第2章 第10节 导数的应用-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

季学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第十节导数的应用 教材梳理 >>>> 知识点1利用导数研究函数的单调性 在(a,b)内可导函数x) f)>0→)在(a,b)上为单调递增函数， f)<0→x)在(a,b)上为单调递减函数. f)=0→fx)在(a,b)上为常函数. [注意](1)fx)>0(<0)是x)在区间(a,b)内单调递增（减）的充分不必要条件. (2)f(x)≥0（≤0）是x)在区间(a,b)内单调递增（减）的必要不充分条件， (3)由x)在区间(a,b)内单调递增（减）可得fx)≥0（≤0）在该区间内恒成立，而不是f (x)>0(<0)恒成立，“="不能少，必要时还需对“=”进行检验. 思考1：若f(w在(a,b)内的任意子区间都不恒等于零（允许个别点o,使f(o)= 0),则f(x)≥0（≤0）是x在(a,b)内递增（递减）的什么条件？ 提示：充要条件。 思考2：在区间b)内fx)的大小与在(a,b)内函数y=fx)的图象的陡峭和平 缓"有什么关系？ 提示：函数在某一范围内导数的绝对值较大，函数在这个范围内变化得快，其对应 函数的图象就比较“陡峭"（向上或向下）即导函数y=()在相应范围内是增函数，反之， 函数的图象就“平缓”一些， 知识点2函数的极值 (1)函数的极小值 独家授权侵权必究 亨学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 函数y=r)在点x=a的函数值a)比它在点x=a附近其他点的函数都小，f(a= 0;而且在点x=a附近的左侧fx)≤0，右侧f(≥0，则点a叫做函数y=x)的 极小点，a)叫做函数y=)的极小值 (2)函数的极大值 函数y=)在点x=b的函数值b)比它在点x=b附近的其他，点的函数值都大，fb) =0,而且在点x=b附近的左侧f(x)≥0，右侧f(x)≤0，则点b叫做函数y= x)的极大值点，b)叫做函数y三x)的极大值 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 思考：导函数f(x)的零点与可导函数x)的极值点有何关系？ 提示：可导函数x)的极值，点和一定是导函数f)的变号零点 知识点3函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数在a,b]上必有最大值与最小值， (2)若函数x)在[a,b]上单调递增，则为函数的最小值，b)为函数的 最大值；若函数x)在[a,b]上单调递减，则为函数的最大值，b)为函数的 最小值 (3)设函数fx)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f)在[a,b]上的最大值和最小 值的步骤如下： ①求fx)在(a,b)内的极值； ②将x)的各极值，b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个 是最小值 诊断自测 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×"） 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (I)若函数x)在(a,b)内单调递增，那么一定有f(x)>0.() (2)如果函数x)在某个区间内恒有f(x)=0,则x)在此区间内没有单调性.() (3)函数的极大值一定大于其极小值.() (4)对可导函数x),若f()=0,则为极值点.() (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.() [解析](1))在(a,b)内单调递增，则有fx)≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值 (4)o为x)的极值，点的充要条件是f)=0,且而两侧导函数异号. [答案](1)×(2)N(3)×(4)×(5)V 教材衍化 2.函数x)=x2一2lnx的单调递减区间是() A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞，-1] D.[-1,0)U(0,1] [解析]由题意知fw=2x-=(心0)，由f)s0,得0<x≤1.故单减区间为(0,1] [答案]A 3.(25一26高三上·湖南常德·开学考试)函数y=)的导函数y=(x)的图象如图所 示，则() y=f(x) -10 A.一3是函数y=x)的一个零点 B.一1是函数y=x)的极小值点 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.一2是函数y=x)的极大值茧 D.函数y三fx)在区间3,1)上单调递增 [解析]根据导函数的图象可知，当x∈(-∞，一3)时，fx大0，当x∈(-3,1)时， fx)20,所以函数y=x)在(-∞，-3)上单调递减，在(-3,1)上单调递增，可知-3是 函数y=)的极值，点，不足以说明一3是函数y=x)零点.因为函数y=x)在（一3， 1)上单调递增，可知一1不是函数y=x)的极小值，点，一2也不是函数y=尤的极大值 点，所以A、B、C不正确，故D正确.故选D [答案]D 考题体验 4.(浙江卷)函数y=x)的导函数y=x)的图象如图所示，则函数y三x)的图象可 能是() [解析]设导函数y=)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x,,,由导函数 y=fx)的图象易得当x∈(-oo,x)U(2,)时，f(x<0;当x∈(：，3U(,十oo)时，f (x)>0(其中<0<<)，所以函数x)在（一∞，），(2，)上单调递减，在(：，)， (心3，十∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合 [答案]D 5.(多选题(2026·新高考8省联考)已知函数fx)=xn(1+),则() A.孔x)在(0，+∞)上单调递增 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B.有两个零点 C.曲线y=)在点处的切线的斜率为-1一ln2 D.)是偶函数 [解析])=xln(x+1),所以当x>0时，fy=ln(x+1)+>0,所以)在(0，+ oo)上单调递增，所以A正确；令xn(c十1)=0，所以x=0或ln(x十1)=0，所以x= 0,故x)只有1个零点0，所以B不正确；f(x)=n(c+1)+,所以=ln-1=-1-ln 2,所以C正确；定义域不关于原，点对称，所以尤)不是偶函数，所以D不正确，故选 AC. [答案]AC 6.(2026·青岛检测)已知函数x)=sin2x+4cosx一ax在R上单调递减，则实数a的 取范是 []f(x)=2cos 2x-4sin x-a=2(1-2sin'x)-4sinx-a=-4sin'x-4sinx+2-a =-(2sinx+1)2+3-a.由题设，f(d)≤0在R上恒成立.因此a23-(2sinx+1)P恒成立， 则a23 [答案][3，+∞) 7.(25一26高二下·湖北·期末)若函数x)=ax3+3x2一x+1恰好有三个区， 则实数a的取值范围为 [解析]依题意知，当a=0时，x)=3.x2-x+1,只有两个单调区间，不符合题 意，则当a≠0时，fx)=3ax2+6r-1,因为函数x)恰有三个单调区间，即尤x)恰有两个 极值点，故f(x)必有两个不相等的零点，则，解得a心一3且a0. [答案](-3,0)U(0,+∞) 8.已知x=是函数r)=x(nax+1)的极值点，则实数a的值为() A. B 独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.1 D.e [解析]因为函数fx)=(nax+1)有极值，点，所以f)=(nax+1)+1=2+lnax.因 为x=是函数)=x(lnar十1)的极值点，所以f=2+n=0.所以ln=-2,解得a=.经 检验，a=待合题意， [答案]B 典例精讲 >>)>>,④ [例1](25-26高二下·贵州贵阳期末)已知函数x)=a2-2x-lnx. (1)若函数fx)在点(1,1)的切与x平行，求a; (2)若>0，讨论)的单调性 [思路点拨](1)利用导数的几何意义，在点(1,1)处的切线与x轴平行，即f1)= 0代入即可求解； (2)确定函数定义域，求导确定导函数的零点，根据导数确定函数单调性即可， [自主解答](1)由题可知函数)定义域为(0，+∞)，f(x)=2ax-2-, 由于函数fx)=ax2-2x-lnx在，点(1,1)处的切线与x轴平行， 所以f(1)=0,即2a-3=0,所以a= (2)由(1)可知函数定义域为(0，+)， fx)=2ax-2-=(a>0), 令g(r)=2ax2-2x-1, .=4+8a心0恒成立， 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 令x)=0,解得x=<0(舍去)或x=>0, 若x∈，f(x大0，fw)单调递减； 若x∈，fx)>0,fx)单调递增. [解题心得]解题3步骤 (1)确定函数x)的定义域； (2)求导数fd,并求方程fx)=0的根； (3)利用f(=0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f(x) 的正负，由f(x)的正负确定x)在相应子区间上的单调性。 [例2]已知函数x)=-lnx. (1)求x)在的单调区间： (2)求函数x)在上的最大值和最小值其中e是自然对数的底数) [思路点拨](1)可导函数的极值点一定满足f(o)=0.(2)方程x)=k的根的个数可 以看成yⅥ=)与=k两函数的交点个数. [自主解答](1)x)=-lnx=1--lnx,fx)的定义域为(0，+∞) ∴f)=-=, 由f(x)>0,得0<1，由fx)0,得x>1, fx)=1--lnx在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减. (2)由(1)得x)在上单调递增，在[1，]上单调递减， f八x)在上的最大值为 1)=1-1-ln1=0. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又f=1-e-ln=2-e,e)=1--lhe=-,且fe) f代x)在上的最小值为f=2-e. ∴f)在上的最大值为0，最小值为2-e. [解题心得]掌握求函数x)在区间b]上的最值的方法 (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减，a)与b)一个为最大值，一个为最小 值 (2)若函数在闭区间[a,b]内有极值，要先求出[a,b]上的极值，与a),fb)比较， 最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数x)在区间b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此 结论在导数的实际应用中经常用到. [例3](25一26高二下.北京丰台期末)已知函数x)=x一3.x. (1)求曲线y=在(0,0)处的切线方程； (2)求x)在区间1,2]上的最小值和最大值； (3)写出不等式代x)P2的解集.（不用说明理由） [思路点拨](1)计算f(O),O),然后根据点斜式求出方程即可； (2)利用导数判断函数单调性，然后计算； (3)根据(2)的结果，判断函数的单调性，然后计算可得-1)=2,1)=一2，-2) =-2,2)=2,判断即可 [自主解答](1)x)定义域为R,x=3x2-3,f0)=-3,又因为f0)=0,所以曲 线y=x)在(0,0)处的切线方程为y=一3x (2)令fx)=0得，x=±1， 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当x变化时，f(x),孔x)的变化情况如下表： x (-1,1) (1,2) f(x) 0 Ar) 0 -2 ◇ 又因为-1)=2,2)=2， 所以x)在区间[-1,2]上的最小值为-2，最大值为2. (3)由(2)可知，函数在(-∞，一1)，(1，十∞)单调递增，在(-1,1)单调递减， -1)=2,1)=-2,-2)=-2,2)=2,所以不等式x>2的解集为{K-2或 心2}. [解题心得]1.熟记运用导数解决函数极值问题的一般流程 求定义域 求导数f(x) 求极值 用极值 解方程f'(x)=0 知P(x)=0根的情况 验根左右f(x)的符号 得关于参数的方程（不等式） 极值 参数值（范围 2. 掌握已知函数极值点或极值求参数的2个要领 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 因数等于零不是此点极点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必 验证 须验证根的合理性 高考再现 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.(2026·全国1卷)已知函数x)=的最大值为1，则a=() A. B.1 C. D.2 [解析]由选项知a心0，则定义域为R,由0)=≤1（心0），解得a21.验证：当a=1 时，由不等式e2x+1可得e+1≥x+2,故x)=≤1，当且仅当x=0时等号成立，故a =1满足题意，由选项唯一可得. [答案]B 2.(多选题(2024·新课标1卷)设函数fx)=(x一1)(x-4),则() A.x=3是x)的极小值点 B.当0<1，fx)fx) C.当1<2，-4<f2x-1)K0 D.当-1<<0,2一x)>) [分析]求出函数)的导数，得到极值，点，即可判断A；利用函数的单调性可判断 B;根据函数x)在(1,3)上的值域即可判断C,直接作差可判断D [解析]因为函数)的定义域为R,而fw=2(x-1)x-4)+(x-1)2=3(c-1)x- 3),易知当x∈(1,3)时，fx)0,当x∈(-∞，1)或x∈(3，+∞)时，f(x)>0,函数在 (-∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，十)上单调递增，故x=3是函数 x)的极小值，点，A正确；当0<1时，x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>2>0,而由上可 知，函数x)在(0,1)上单调递增，所以)>x),B错误；当1<2时，1<2x-1<3, 而由上可知，函数x)在(1,3)上单调递减，所以1)>f2x-1)>3),即-4≤2x 1)0,C正确；当-1<心0时，2--x)=(1-x)(-2-x)-(c-1)(x-4)=(-1)2(2 -2x)>0,所以2-)>x,D正确；故选ACD [答案]ACD 3.(多选题(2024新课标川卷)设函数fx)=2x一3ax2+1,则() ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.当a>1,x)有三个零点 B.当<0，x=0是r)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=)的对称轴 D.存在a,使得点(1,1)为曲线y=)的对称中心 [分析]A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=α，根据零，点存在定理和极值 的符号判断出x)在(-1,0)，(0，a),(a,2上各有一个零点；B选项，根据极值和导 函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的a,b,使得x=b为x)的对称轴， 则x)=2b-)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的a,使得(1,3-3a 为x)的对称中心，则x)十2-)=6-6a,据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直 接求解 [解析]fx)=6x2-6ax=6x(x-a,由于a心1，故x∈(-o∞，0)U(a,+oo)时f (x)>0,故)在(-∞，0)，(a,+)上单调递增，x∈(0，a时，f(x0,d)单调递减， 则x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，由0)=1>0，=1-<0，则 0)a0,根据零，点存在定理x)在(0，a)上有一个零点，又f-1)=-1-3a<0,f2a =4d+1>0,则-1)0)<0，fa2a<0,则x)在(-1,0)，(a,2a上各有一个零，点， 于是a心l时，fx)有三个零，点，A选项正确；f)=6r(x-a),a<0时，x∈(a,0),f ()<0,)单调递减，x∈(0，十)时fw)>0,)单调递增；此时x)在x=0处取到极小 值，B选项错误；假设存在这样的a,b,使得x=b为x)的对称轴，即存在这样的α， b使得)=2b-x),即2e3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x2+1,根据二项式定理，等 式右边(2b一x)展开式含有x的项为2C(2b)°(-x)3=一2x,于是等式左右两边x的系数 都不相等，原等式不可能恒成立，所以不存在这样的α，b,使得x=b为x)的对称轴， C选项错误； ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 法一：利用对称中心的表达式化简1)=3-3a,若存在这样的a,使得(1,3-3) 为fx)的对称中心，则fx)+2-x)=6-6a,事实上，x)+2-x)=2x3-3ax2+1+2(2 -x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,于是6-6a=(12-6x2+(12a -24)x+18-12a, 即解得a=2,即存在α=2使得(1,1)是x)的对称中心，D选项正确. 法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，)=2x- 3a+1,fx)=6x2-6ax,f"(x)=12x-6a,由f(x)=0台x=，于是该三次函数的对称中 心为，由题意(1,1)也是对称中心，故=1台a=2,即存在a=2使得(1,1)》是x)的 对称中心，D选项正确.故选AD [答案]AD 4.(2025·新高考川卷)若x=2是函数x)=(x一1)x一2)(x一a的极值点，则f0)= [解析]由题意有x)=(x-1)x-2)(x-, 所以fx)=(x-a(x-1)+(x-1)c-2)+(x-a(x-2), 因为2是函数x)极值点，所以f2)=2-a=0,得a=2, 当a=2时，f(d)=2(x-2)x-1)+(x-2)2=(x-2)3x-4), 当x∈，f(x)>0,fx)单调递增， 当x∈，fx0,fx)单调递减， 当x∈(2，+∞)，f(x)>0,x)单调递增， 所以x=2是函数fx)=(c-1)x-2)x一a)的极小值点，符合题意； ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 所以0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. [答案]一4 5.(2026·天津卷)已知fx)=e*-sinx (1)求曲线y=在点(0,0)处的切线方程； (2)当x∈时，证明x)21+. [解](I)由于fx)=e-cosx,x∈R 所以0)=1，f0)=1-=, 则曲线y=x)在点(0,0)处的切线方程为：y-1=x-0),即x-3y十3=0； (2)4g(x)=e*-sinx-x-1, 则g'()=e-cosx-(x∈R), 当x20时，e21,-≤-co5x≤，则 g()=e-co5x->1--=0, 所以gx)在[0，+∞)上单调递增，则g()2g(0)=1-0-0-1=0, 所以g(x)20在[0，+∞)上恒成立，即e-snx之x+1在[0，十∞)上恒成立； 当一≤心0时， 令m(r)=g(x)=e-cosx-, 所以n'(x)=e+sinx,因为y=e和y=snx在上单调递增， 所以m'(x)=e+sinx在上单调递增， 所以m'(x)=e+sinx2e+sin=esin, 独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为33>23e,所以>，所以e>,由于0<in<1, 所以'(x)=e+sinx2esin>0, 则g'(r)=ex-cosx-在上单调递增， 则g'(w)=e-cosx-<g(0)=0,即g'()<0在恒成立， 所以g()在上单调递减， 所以g(x)-g(0)=1-0-0-1=0, 即g(x)>0在成立， 故e-sinx之x+1在成立， 综上，e-sinx之x+1在上恒成立. 6.(2026·全国川卷)已知函数fx)=xe+ax+b,曲线y=x)在点(0，f0)处的切线 方程为y=一2x+1. (1)求a,b; (2)当>0，fx十m)一f)>m,求m的取值围 (3)当>0，k+x)+k一x>2,求k的最小值， [解](I)x)=xe+ax+b,x∈R, 由切，点(0，f0)在直线y=-2x+1上，也在函数fx)图象上， 可知0)=-2×0+1=1且尤0)=0e°+a0+b=b,可得b=1; 由fx)=(x十1)e*+a,则切线的斜率为f(0)=1十a=-2, 解得a=-3; 故a=-3,b=1. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)由(1)知，x)=xe-3x+1, 则f尤x+m）-尤)-=(x十m)e+m-xe-3(c+m十3.x-m=(c+m)e+m-xe-4, 故题意可转化为(x十mex+m-e'-4>0对任意x∈R+恒成立， 令g()=(x+m)e*+m-xe-4n,x>0, 则g'(x)=(c+m+1)e+m-(x+1)e=e'[(x+m+1)em-(x+1)], ①当>0时，由x+m+1>x+1>0且e">1>0, 则(c+m+1)e"-(x+1)>0,即g(x)>0, 则gx)在(0，十∞)上单调递增， 又因为g(0)=me"-4m, 要使gx)>0对任意x∈R+恒成立， 则me"-420,解得22lh2; ②当m=0时，x+m)-y=0>0不成立； ③当m<0时，0<e"<1,x+m+1<x+1,且x+1>0, 则(x+m+1)e”-(x+1)<(x+1)em-(x+1)=(x+1)(em-1)<0, 即g'(x)<0,则g(x)在(0，+∞)上单调递减， 又因为当x→十∞时，g(x)→-∞，不满足题意； 综上所述，m的取值范围为[2ln2,十∞). (3)设Fx)=fx+A+k-x)-2f,>0, 则F(x)=fx十)-f(k-) ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =(x+k+1)e+k-(k-x+1)ex =(x+k+1)e++(x-k-1)ex, (x)=(x++1)e*k+(x-k-1)e**, 则(x)=(x十k十2)e++(2+k-x)ex, 其中F(0)=0,F'(0)=0,t(0)=2(k+2)e ①当k=-2时，t'(r)=xe2+(-x)e2-x=xe2(e*-e9>0, 则F(x)在(0，+∞)上单调递增，故F(x)>F(0)=0, 故F(x)在(0，十oo)上单调递增，故Fx)>F(O)=0, 即当>0时，x+)+k-)>2)恒成立，满足题意； ②当e-2时，设o(同=(x+k+2)ex++(2+k-x)ex =[e'(k+x+2)+exk-x+2)]e =[e+e)k+2)+x(e-e-)]e, 由x>0,e-2,可知e+ex>0且k+2>0, 则(e+ek+2)+x(e-e)>0,可知p(内在(-2，+o)上单调递增， 故(>p(-2)=xe2+(-x)e2-x=xe2(e-e)>0,即t(x)>0, 故F(x)在(0，+∞)上单调递增，故F'(x)>F(O)=0, 故F()在(0，十∞)上单调递增，故F(xPFO)=0, 即当>0时，fx+)+k-)>2f)恒成立，满足题意； ③当K-2时，此时t(0)=2(k+2)e<0,又因为F(0)=0, ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则存在正实数o,使得Vx∈(0，o),F(x)<0, 则F(x)在(0，o)上单调递减，则F(x大F(O)=0, 即当0<≤，x+)+k-)<2),不满足题意； 综上所述，2一2，即k的最小值为一2. 课时作业（十五） 1.函数fx)=3+xnx的单调递减区间是() A. B. C D. [解析]因为函数x)的定义域为(0，+oo),且f(w)=lnx+x·=lnx十1，令f (x0,解得0<<，故x)的单调递减区间是 [答案]B 2.(25一26高二下·福建泉州·期末)已知函数)=x(x2+bx+c)的图象如图所示，则 62=() A.0 B.1 C.2 D. [解析]由图象知，0,1,2是函数r)的3个零，点，则x)=x(x-1)x-2)=x-3x2 +2x,求导得fx)=3x2-6x+2,:,是函数f)的两个极值点，即为函数fx)的两个 变号零，点，而=(-6)2-4×3×2>0，所以12=.故选D. 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]D 3.(2026山东东营期末)已知函数f孔)=lnx一x,若函数x)在[1,2]上单调递 减，则实数的最小值为() A.1 B. C.2 D.2 [解析]由x)=lnx-mx在[1,2]上单调递减，可得f(x)=-s0在[1,2]上恒成 立，故m2ar 所以21，故选A. [答案]A 4.(2026·河南开封高二统考期末)已知函数x)=a-3x+1的极小值为一1，则a =() A.-1 B.-2 C.1 D.2 [解析]因为fr)=ax-3x十1，所以fx)=3ax2-3;当a≤0时，fx)<0,x)为减函 数，没有极值.当心0时，由fx)=3a2-3=0得x=±，x∈时，fx)>0,)为增函数； x∈时，fx)<0,x)为减函数；x∈时，f(x)>0,x)为增函数；所以当x=时，f)有极小 值，f=1-=-1,解得a=1.故选C. [答案]C 5.(25一26高二下·青海西宁·期末)函数x)=x-x2一6x+1的极小值() A. B.-1 C.-9 D.- [解析]由题意可得fx=3x-3x-6=3(2-x-2)=3(c-2)x+1), ·独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 令fx)=0,得x=2或x=-1, 当一1时，f)>0,则fx)单调递增； 当一1<2时，f()<0,则x)单调递减； 当>2时，fw)>0,则fx)单调递增； 所以当x=一2时，x)取到极小值2)=8一6-12十1=一9，故C正确.故选C. [答案]C 6.已知x)是定义在区间(0，+∞)内的函数，其导函数为f(,且不等式f x)<2x恒成立，则() A.4f1)f2) B.41)>2) C.1)4f2) D.f1)>4f2) [解析]设函数g(x)=(>0),则g'()==<0,所以函数g(x在(0，+∞)上为减函 数，因此g(1)>g(2),即>，所以41)P2) [答案]B 7.(25一26高二下·湖北恩施·期末)已知函数x)=sinx+x(0<<),则fx)() A. 极大值为+，无极小值 B.极小值为+，无极大值 C.极大值为+，无极小值 D.极小值为+，无极大值 [解析]fx)=cosx十，令fx)=0,解得x=,xE,fx>0,x)单调递增；x∈，f (x)<0,尤单调递减，因此，)在x=处取得极大值，极大值为f=+，无极小值.故选 A. [答案]A 8.(25一26高二下.天津西青·期末)已知函数x)=(x2-a)e2在区间1,2]上单调递 增，则a的取值范围为( 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.(-∞，0] B. C.(-∞，6] D [解析]x)=e2(2x2+2x-2a,由题意得：fx)≥0在[-1,2]上恒成立，即2x2+2x -2a20→a≤(x+)在x∈[-1,2]上恒成立，则a≤(2+x)mm,x∈[-1,2].对于函数g(c)= x十x=一，其在上单调递减，在上单调递增.则≤g=一故选B. [答案]B 9.(2026·上海-期末)设x)=sin+3,则函数y=x)的极值点为 [解析]根据三角函数极值点即为其最值点，则转化为求解其对称轴通式，令2x十 =十π(kEZ,x=+(kEZ,其对称轴为x=十π(k∈Z,则其极值，点为x=十 c(k∈Z [答案]x=十m(EZ 10.(2026·广东汕头一模)函数x)=ax-6x的一个极值点为1，则fx)的极大 [解析]x)=ax-6x定义域为R,fx)=3ax2-6,由题意得，f(1)=3a-6=0,解 得a=2,故f(x)=6x2-6,令fw)=0,解得x=±1，令fx)>0得，>1或K-1,)= 2x-6x单调递增，令fx)0得，-1≤1，x)=2x3-6x单调递减，故fx)=2x3-6x在 x=-1处取得极大值，极大值为尤-1)=-2+6=4. [答案]4 11.若函数x)=一x2+ax在区间1,0)上恰有一个极值点，则a的取值园 [解析]二次函数fx)=一x2+ax的对称轴为x=一x=,要想函数fx)=一x十ax 在区间(-1,0)上恰有一个极值，点，只需-1<<0→-2<a<0. ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案](-2,0) 12.(2025新高考川卷)已知函数x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,其中0<K (I)证明：)在区间+∞)存在唯一的极点和唯一的零点； (2)设，分别为fx)在区间+∞)的极值点和零点 (①)设函数g()=:十)一x一t)证明：g()在区间)单调递减： ()比较2与2的大小，并证明你的结论. [解](I)证明：由题得fx)=-1+x-3kx =-3x2=x2(x>-1), 因为x∈(0，十∞)，所以x2>0, 设g(x)=-3k,x>0, 则g(w)=-<0在(0，十∞)上恒成立， 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减， g(0)=1-3>0,令g(x)=0→=-1， 所以当x∈(0，o)时，g(x)>0,则fx)>0; 当x∈(，+o)时，g(x)<0,则f(y<0, 所以x)在(0，)上单调递增，在(o,十∞)上单调递减， 所以x)在(0，+∞)上存在唯一极值，点， 对函数y=ln(1+)-x有y'=-1=-<0在(0，十∞)上恒成立， 所以y=ln(1+x)一x在(0，+∞)上单调递减， ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 所以y=ln(1十-心x=0=0在(0，十)上恒成立， 又因为0)=0，x→+o∞时2-c3=x2(1-2)<0,所以x→+o∞时)<0，所以存在 唯一∈(0，十∞)使得)=0，即)在(0，十∞)上存在唯一零，点. (2)(①由(1)知=-1， 则G十1=，fx)=x2, .g()=fx+)-x1-), 则g'(0=(6+)2+(6一t)2 三十 =3过 .>0,te(0,), .t2--26<0,(1+)2-t2>0, g(0=<0, 即g()在tE(0,)上单调递减. (ii)2x1>,证明如下： 由（①知：函数g()在区间(0，）上单调递减， 所以g(0)>g(x)即0>2)， 又因为x)=0,由(1)可知)在(：1，+)上单调递减，∈(o,十∞)，且对任意 x∈(0，)x)>0,所以2x1>.3 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 13.(25一26高二下·福建漳州期末)已知函数fx)=e(x2+a(a<0)在x=一3处取得 极值求： (1)a的值 (2)优在区间2]上的最大值和最小值 [解](I)函数f)=e(2+a(x∈R)的导数为f(x)=e(r2+2x+a) 由题意，f(-3)=0,代入得：e(9-6+a)=0, 解得a=-3, 经检验，特合题意；故a的值为一3. (2)当a=-3时，x)=e(x2-3), 导数为f(x)=e(x2+2x-3) 令fx)=0,解得x=1,x=-3(舍去)， 当x∈[0,1)，f(x)<0;当x∈[1,2]，f(x)>0; 所以fx)在[0,1)上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以x=1时，fx)取到极小值 也是最小值1)=-2e; 又0)=-3,2)=e,从而可求最大值为e2, 故最大值为e2,最小值为-2e. 14.(2024天津卷（节选）)设函数fx)=xlnx. (1)求x)图象上点(1,1)处的切线方程； (2)若x)2a(x一)在xE(0,+∞)时恒成立，求a的值 [分析]()直接使用导数的几何意义； 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)先由题设条件得a=2,再证明a=2时条件满足. [解](I)由于)=xlnx, 故f(x)=lnx+1(>0). 所以1)=0,1)=1，所以所求的切线经过(1,0)，且斜率为1，故其方程为y=x -1 (2)设h()=t-1-lnt,则h'(t)=1-=,从而当0<t长1时h'()<0,当1时h'(t)>0. 所以h()在(0,1]上递减，在[1，+o∞)上递增，这就说明h()≥h(1),即t-1≥nt,且 等号成立当且仅当t=1. 设g()=a(t-1)-2lnt,则 Ax)-a(x-)=xInx-a -x-xg. 当x∈(0，十∞)时，的取值范围是(0，十∞)，所以命题等价于对任意t∈(0，十∞)， 都有g)20, 一方面，若对任意E(0,+∞)，都有()20，则对tE(0,十∞)有 0sg()=a(t-1)-2nt=at-1)+2ln≤a(t-1)+2=at+-a-2, 取t=2,得0sa-1,故a21>0. 再取t=,得0sa:+2-a-2=2-a-2=-(-P,所以a=2. 另一方面，若a=2,则对任意∈(0，+o∞)都有g()=2(t-1)-2lnt=2h(t)20,满足 条件 综合以上两个方面，知a的值是2. ·独家授权侵权必究