第3章 第1节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第三章 DI SAN ZHANG 三角函数、三角恒等变换、 解三角形 第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 教材梳理 >>>>>> 知识点1角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 成的图形， (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ={BB=a+2L,k∈Z} 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同. 知识点2弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角a的弧度数公式 |a=(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°=rad;②1rad=o 弧长公式 1=ar 扇形面公式 S=Ir=ar2 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与孤度的换算的关键是π=180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一 致，不可混用 (②)利用扇形的孤长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是孤度. 知识点3任意角的三角函数 (I)定义：设α是一个任意角，它的与位交于点 P(x,y),那么sina= v,cos a=x,tan a=(x#0). (2)几何表示：三角函数可以看作是三角函数的几何表示.正弦的起点都在x轴 上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线 y A(1,0) A(1,0) M O M A(1,0) A(1,0) [常用结论] 1.一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦： 2.三角函数定义的推广 独家授权侵权必究 令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 点P(x,)是角a终边上任意一点且不与原点重合，r=OPl,则sina=,cosa =,tana=(x≠0) 3.象限角 第一象限角(a2km<α<2kπ+罗，k∈Z☑ 象限角的集合 第二象限角{@2km+是<a<2kr+m,kEZ 第三象限角a2km+T<a<2km+受，kEZ】 第四象限角a2km+变<a<2km+2m,kEZ 4.轴线角 终边落在x轴上的角{aa=km,k∈囚 轴线角的集合 终边落在y轴上的角 {aa=变+km,keZ) 终边落在坐标轴上的角{aa=专π，k∈Z) 诊断自测 3>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×”） (1)小于90的角是锐角.（) (2)角是第一象限角，第一象限角也都是角 () (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.（) (4)若a为第一象限角，则sina十cosa>l.() [解析](1)锐角的取值范围是， (2)第一象限角不一定是锐角. [答案](1)×(2)×(3)N(4)V ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 教材衍化 2.(25一26高一下·山东日照·期末)下列各角中，与角终边相同的角为) A.- B.- C D [解析]因为一=，所以一与角终边不相同，故A错误；一=2π，所以一与角终边 相同，故B正确；一=一，所以与角终边不相同，故C错误；一=一兀，所以与角终边 不相同，故D错误.故选B [答案]B 3.在一720°0范围内，所有与角α=45终边相同的角B构成的集合为 [解析]所有与角a终边相同的角可表示为B=45°+x360(kEZ),则令-720°≤45° +x360°<0(k∈Z),得-765≤x360<-45(k∈Z. 解得k=-2或k=-1, ∴.B=-675°或B=-315°. [答案]{-675°，-315} 考题体验 4.(多选题(2026·武汉调研)关于角度，下列说法正确的是() A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角 C.三角形的内角必是第一或第二象限角 D.若α是第二象限角，则是第一或第三象限角 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]时钟经过两个小时，时针转过的角是一0°，故A错误；钝角一定大于锐 角，显然B正确；若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故C错误； '角a的终边在第二象限，∴.2m十<a<2r十π，k∈Z,∴.m十<<r十，k∈Z.当k= 2n,n∈Z时，2r+<<2r+,n∈Z,得是第一象限角，当k=2n+1,n∈Z时，(2n+ 1)m十<<(2n十1)π+，n∈Z,得是第三象限角，故D正确. [答案]BD 5.(25一26高一下·上海青浦·期中)方程cos=,x∈，则x= [解析]由题设x+∈， 又因为c0s=,则x十=一， 可得x=-· [答案] 一/-π 典例精讲 [例1](1)写出终边在直线y=x上的角的集合； (2)已知α是第二象限角，求所在的象限 (3)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表 示为 [思路点拨](I)分角的终边在第一象限和第三象限讨论. ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (②)根据象限角的定义先写出第三象限角，再写的范围，最后确定所在象限， (3)注意边界线的虚实。 [自主解答]()当角的终边在第一象限时，角的集合为，当角的终边在第三象限 时，角的集合为，故所求角的集合为U= (2).a是第二象限角， .∴.2π+π<<2hπ+π(k∈Z), ∴.π+<<m十k∈Z) 当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角 综上知，当α是第二象限角时，是第一或第三象限角. (3)由图可知，角a用集合表示为(k∈Z☑) [解题心得]1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2π+ a(0sa<2)(k∈Z的形式，然后再根据a所在的象限予以判断， 2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终 边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k来求得所需角 [例2](25一26高一下·广东·期中)已知角a的终边在函数y=一x,x∈[0，+∞)的图 象上，求sina,cosa和ta1a. [思路点拨]根据三角函数的定义求解即可· [自主解答]在函数y=-x,x∈[0，+o)的图象上任取一，点P(2,-1),由任意角 的三角函数的定义可得sina==-,cosa==,tana==- ·独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解题心得]某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函 数值就相应确定.但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函 数值有两组要分别求解 [例3](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角 (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [思路点拨]根据周长与面积即可求解圆心角，根据周长求解最大面积. [自主解答](1)设圆心角是0，半径是R, 则解舍)， 故扇形圆心角为： (2)设圆心角是日，半径是R,则2R+R0=40 S=0R=R(40-2R)=R(20-R) =-(R-10)2+100s100, 当且仅当R=10时，Smm=100,0=2. 所以当R=10,0=2时，扇形面积最大 [解题心得]1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 2.本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使 问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法， 3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形 高考再现 >>>>>> 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 1.(全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收泉了计算圆 弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 AB上，CDLAB."会圆术"给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+.当OA=2, LAOB=60时，5=() A B C. D [解析]如图，连接OC, 因为C是AB的中点， 所以OC⊥AB, 又CDLAB,所以O,C,D三，点共线， 即OD=OA=OB=2, 又∠AOB=60°，所以AB=OA=OB=2, 则OC=,故CD=2-, 所以S=AB十=2十=，故选B. [答案]B 独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.(2026·天津卷)在△ABC中，BC=4,AC=3,coSA=一，则sinB= [解析]在△ABC中，cosA=一， 所以sinA===, 由正弦定理可得 Sin B===. [答案]/ 3.(2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角a与角B均以Ox为始边，它们的终 边关于原点对称.若a∈，则cosβ的最大值为一 [分析]首先得出B=a十π十2m,k∈乙，结合三角函数单调性即可求解最值. [解析]由题意得B=a十元十2m,k∈Z,从而cosB=cos(a+π+2m)=-cosa,因 为a∈，所以cosa的取值范围是，coSB的取值范围是，当且仅当a=,即B=+2m, k∈Z时，CosB取得最大值，且最大值为一. [答案]-/-0.5 4.在平面坐标系中，AB,CD,EF,GH是圆X+y=1上的四段弧（如图），点P在 其中一段上，角a以Ox始边，OP为终边，若tana<cosa<sina,则P所在的圆弧是( E A.AB B.CD C.EF D.GH 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]设点P的坐标为（化，），利用三角函数可得<心y,所以，所以P所在的圆 孤是EF [答案]C 5.(全国川卷)若α为第四象限角，则() A.cos 2a>0 B.cos 2a<0 C.sin 2a-0 D.sin 2a<0 [解析].a是第四象限角，∴.sina<0,cos心0， .∴.sin2a=2 sin ac0sa<0.故选D. [答案]D 课时作业（十六） 1.下列与2020°角的终边相同的角为() A.200° B.140° C.-220° D.220° [解析]因为2020°-220°=5×360°，所以2020°与220°终边相同，其他角不满 足.故选D [答案]D 2.(25一26高一上·天津·期中)一扇形的面积为π，圆心角大小为120°，则该扇形的 弧长为() A B.元 C.π D.π ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]设该扇形所在圆半径为r,则r=,解得r=2,所以该扇形的孤长为r=. 故选D, [答案]D 3.(25一26高二下·广东梅州期末)已知角a∈R,则a为第二象限角"是“cosa<0"的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]若a是第二象限角，则cos<0,故充分性成立；若cos<0,则a是第二 象限角或者第三象限角或者终边在x轴负半轴上，故必要性不成立，“α为第二象限 角”是“c0s0”的充分不必要条件，故选A. [答案]A 4.(2026·高一单元测试)已知角a的终边位于第二象限，则点P(sia,cosa)位于( A.第二象限 B.第三象限 C.第四象限 D.第一象限 [解析]因为角a的终边在第二象限，则sin心0，cos<0,所以，点P在第四象限. 故选C [答案]C 5.(2026·上海宝山期末)已知角a终边上一点P(m,2),若sina=,则实数m的值 为() A.1 B.2 C.±1 D.±2 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]由三角函数定义可得sina==,解得m=±l.故选C. [答案]C 6.已知角a的终边过点P(一8m,-6sin30),且c0sa=一，则m的值为() A.- B.- C. D. [解析]由题意得点P(-8,-3),r=,所以cosa==一，所以心0，解得= [答案]C 7.(2026高二上·北京.学业考试)在平面直角坐标系xOy中，角α以O为顶点.以 Ox为始边，终边经过点(1，-1)，则角a可以是() A.- B.- C. D.兀 [解析]由角a终边经过点(1，一I),可知tana=一1，且a为第四象限角，故选B [答案]B 8.(2026·高一单元测试)下列命题中，正确的是() A. 第三象限角大于第二象限角 B.若P(2a,)a0是角a终边上一点，则cosa= C.若a、B的终边不相同，则cosa≠cosB D.tanx=-的解集为 [解析]若a=-150°，B=120°，a,B分别为第三象限以及第二象限的角，但是 aB,故A错误；coSa==,故B错误；当a=-B+2k饥，kEZ时，c0sa=cosB,故C 错误；tanx=一得x=m-,k∈Z,所以D正确，故选D. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]D 9.(2026江苏南京)已知角a终边上有一点P,则π+a是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 [解析]法一：由任意角三角函数定义得sina=cos=cos=cos=,cosa=sin= sin=一sin=-,故a=十2m,k∈Z,可得π十a=十2m,k∈Z,故π十a是第四象限 角，故D正确， 法二：由诱导公式可得cos=cos=cos=,sin=sin=-sin=-,故得P,显然P 在第二象限，则a也在第二象限，而π十a与a关于原，点对称，故π十在第四象限，故 D正确. 法三：首先，我们知道是第四象限角，由第四象限角的三角函数值符号特征得C0S >0,Sin<0,故得P在第二象限，则a也在第二象限，而π十a与a关于原点对称，故π 十a在第四象限，故D正确，故选D [答案]D 10.(25一26高一下·广东·期中)利用单位圆写出符合条件sina≥的角α的集合是( A. B. D [解析]如图，作直线y=交单位圆于A,B两，点，连接OA,OB,则OA与OB围 成的区域（图中阴影部分）即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为. 独家授权侵权必究 零学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]A 11.(25一26高一下·上海嘉定期末)已知角a的终边经过点P(0,2),则cosa= [解析]由角a的终边经过点P(0,2),所以c0sa==0. [答案]0 12.(2026北京昌平.期末)在平面直角坐标系xOy中，角a与角B均以Ox为始边 它们的终边关于y轴对称.若角α的终边与单位圆交于点P,则cosB= [解析]因为角a与角B的终边关于y轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P,所 以+=1，解得=±，当m=时，即角B的终边与单位圆的交，点Q,所以c0sB=一. 当m=-时，即角B的终边与单位圆的交点Q,所以c0sB=一.综上所述，c0SB=一. [答案]-/-0.6 13.已知角，的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点 P3,4),则=一 [解析]根据角a的终边过P(3,4),利用三角函数的定义式，可以求得taa=, 所以有====10. [答案]10 14.(25-26高一下·上海期中)已知a的终边在直线y=2x(×0)上，则cosa= [解析]在角a的终边上任取一，点P(m,2m)(<0),则cosa===- ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]一 ·独家授权侵权必究