26高一下·陕西汉中·阶段练习)化求： (1) (2)sin (a-2)-2cos -cos2+sin (-a); (3)若sin(3π一a)=一3cos(a一6m),求的值. [思路点拨](1)根据诱导公式化简即可； (2)根据诱导公式化简即可； (3)先根据诱导公式化简，再结合同角求值进行切弦互化，即可求解 [自主解答] (1) ==-1. (2)sin (a-2m)-2cos -cos2+sin (-a) =sin a-2sin a-sin2a+(-sin a) =-sin a. (3)由sin(3π-a)=-3cos(a-6m), 得sina=-3cosa,所以 二 又因为sina=-3cosa, 独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以 ===-8. [解题心得]用公式化三角表达式一般多从正面直接用公式行化，在 此种情况下最容易出错的地方是三角函数的符号，为此需要牢记诱导公式，可通过“函 数名不口符号君像限"这一简便记法理解记忆. [例2]已知sin(0+m)=-2cos(0+m,k∈Z.求： (1), (2)sim20+co520 [思路点拨]此类题目的一般做法是：化简已知条件，把化简得到的三角函数式用 已知表示，然后代入已知求解. [自主解答]由已知得cos(0+m)0. .∴.tan(0+m)=-2,k∈Z, 即tan0=-2. (1)==10: (2)sim20+cos20= 三三 [解题心得]已知tana的值，求形如a sina+b sinacos a十ccos2a的值，可将l= sina+cos2a代入，化关于 tana的函数后再求值， [例3](25-26高一下.北京朝阳·期中)已知sina+cosa=,0<<π.求： (I)sin acos a值； (2)tana的值， 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [思路点拨](1)利用平方关系(sina+cosa=,再结合同角三角函数关系式，即可 求解； (2)根据(1)的结果求：sina-cosa的值，再结合条件，即可求解. [自主解答](1)sina+cosa)2=1+2 sin acos a=,得sin acos a=--. (2)sin acos a-=-<0,且0KcKπ， 得<a<π，sina>0,cosa<0, 所以(sina-cosa)}=1-2 sin ac0sa=, sin a-cos a=, 联立， 得sina=,cosa=-, 则tana==一 [解题心得]于利用已知 α的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关 系及α所在的象限，求其他三角函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求 解.其关键在于运用方程的思想及(sin a+cos a)=1±2 sin acos a的等价转化，分析出解 决的突破口， [友情提示]在△ABC中常用的变形结论有： .A+B+C=π，2A+2B+2C=2π， 十十=， .∴.sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, COS (A+B)=cos (-C)=-cos C, 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 tan (+B)=tan (-C)=-tan C, sin (24+2B)=sin (2n-2C)=-sin 2C, c0S(2A+2B)=C0S(2π-2C)=C0s2C, tan(24+2B)=tan (2n-2C)=-tan 2C, sin =sin =cos, cos =cos =sin, 以上结论在熟练应用的基础上加强记忆· 高考再现 >>>>>> 1.(全国卷)若a∈，tan2a=,则tana=() A. B C. D. [解析].tan2a= .∴.tan2a===, .a∈，∴.cosa≠0，.=，解得sina=,.cosa==,tana==.故选A [答案]A 2.(全国·高考真题)若tan0=一2，则=() A. B.- C. 0 [解析]将式子送行齐次化处理得= ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =sin 0(sin 0+cos 0)= ==三故选C [答案]C 3.(2024·全国甲卷（文）)已知=，则tan=() A.2+1 B.2-1 C D.1- [分析]先将弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解. [解析]因为=，所以=→tana=1-,所以tan==2-1,故选B [答案]B 4.(2024·天津卷)已知函数x)=sn3(w>0)的最小正周期为π，则x)在的最小值( A B.-C.0 0 [分析]先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得fx)=-sn2x,再整体求出 x∈时，2x的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. [解析]尤y)=sin3=sin(3w.x+)=-sin3x,由T==π得w=,即fw)=-sin 2x,当x∈时，2x∈，画出x)=-sin2x图象，由图可知，fx)=-sin2x在上递减，所 以，当x=时，x)mn=-sin=一.故选A. 12 [答案]A 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.(全国乙卷（文）)若0∈，tan0=,则sinm0-cos0= [解析]因为0∈，则sin>0,cos>0,又因为tan0==,则cos0=2sin0,且 cos20+sin20=4sin20+sin20=5sin0=1,解得sin0=或sin0=-(舍去)，所以sin0-cos0 =sin 0-2sin 0=-sin 0=-. [答案]一 6.已知cos=,且0∈，则tan(0-一9π)的值是 [解析]cos=sin0=-, 因为0E,所以0E, 所以c0s8==, 所以tan8==-, 所以tan(θ-9m)=tan0=-. [答案]一 课时作业（十七） 1.(25-26高一下四川眉山期末)已知sinB=一，一<<0，则cosB=() A. B.- C.- D. [解析]因为sinB=-,-<B<0,所以cosB>0,又因为sinB+cosB=1,所以cos3 ===故选D, [答案]D 2.(25-26高一下·陕西渭南·期末)已知tan0=2,则=() 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 A.- B. C.- D [解析]由===一.故选C. [答案]C 3.设x)=asin(πx+a)+bcos(x+)+4(a、b、a、B是常数)且f2010)=5,则 2011)等于() A.1 B.3 C.5 D.7 [解析]2010)=asin(2010m+a+bcos(2010π+)+4=5，故asin(2010π+a) +bc0s(2010m+)=1;2011)=-asin(2010m+a)-bc0s(2010m+)+4=3 [答案]B 4.(2026·上海静安·期末)已知tana>0,sina<0,则角a的终边所在的象限为第 象限.() A.- B.二 C.三 D.四 [解析]由tana心0，sina0,则角a的终边所在的象限为第三象限.故选C. [答案]C 5.(25-26高一下·安徽·期中)若sinx一cosx=,则sin4x+cos4x=() A. B. C. D. [解析]由sinr-cosx=两边取平方， 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 可得(sinx-cos)2=1-2 sin x c0sx=, 解得sin x cosx=, 则sin4x+cosx=(sin2x十cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2×=.故选B. [答案]B 6.在平面直角坐标系中，若角a的终边经过点P,则sin(π十a=() A.- B.- C D [解析]由诱导公式可得：sinπ=sin=-sin=-,cosπ=cos=cos=,即P,由 三角函数的定义可得sina==,则in(π十a)=-sina=一.故选B. [答案]B 7.(2026广东湛江·阶段练习)若sin=,则cos等升) A.- B. C.- D. [解析]因为sin=,所以cos=sin=sin=.故选D, [答案]D 8.(2026北京·人大附中高一期中)已知=5，则tana=() A. B. C.- D. [解析]由==5，可得-sina-cosa=5(cosa-sina,即4sina=6cosa,故tana =.故选D. [答案]D 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 9. (25-26高一下·陕西商洛·期末)已知函数sn=,则cos=() A. B.- C. D.- [解析]由题意可得cos=cos=一sin=一.故选B. [答案]B 10.(2026·云南昭通·模拟预测)"sina+cos2B=1"是“a吐β=0"的() A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]若sina+cos2B=l,则sina=sinB,即sina=±sinp,得不出a±p=0,如a =±B,所以“sina十cosB=1"不是“±p=0"的充分条件；若a±B=0,则B=±a,可得 cos2B=cos2a,即sina+cosB=sin2a+c0s2a=1,所以"sina+c0sB=1"是“a吐B=0"的必 要条件；所以“sina十c0sB=1"是“a±B=0”的必要而不充分条件，故选A. [答案]A 11.(25一26高一下·北京·期未)使等式sina=cos成立的一个a的值为 [解析]因为cos=sin a-=cos, 所以-a=a++2c,k∈Z或-=a+十2m,k∈Z,所以a=一m,k∈Z. [答案]答案不唯一) 12.(2026上海·期中)已知tan(π+)=2，则sin acos al的值为 [解析]tan(π+a)=tana=2,则sin acos a====, [答案]0.4 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 13.(2026·浙江·东阳市横店高级中学高二阶段练习)已知sin(a-3)=2sin,则= [解析]因为sin(a-3)=2sin, 所以-sin(3π-a)=-2c0sa,得sina=2c0sa, 所以= == [答案] 14.(25-26高一下·河南驻马店·阶段练习)化简：sin(a-2)-2cos-cos2+sin(- 网= [解析]原式=sina-2sina-sina+(-sina)=-sina. [答案] -sin a ·独家授权侵权必究