微专题拓展27 立体几何常考压轴小题全梳理（7大题型归纳）-2027届高三数学一轮复习讲义（新高考专用）

微专题拓展27 高中立体几何常考压轴小题全梳理 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 3 题型一：球截面面积计算 3 题型二：几何量定值问题 7 题型三：几何体盛液问题 11 题型四：几何量最值范围 15 题型五：空间交线问题 21 题型六：线段及和最值 25 题型七：空间角求解 29 03 课后拓展精练 33 高中立体几何压轴小题是选填题的核心区分点，融合空间想象、逻辑推理与运算能力，覆盖球、截面、最值、交线等高频考点，梳理题型体系与通用解法可实现精准破题。 针对七大常考题型，对应核心解法各有侧重：球截面问题紧扣 “球半径 — 截面圆半径 — 球心距” 勾股定理模型，结合外接球、内切球经典结论快速计算；几何量定值问题优先用特殊化法，选取极端位置、特殊点代入验证，辅以坐标法严谨推导；几何量最值范围问题分几何、代数两条路径，几何法定位临界位置，代数法建系转化为函数最值，结合不等式、三角函数求解。 空间交线与截面问题依托平面公理，用两点连线定交线、延伸补形定截面轮廓；线段及和值最值采用空间展开法、对称法，将空间路径转化为平面线段求解；空间角问题以定义法找角、向量法计算为核心，注意角度范围约束；几何体盛液问题抓住体积不变、液面水平的特点，转化为截面与体积的关系分析。 题型一：球截面面积计算 【典例1】（2026·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为    ，， 所以，则， 所以为与平面所成角，故，， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：B. 【变式1-1】（2026·高三·湖北荆州·阶段检测）三棱锥的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面的射影是线段的中点，，则平面被球O截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设中点为，点在平面的射影是线段的中点， 平面，，， 又，是等边三角形． 取中点为，连接交于，则是外心． 连接，在上取，使得，则为外心． 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为三棱锥外接球球心， 则四边形是矩形，． 连接，，设外接圆半径，设球半径为． 球的表面积为，． 在中，， 平面被球截得的截面面积． 故选：C 【变式1-2】已知正四面体内接于球，D为棱AB上点，满足．若存在过D点且面积为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正四面体棱长为，球半径为，截面圆的半径为，则，则， 设平面于，则是中心，且球心在上， 连接并延长与交于点，连接， 平面，平面，故， ，，平面，故平面， 平面，则， ，， 则，解得， 当截面过球心时，，此时棱长最短，故，； 当截面时，棱长最长，此时 ，即， 故，解得； 综上所述：. 故选：B. 【变式1-3】如图，在正三棱柱中，，与平面平行的平面截三棱柱得到截面，若几何体的体积为，且几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， ，所以， 又，所以，， 即． 因为到的距离为，所以到的距离为， 如图，设正方形的外接圆圆心为，半径， 设正方形的外接圆圆心为，半径， 已知几何体的所有顶点均在同一个球面上，设此球的半径为R， 设球心为O，则，解得，， 故该球的表面积为． 题型二：几何量定值问题 【典例2】（2026·上海松江·二模）在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】D 【解析】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C不符合条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 【变式2-1】（2026·高三·北京·阶段检测）如图，在正方体中，点Q是棱上的动点，下列说法中错误的是（    ）． ①存在点Q，使得； ②存在点Q，使得； ③对于任意点Q，Q到的距离为定值； ④存在点Q，是锐角三角形． A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，，设，其中， 所以，， 若，则存在实数使得， 则，无解，故①错误； 若，则，解得，故②正确； ，点到的距离为， 不是定值，故③错误； ，， 所以， 所以为直角三角形或钝角三角形，故④错误. 故选：D. 【变式2-2】（2026·河南·三模）在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题： ①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值； ③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值． 其中所有真命题的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】A 【解析】在正方体中，，平面， 因为平面，所以， 又因， 所以AC⊥平面， 因为平面，所以AC⊥DE， 所以直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题； 当点E在处时，点E到直线AB的距离为， 当点E在处时，点E到直线AB的距离为， 因为，所以②是假命题； 因为，平面， 所以平面， 故点E到平面的距离d为定值， 则为定值，所以③是真命题； 点E在处时，设正方体的棱长为， 则此时三棱锥的外接球半径为， 点E在的中点处时， 此时三棱锥的外接球圆心在上，设半径为， 则，解得， 则半径不同， 故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题． 故选：A. 【变式2-3】（2026·高三·北京密云·阶段检测）已知正方体的棱长为1，面对角线上有一长为1的动线段，面对角线上有一长为1的动线段，则四面体的体积（    ） A．有最大值但没有最小值 B．有最小值但没有最大值 C．有最大值也有最小值，但最大值不等于最小值 D．与两动线段位置无关，为定值 【答案】D 【解析】如图所示： 四面体与四面体一边相同，在 上， 所以， 四面体与四面体一边相同，在上， 所以， 所以，即， 所以四面体的体积与两动线段位置无关，为定值， 故选：D 题型三：几何体盛液问题 【典例3】（2026·高三·北京朝阳·开学考试）如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，再将容器以 为轴顺时针旋转，给出以下四个命题： ①有水的部分始终是棱柱； ②水面所在四边形 为矩形且面积不变； ③棱 始终与水面平行； ④当点 在棱 上且点 在棱 上（均不含端点）时， 不是定值. 则正确命题的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①有水部分的几何体，有两个面都垂直于，这两个面始终平行，若在棱上，由面面平行的性质知，//，而//，并且始终与水面平行，即有//，所以////EH，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱； 若点在棱上， EH //，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，①正确； ②水面是矩形，长度固定，但另一边会随旋转角度改变，因此矩形面积会变化，②错误； ③长方体中；平行于水面，不在水面平面内，由线面平行判定定理，水面，③正确； ④当点在棱上且点在棱上(均不含端点)时，有水部分的棱柱的底面为三角形，而水的体积不变，高不变，则底面面积不变， 即是定值， ④错误. 综上，①③正确，共个. 【变式3-1】（2026·高三·江苏·阶段检测）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】由题意知，水的体积为，如图所示， 设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于 由题意知，水的体积为 ，即， 在平面内，过点作交于， 则四边形是平行四边形，且 又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为, 在直角三角形中，. 故选：D. 【变式3-2】（2026·湖北宜昌·一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（    ） ①液面刚好同时经过，，三点； ②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为； ③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①若液面刚好同时经过,,三点,则液体的体积为四棱锥, 因为,所以①正确； ②当平面与液面成直二面角时,即为图2的位置,设液面与直三棱柱的交点为,如图所示, 因为直三棱柱的体积为, 所以直棱柱的体积为, 所以,即,则在中边上的高为, 因为在中边上的高为,所以液面与水平桌面的距离为,所以②正确； ③当液面刚好同时经过,,三点时,如图所示, 此时,则, 易得,则中边上的高为, 所以, 设点到平面的距离为,则,即, 即液面与水平桌面的距离为, 由棱柱的对称性可得点到平面的距离为,设与液面所成角为, 则,所以③正确, 所以①②③正确, 故选:D 【变式3-3】（2026·广东汕头·模拟预测）如图l，在高为h的直三棱柱容器中，，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设柱体的底面积为，则柱体的体积，注入水的体积为， 容器倾斜后，上半部分三棱锥的体积， 则可得，整理得. 故选：A. 题型四：几何量最值范围 【典例4】（2026·河南郑州·二模）已知正方形的边长为，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．三棱锥体积的最大值为 C．三棱锥的外接球的表面积为定值 D．与平面所成角的范围是 【答案】D 【解析】对于A中，因为为正方形，可得， 又由，且平面，所以平面，所以A正确； 对于B中，当平面平面时，此时到平面的距离最大， 即三棱锥高的最大值为， 此时三棱锥的最大体积为，所以B正确； 对于C中，由，所以三棱锥外接球的球心为， 即外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积为（定值）， 所以C正确； 对于D中，如图所示，取的中点，分别连接， 因为分别为中点，可得且， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为，所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， 在折叠过程中，设的长度为，则 由为的中点，所以， 在直角中，可得， 所以的取值范围为，即与平面所成的角的范围为， 所以D错误. 故选：D. 【变式4-1】（多选题）（2026·四川攀枝花·模拟预测）已知正方体的棱长为分别为的中点，P为正方体的内切球O上任意一点，则（    ） A．与所成角的范围是 B．球O被截得的弦长为 C．三棱锥体积的最大值为 D．的取值范围是 【答案】BCD 【解析】因为正方体的棱长为2，所以面对角线为，体对角线， 对于A，易知当三点共线时，与所成的角最小为， 取截面如下图所示， 易知，当与球相切时，与所成的角最大，设最大角为， 则，所以，得到，故A错误； 对于B，易知内切球的半径，且球心在正方体的中心，易得， 设球被截得的弦长为， 在中，易得， 如下图所示，在中， 由对称性可知，，且， 由余弦定理知，， 在中，， 解得或（舍）， 则弦长，所以B正确； 对于C，因为到面的距离为， 所以正方体的中心到面的距离为， 所以点到面的距离的最大值为， 因为， 所以，故C正确； 对于D，不妨设的中点为， 则， 由选项B知，，， 所以，， ， 当共线且同向时，， 当共线且反向时，， 所以，的范围为，故D正确. 故选：BCD 【变式4-2】（多选题）已知正方体的边长为2，体对角线的中点为．（    ） A．若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的最大值是 B．若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的最小值是 C．若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的体积的最大值是 D．若该正方体的面与球的球面没有公共点，则球的表面积范围是 【答案】BC 【解析】若该正方体的棱与球的球面有公共点，当球为正方体的外接球时，球的半径最大， 正方体体对角线是，即外接球半径是， 此时球的体积为，故A错误，C正确； 当球和每条棱相切时，球的半径最小， 如图，过作，垂足为， 此时最短半径，B选项正确； 球的半径满足时，也可保证和正方体的面无交点，球的表面积可以无穷大，D选项错误. 故选：BC 【变式4-3】（多选题）在棱长为2的正方体中，空间中的点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为 D．若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为 【答案】CD 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由，得，即点， 对于A，，则点，，， ，因此不成立，A错误； 对于B，，则，即， 令，则， 则当即时，的最大值为，B错误； 对于C，，在边上，且，， 因平面平面，设平面平面， 而平面平面，则，同理， 因此是平面截该正方体的截面， 点到直线的距离 ，当且仅当时取等号， ，C正确； 对于D，因，， 设平面的法向量，则， 令，得； 又，因，则， 令平面的法向量，则， 令，得. 设平面与平面的夹角为， 则，， 当时，，当时，， 当且仅当或时取等号，因，此时最小，，， 因此平平面与平面的夹角的正切值的最小值为，D正确. 故选：CD 题型五：空间交线问题 【典例5】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为______． 【答案】/ 【解析】设直线与直线分别相交于点， 连接并延长，交于点，交的延长线与点， 连接，交于点，交于点，连接， 其中与相交于点， 故六边形即为平面截正方体的截面， 设与相交于点，连接，则平面与平面的交线为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为6， 因为为的中点，，， 所以，， 因为，所以，故， 故，所以，解得， 故，同理可得， 故， 显然平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为， 则， 故，. 故答案为： 【变式5-1】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】/ 【解析】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量， 又直线：上有两个点，， 所以直线的方向向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：． 【变式5-2】（2026·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为________． 【答案】/ 【解析】连接，由题意知过点的平面与平面平行， 平面与平面、平面的交线分别为， 由于平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 所以或其补角即为所成的平面角， 设正四面体的棱长为1，，则， 在中，由余弦定理得 ， 同理求得， 故在中， ， 由于，则， 进而， 当时取等号，故的最小值为， 进而，故的最大值为. 故答案为：． 【变式5-3】（2026·四川绵阳·模拟预测）在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_______________． 【答案】2 【解析】如图：将三棱柱补成四棱柱，设N为棱的中点，连接. 因为在棱柱中，M，N分别是棱的中点，所以， 所以，所以四点共面，四点共面. 所以平面与平面的交线为即为，所以点到直线的距离即点到直线. 在底面四边形中，， 所以，即. 又在直棱柱中有，所以，即. 同理，即. 所以在平行四边形中，，， 所以， 由同角三角函数关系得. 设点到直线的距离为d，根据等面积法， 即，得. 故答案为：2. 题型六：线段及和最值 【典例6】（2026·高三·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】如图建立空间直角坐标系, 则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 【变式6-1】（2026·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________. 【答案】 【解析】取的中点，连接、、、， 因为点为棱的中点，所以，又且， 所以为平行四边形，所以， 所以，即、、、四点共面，连接，， 则，， 因为底面为菱形，且，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以， 将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点， 则， 又， 在中， 即， 所以， 即线段、的长度和的最小值为. 故答案为： 【变式6-2】已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为上的动点，则的最小值为________．    【答案】 【解析】方法一：如图1，连接. 因为正四棱柱的底面边长为1，侧棱， 所以，所以. 由正四棱柱的结构知，即，四边形为矩形. 将平面沿展开至平面，点至点，如图2. 则的最小值即的长度. 在中，， 由余弦定理得. 故答案为：. 方法二：如下图，建立空间直角坐标系： 则， 因为为上的动点，由可知， 所以可设， 所以， 所以， 令，则即， 求最小值即求平面直角坐标系中，点到点的距离之和的最小值， 如下图，作点关于x轴的对称点， 则所求最小值为. 故答案为：. 【变式6-3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为线段上的动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】平面 ，，平面 易知：，， 在中，. 利用余弦定理得到：，所以. 将翻折至与平面共面，如图所示： 则图中， 当为与的交点时，取得最小值. 此时，. 故答案为 题型七：空间角求解 【典例7】（公式定理58 面积射影定理【思想方法】）已知四面体A−BCD中，对棱相等，侧面ABC、ACD、ABD与底面BCD所成的二面角分别为锐角α、β、γ，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】因为四个面三角形全等，根据面积射影定理， ，，， 所以， 因为，所以 故答案为：. 【变式7-1】（2026·湖北武汉·二模）在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 【答案】 【解析】因为平面，所以为直线与平面所成的角， 中，，，外接圆的半径为， 所以， 不妨设点为定点，点在以为弦，半径为的圆上运动， 所以的最大值为直径， ，当时，的最小值为. 【变式7-2】（2026·高三·福建·阶段检测）已知三棱锥中，平面平面，.设直线与平面所成的角为，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】由已知易得是直角三角形， 过点作，垂足为，易得， 连接， 因为平面平面， 由面面垂直的性质定理，可得平面， 所以，，可知当取最小值时，最大. 设，，则. 因为，所以， 即， 所以，可得当时，取得最小值，最小值为， 即的最小值. 所以的最大值为. 故答案为： 【变式7-3】已知正四面体的棱长为2，动平面交线段，（含端点）于点，，且平面平面，设平面和平面所成二面角的平面角为，则的最大值为______. 【答案】 【解析】设在平面上的投影为，则平面，平面平面， 故平面，正四面体，故为中心. 为中点，连接，，则，，， 故平面，故为与平面所成角， 中，，，， 故， 设平面平面，于，于，连接， 平面，平面，故，，则平面， 故，，故为平面和平面所成二面角的平面角， ，故， 当时等号成立. 故答案为：. 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，为线段上一动点，则（     ） ①三棱锥的体积为定值 ②直线与的夹角的大小的取值范围是 ③的最小值为 ④当时，平面截该正方体所得截面的面积为 A．③④ B．①③ C．①④ D．①② 【答案】C 【解析】对于①，因为，，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面，又因为， 可知点到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故①正确； 对于②，因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，平面， 可得平面，由平面可得，同 理可证：，且， 平面，平面，可得平面， 又因为平面，则，所以直线与的夹角的大小为，是定值，故②错误； 对于③，因为为等边三角形，为等腰直角三角形（）， 当点为的中点时，则，，即此时，均取到最小值， 且，，所以的最小值为，故③错误； 对于④，设， 因为，则，即，可知点为的中点， 设，的中点分别为，，连接，，，，， 因为，，且，，则，， 可知四边形为平行四边形，则，又因为，， 可知四边形为平行四边形，则，可得， 可知平面截该正方体所得截面为四边形， 且，， 所以所求截面的面积为，故④正确. 2．（2026·高三·安徽·开学考试）已知空间直角坐标系中，棱长为2的正方体的顶点在轴上运动，顶点在平面内运动，则顶点与坐标原点的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知为边长为的等边三角形，取E为的中点，则. 连接,由题意知，,则. ,当且仅当三点共线时取得最大值． 3．（2026·高三·河北沧州·开学考试）在正三棱台中，，，点为的重心，点为棱台的底面上（包括边界）一点，若直线平面，则长的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点作分别交、于点、，过点作交于点， 过点作交于点，连接，如下图所示， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 在正三棱台中，，，所以， 又因为，所以，故、、、四点共面， 因为，、平面，所以平面平面， 当点在线段上运动时，平面，则平面， 所以点的轨迹为线段， 连接并延长交线段于点，则为的中点，由重心几何性质可知， 在正三棱台中，，，则，， 因为，所以，所以，同理可得， 因为，所以，故， 因为，，故四边形为平行四边形， 所以，，故为的中点， 因为，所以为的中点，故， 又因为，故四边形为平行四边形，所以， 又因为，，故四边形为等腰梯形， 因为，所以， 因为为的中点，所以，则有，即为的中点， 由等腰梯形的几何性质可知， 又因为，，故，所以， 因为，，所以四边形为平行四边形，故， 同理可得，故， 取线段的中点，则， 由图形可知，当点与点重合时，的长取最小值，且最小值为， 当点与点或点重合时，的长取最大值，且最大值为， 综上所述，线段的长的取值范围是. 4．（2026·高三·山东·阶段检测）由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为（）的液体，在正方体自由旋转的过程中，若液体形成的几何体可能是三棱锥，则x的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，正方体自由旋转时液面为水平面，等价于用一个平面截正方体， 截出的几何体为三棱锥，该三棱锥的顶点是正方体的一个顶点， 三条侧棱分别在从该顶点出发的三条正方体棱上； 设侧棱长为，，则液体形成体积， 当且仅当时，． 5．（2026·高三·山东聊城·开学考试）由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为的液体，在正方体自由旋转的过程中，液面形成图形记为，液体形成的几何体记为，则下列说法错误的是（    ） A．可能是正三棱锥 B．不可能为直角三角形 C．当时，的面积最大值为 D．当为三棱锥时，的体积最大值为 【答案】C 【解析】对于A．取正方体一个顶点为 ，与 相邻的三个顶点分别为 ． 当液面所在平面为平面 ，且液体位于点 一侧时，，且 两两垂直． 于是 ，三角形 为正三角形； 又因为 ，所以点 到平面 的垂足为正三角形 的中心，故几何体 为正三棱锥． 此时 故当注入液体体积为 时， 可以是正三棱锥，A 正确． 若液面截面 Γ 为三角形，则该截面从正方体的某一个顶点处截下一个三棱锥，因此三角形 Γ 的三个顶点分别位于从该顶点引出的三条两两垂直的棱上． 对于B．若 为三角形，则截平面截正方体某一顶点 引出的三条棱． 设三个交点为 ，且 由于这三条棱两两垂直， 因此 由余弦定理可知，三角形 的三个角均为锐角，故 不可能为直角三角形，B 正确． 对于C．当注入液体体积为 时，取正方体的一个对角截面作为液面． 该截面经过正方体中心，并把正方体分成体积相等的两部分，因此符合液体体积为 的条件． 此时截面 是边长分别为 和 的矩形，所以 又所以 的面积最大值不可能是 ，C 错误． 由 B 项中的位置关系可知，当 Ω 为三棱锥时，液面 Γ 为三角形，其三个顶点分别位于正方体同一顶点引出的三条棱上． 对于D．当 为三棱锥时，它必为截平面从正方体某一顶点处截下的四面体． 设从该顶点沿三条互相垂直的棱到液面的长度分别为 ，则 因此 当 时可以取到等号，所以 为三棱锥时体积的最大值为 ，D 正确． 6．（2026·高三·北京朝阳·开学考试）给定正整数.从正方体的8个顶点中任取个顶点，，，，组成集合 ，若 ， ，使得直线成立.则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】时，例如，则集合中不存在两点连线与直线垂直，所以， 如果，由对称性，用上下底面对点分类，5个点有如下几种情形： 图1，4个点在下底面上，第5个点在上底面，如，，其它直线都有正方体中相应的棱与之垂直， 图2，图3，图4，图5中是有三个点在下底面，两个点在上底面， 图2，，旋转后与图1类似，同理，旋转后与图1类似， 图3，,中任意两点连线，如果是正方体的棱或面对角线，总能找到正方体的棱（顶点在中）与之垂直，对体对角线来讲，有，，即有面对角线与之垂直，符合题意， 同理也符合， 图4，，与图3类似，中任意两点连线，如果是正方体的棱或面对角线，总能找到正方体的棱（顶点在中）与之垂直，体对角线，即有面对角线与之垂直，符合题意， 图5，，这个与图3类似，是正方体对角面上的四个顶点再加正方体的另一个顶点，同样满足题意. 所以时满足题意， 如果，中任意两点连线，如果是正方体的棱或面对角线，总能找到正方体的棱（顶点在中）与之垂直，体对角线总有面对角线与之垂直， 综上，的最小值是5. 7．（2026·高三·湖南·阶段检测）在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为分别为棱的中点，所以， 在棱上取点，使得，连结， 则四边形为平行四边形，故， 又因为关于的对称点为，连结，则， 因此， 当三点共线时，取得最小值，此时， 由于底面，连结，则直线与底面所成的角为， 而此时， 故当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为． 8．已知球的直径，是该球球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】线段是球的直径且 ，， 由直径所对圆周角为直角得， ， 三棱锥体积 ，其中为点到平面 的距离， 因此当取得最大值时，三棱锥体积最大， 当平面平面时，达到最大值， 在内，利用等面积法得即，解得 ， 所以, 此时，所以三棱锥的体积最大值为2. 9．（多选题）（2026·广东广州·模拟预测）在三棱柱上底所在平面上，将上底图形绕一点旋转180°后，再将上、下底顶点连接形成的空间几何体称为“扭反三棱柱”．如图所示的“扭反三棱柱”上、下底为全等的等腰三角形，，，，若顶点，，，，，均在球O的球面上，则下列结论正确的是（   ） A．点，，，共面 B．球O的表面积为 C．截面的面积的最大值为5 D．当该几何体体积最大时 【答案】ABD 【解析】A选项：由题意可知，，所以，，，四点共面，正确． B选项：同A选项可得，，，四点共面，又四点均在球的球面上， 故四点共圆． 由于且，所以四边形为矩形． 同理，四边形为矩形． 从而，均与交于一点，该点为的中点，即该几何体外接球的球心． 所以外接球的半径， 则球的表面积为，故B正确． C选项：由矩形的对角线， 可得 所以截面的面积 当时等号成立，故该截面面积的最大值为，C错误． D选项：该几何体的体积为四棱锥体积的倍． 矩形的面积为 外接球球心在矩形内，点在球的球面上运动． 设到平面的距离为，则 当平面时，最大，四棱锥的体积最大． 此时． 设为的中点，则，且， 故 又由及为的中点，得 所以，解得，D正确． 10．（多选题）（2026·高三·江苏泰州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为 C．的最小值为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】对于A，正方体的对角面为矩形，则， 又平面，平面，所以平面， 所以，线段上点到平面的距离为定值， 又面积为定值，所以，三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，四面体是正四面体，棱长， 正的外接圆半径， 所以，点到平面的距离， 因为， 所以，点的轨迹是以点为球心，为半径的球被平面所截得的圆， 该圆半径为，而正的内切圆半径为， 因此点的轨迹是正的内切圆，轨迹长度为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如图： 所以，，当且仅当为线段与交点时取等号， 因为，，所以， 又因为正中，， 所以，， 所以，由余弦定理得， 因此的最小值为，C错误； 对于D，在三棱锥中，，正的边长为， 取中点，连接，则，， 而， 于是，， 平面，则平面， 同理平面， 令的外心分别为，则分别在线段上， 由选项B知，在中，， 由正弦定理得，则， 令三棱锥外接球球心为， 连接，则平面，平面， 因此， 四边形为矩形，， 三棱锥外接球半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 11．（多选题）（2026·高三·广东揭阳·阶段检测）在三棱锥中，，点到棱所在直线的距离均为1，点为棱上一点，满足平面，且，则下列结论正确的是（    ） A．点A到直线的距离的最大值为 B．顶点所在的曲线为椭圆 C．棱的长度可能为4 D．三棱锥的体积最大值为 【答案】ABD 【解析】以为原点，底面为平面，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，由得，取， 直线的方向向量，其单位方向向量. 设点，. 由空间中点到直线距离公式，结合点到直线距离为 1， 代入得， 整理得.同理点也满足该方程，故在底面内的轨迹为椭圆. 对于 A，直线过原点，设直线的方程为，设点. 则点到直线的距离，当且仅当为轴时等号成立， 故点A到直线的距离的最大值为，故 A 正确； 对于 B，满足的方程为椭圆方程，B 正确； 对于 C，联立消去，整理得. 设，由根与系数的关系得. 由弦长公式得， 若，解得，对应直线为轴， 此时三点共线，无法构成三棱锥底面，故棱长度不能取 4，C 错误； 对于 D，， 当且仅当即时等号成立，故最大值为1. 三棱锥体积，故体积最大值为，D 正确. 12．（多选题）（2026·高三·山东·阶段检测）已知三棱锥的外接球的半径为，且，平面，则下列结论正确的有（    ） A．三棱锥为正三棱锥 B．平面平面 C．面积的最大值为 D．三棱锥体积的最大值为 【答案】BCD 【解析】因为，所以是直角三角形，斜边为， 且直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，设为， 已知平面，且是外接球的球心， 根据球的性质，球心在底面上的射影正是的外接圆圆心，因此平面 ， 又因为平面，所以三点共线，如图所示， 已知外接球半径，设，则到的距离均为， 球心到平面的距离，根据球的截面性质有， 因为共线，且在球面上，所以到的距离为， 点到平面的距离（即三棱锥的高）为的长度， 由于共线，或（取决于和在的同侧还是异侧）， 对于A，底面是直角三角形，显然不可能是正三角形,因此，三棱锥不可能是正三棱锥，故A错误； 对于B，由前面的分析可知， 共线，且平面， 因为在上，所以直线在平面内， 因为平面且平面，所以平面平面 ，故B正确； 对于C，是直角三角形，斜边， 设两直角边为，则，面积（当 时取等号）， 又因为 ，所以， 此时（当且时，即平面过球心，且为等腰直角三角形），故C正确； 对于D，三棱锥体积，已知， 高（取在一侧时，）， 为了体积最大，我们取，（时，到平面距离最大）， 则， 令，求导得， 在内，令，得， 当时，取得最大值，此时，故D正确. 13．（多选题）（2026·高三·江苏扬州·开学考试）已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】如图以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，分别为边，的中点，则，， 可得，， 因为，即，. 对于选项A：因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 又因为平面，则，可得， 可知点P，B，D三点共线，所以点P的轨迹为线段，且， 所以若直线平面，点P的轨迹长度为，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 因为，， 设与所成角为， 则， 因为，则， 可得，即， 且，可得， 所以直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于选项C：因为，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 当时，则，可得，， 设平面法向量为，则， 令，则，，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于选项D：当时，点，， 设关于平面的对称点， 连接交平面于点，连接，则， 因为，由图知， 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D错误． 14．（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的棱长为2，以为轴的圆柱在正方体内部，且圆柱的底面所在平面截正方体所得截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为________． 【答案】 【解析】如图，连接，由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 而平面，于是，同理，平面， 因此平面，设以为轴的圆柱的一个底面所在平面截正方体所得的截面为， 则平面，平面平面，显然为正三角形， 设，则，正内切圆半径， 点到平面的距离， 而，则圆柱的高， 圆柱的体积， 求导得，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递增，， 所以该圆柱体积的最大值为. 15．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设正三棱锥的高为，且各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，则三棱锥体积的最大值是__________. 【答案】/ 【解析】设球的半径为，由球的体积为，得，解得， 正三棱锥的顶点在底面上的投影为该底面正三角形中心， 正三棱锥外接球球心在顶点与底面中心确定的直线上，则球心到底面距离为， 显然，设底面正三角形外接圆半径为，则， 而底面正三角形面积为， 因此该正三棱锥的体积， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以该正三棱锥体积的最大值是. 16．（2026·高三·湖南·阶段检测）已知正方形的边长为2，点，分别在边，上（不含端点），且，将沿直线翻折为，则多面体体积的最大值为__________． 【答案】 【解析】设，由条件可得， 因为在边上且不含端点，正方形边长为，因此， 在中，斜边，的面积为， 底面五边形的面积为， 翻折过程中，点在过点且垂直于的平面内运动， 因此点到底面的距离，不会超过点到直线的垂线段长度， 当且仅当平面平面时，取得最大值， 由三角形等面积法，点到直线的距离为， 即点到底面的最大高为， 故多面体是以五边形为底、为顶点的五棱锥， 体积公式为，将高的最大值代入，得到体积为， ，令，解得，即（负根舍去）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此时，体积取得最大值，故. 17．（2026·四川南充·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，且，则该正三棱锥体积的取值范围是__________． 【答案】 【解析】设正三棱锥底面正三角形的边长为， 由正弦定理可得此三角形的外接圆半径， 所以正三棱锥的高， 又因为此正三棱锥的外接球表面积为， 所以外接球的半径， 如图所示： 因为三角形是直角三角形， 所以， 整理得， 所以， 所以， 整理得，， 由，得， 又因为正三棱锥的体积 ， 令，因为，所以， 令， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 即该正三棱锥体积的取值范围是. 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题拓展27 高中立体几何常考压轴小题全梳理 目录 01 解题方法总结 2 02 重难点题型梳理 3 题型一：球截面面积计算 3 题型二：几何量定值问题 7 题型三：几何体盛液问题 11 题型四：几何量最值范围 15 题型五：空间交线问题 21 题型六：线段及和最值 25 题型七：空间角求解 29 03 课后拓展精练 33 高中立体几何压轴小题是选填题的核心区分点，融合空间想象、逻辑推理与运算能力，覆盖球、截面、最值、交线等高频考点，梳理题型体系与通用解法可实现精准破题。 针对七大常考题型，对应核心解法各有侧重：球截面问题紧扣 “球半径 — 截面圆半径 — 球心距” 勾股定理模型，结合外接球、内切球经典结论快速计算；几何量定值问题优先用特殊化法，选取极端位置、特殊点代入验证，辅以坐标法严谨推导；几何量最值范围问题分几何、代数两条路径，几何法定位临界位置，代数法建系转化为函数最值，结合不等式、三角函数求解。 空间交线与截面问题依托平面公理，用两点连线定交线、延伸补形定截面轮廓；线段及和值最值采用空间展开法、对称法，将空间路径转化为平面线段求解；空间角问题以定义法找角、向量法计算为核心，注意角度范围约束；几何体盛液问题抓住体积不变、液面水平的特点，转化为截面与体积的关系分析。 题型一：球截面面积计算 【典例1】（2026·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高三·湖北荆州·阶段检测）三棱锥的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面的射影是线段的中点，，则平面被球O截得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知正四面体内接于球，D为棱AB上点，满足．若存在过D点且面积为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在正三棱柱中，，与平面平行的平面截三棱柱得到截面，若几何体的体积为，且几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 题型二：几何量定值问题 【典例2】（2026·上海松江·二模）在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【变式2-1】（2026·高三·北京·阶段检测）如图，在正方体中，点Q是棱上的动点，下列说法中错误的是（    ）． ①存在点Q，使得； ②存在点Q，使得； ③对于任意点Q，Q到的距离为定值； ④存在点Q，是锐角三角形． A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④ 【变式2-2】（2026·河南·三模）在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题： ①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值； ③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值． 其中所有真命题的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【变式2-3】（2026·高三·北京密云·阶段检测）已知正方体的棱长为1，面对角线上有一长为1的动线段，面对角线上有一长为1的动线段，则四面体的体积（    ） A．有最大值但没有最小值 B．有最小值但没有最大值 C．有最大值也有最小值，但最大值不等于最小值 D．与两动线段位置无关，为定值 题型三：几何体盛液问题 【典例3】（2026·高三·北京朝阳·开学考试）如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，再将容器以 为轴顺时针旋转，给出以下四个命题： ①有水的部分始终是棱柱； ②水面所在四边形 为矩形且面积不变； ③棱 始终与水面平行； ④当点 在棱 上且点 在棱 上（均不含端点）时， 不是定值. 则正确命题的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（2026·高三·江苏·阶段检测）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【变式3-2】（2026·湖北宜昌·一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（    ） ①液面刚好同时经过，，三点； ②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为； ③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（2026·广东汕头·模拟预测）如图l，在高为h的直三棱柱容器中，，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=（    ） A． B． C． D． 题型四：几何量最值范围 【典例4】（2026·河南郑州·二模）已知正方形的边长为，现将沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．三棱锥体积的最大值为 C．三棱锥的外接球的表面积为定值 D．与平面所成角的范围是 【变式4-1】（多选题）（2026·四川攀枝花·模拟预测）已知正方体的棱长为分别为的中点，P为正方体的内切球O上任意一点，则（    ） A．与所成角的范围是 B．球O被截得的弦长为 C．三棱锥体积的最大值为 D．的取值范围是 【变式4-2】（多选题）已知正方体的边长为2，体对角线的中点为．（    ） A．若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的最大值是 B．若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的最小值是 C．若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的体积的最大值是 D．若该正方体的面与球的球面没有公共点，则球的表面积范围是 【变式4-3】（多选题）在棱长为2的正方体中，空间中的点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为 D．若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为 题型五：空间交线问题 【典例5】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为______． 【变式5-1】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【变式5-2】（2026·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体中，为棱（不含端点）上的动点，过点的平面与平面平行．若平面与平面，平面的交线分别为，则所成角的正弦值的最大值为________． 【变式5-3】（2026·四川绵阳·模拟预测）在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_______________． 题型六：线段及和最值 【典例6】（2026·高三·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 【变式6-1】（2026·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________. 【变式6-2】已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为上的动点，则的最小值为________．    【变式6-3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为线段上的动点，则的最小值为__________． 题型七：空间角求解 【典例7】（公式定理58 面积射影定理【思想方法】）已知四面体A−BCD中，对棱相等，侧面ABC、ACD、ABD与底面BCD所成的二面角分别为锐角α、β、γ，则的最小值是_____. 【变式7-1】（2026·湖北武汉·二模）在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 【变式7-2】（2026·高三·福建·阶段检测）已知三棱锥中，平面平面，.设直线与平面所成的角为，则的最大值为__________. 【变式7-3】已知正四面体的棱长为2，动平面交线段，（含端点）于点，，且平面平面，设平面和平面所成二面角的平面角为，则的最大值为______. 1．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，为线段上一动点，则（     ） ①三棱锥的体积为定值 ②直线与的夹角的大小的取值范围是 ③的最小值为 ④当时，平面截该正方体所得截面的面积为 A．③④ B．①③ C．①④ D．①② 2．（2026·高三·安徽·开学考试）已知空间直角坐标系中，棱长为2的正方体的顶点在轴上运动，顶点在平面内运动，则顶点与坐标原点的最大距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·河北沧州·开学考试）在正三棱台中，，，点为的重心，点为棱台的底面上（包括边界）一点，若直线平面，则长的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·山东·阶段检测）由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为（）的液体，在正方体自由旋转的过程中，若液体形成的几何体可能是三棱锥，则x的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·山东聊城·开学考试）由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为的液体，在正方体自由旋转的过程中，液面形成图形记为，液体形成的几何体记为，则下列说法错误的是（    ） A．可能是正三棱锥 B．不可能为直角三角形 C．当时，的面积最大值为 D．当为三棱锥时，的体积最大值为 6．（2026·高三·北京朝阳·开学考试）给定正整数.从正方体的8个顶点中任取个顶点，，，，组成集合 ，若 ， ，使得直线成立.则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2026·高三·湖南·阶段检测）在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 8．已知球的直径，是该球球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值为（    ） A．2 B． C． D． 9．（多选题）（2026·广东广州·模拟预测）在三棱柱上底所在平面上，将上底图形绕一点旋转180°后，再将上、下底顶点连接形成的空间几何体称为“扭反三棱柱”．如图所示的“扭反三棱柱”上、下底为全等的等腰三角形，，，，若顶点，，，，，均在球O的球面上，则下列结论正确的是（   ） A．点，，，共面 B．球O的表面积为 C．截面的面积的最大值为5 D．当该几何体体积最大时 10．（多选题）（2026·高三·江苏泰州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为 C．的最小值为 D．三棱锥的外接球表面积为 11．（多选题）（2026·高三·广东揭阳·阶段检测）在三棱锥中，，点到棱所在直线的距离均为1，点为棱上一点，满足平面，且，则下列结论正确的是（    ） A．点A到直线的距离的最大值为 B．顶点所在的曲线为椭圆 C．棱的长度可能为4 D．三棱锥的体积最大值为 12．（多选题）（2026·高三·山东·阶段检测）已知三棱锥的外接球的半径为，且，平面，则下列结论正确的有（    ） A．三棱锥为正三棱锥 B．平面平面 C．面积的最大值为 D．三棱锥体积的最大值为 13．（多选题）（2026·高三·江苏扬州·开学考试）已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 14．（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的棱长为2，以为轴的圆柱在正方体内部，且圆柱的底面所在平面截正方体所得截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为________． 15．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设正三棱锥的高为，且各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，则三棱锥体积的最大值是__________. 16．（2026·高三·湖南·阶段检测）已知正方形的边长为2，点，分别在边，上（不含端点），且，将沿直线翻折为，则多面体体积的最大值为__________． 17．（2026·四川南充·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，且，则该正三棱锥体积的取值范围是__________． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $