第2章 第9节 导数及导数的运算-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第九节导数及导数的运算 教材梳理 >>>>>> 知识点1导数的概念 函数y=x)在x=数的定，称函数 y=x)在x=x处的瞬时变化率li一 =lm1为函数y=)在x=处的导数，记作f()或yk=和，即f(o)=lim= lim 【1】函数y=)的导数fy反映了函数x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化 的方向，其大小fx反映了变化的快慢，f(x训越大，曲线在这，点处的切线越“陡”. 思考：fx)与f(o)的区别与联系 提示：f是一个函数，x)是函数fx)在处的函数值（常数），所以[fxo)]'=0. 知识点2导数的几何意义 函数fx)在点处的导数fx)的几何意是在曲y=)上点P(,)处的切的斜率 (瞬速度就是位移函数s()对时间t的导数)相应地，切线方程为y一b三fo):x二 ） [注意]“过”与“在”：曲线y=fx)“在点P(,)处的切线”与“过，点P(,)的切 线”的区别：前者P(,)为切，点，而后者P(,)不一定为切，点.“切点”与“公共，点”： 曲线的切线与曲线的公共，点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公 共点 思考：直与曲只有一个公共点，直一定与曲相切？什么？ 提示：不一定.因为直线与曲线的公共，点个数不是切的本质特征，直线与曲线只有 一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直 线与曲线有一个公共点，但切，点一定是直线与曲线的公共点. ·独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 知识点3求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的数公式 ①c'=0;②)'=ax1(a∈Q: ③(sinx)'=cosx;④(cosx)'=-sinx: ⑤(c)'=mna;⑥(e)'=e_; ⑦1log)'=_;⑧nx)'=_ (2)导数的运算法则 ①[x±g(x]'=fx±g'x: 2Ax)g()]=f(rg(x+Avg'(): ③'=(gx)0): (3)复合函数的求法 复合函数y=gx》对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变 量自量的数的 乘积·设y=0,=g(d,y'x=f()g'(x), 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×"） (f)是函数y=x)在x=附近的平均化率.（) (2)函数x)=sin(一x)的导数f(x)=cosx.() (3)求f)时可先求fo),再求f).() (4)曲y=x在某点处的切线与曲线y=x)过某点的切线意义是相同的.() [解析](1)f(o)表示y=在x=处的瞬时变化率，(I)错. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)y=sin(-x)=-sinx,则f()=-cosx,(2)错 (3)求f时，应先求f,再代入求值，(3)错， (4)“在某，点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此，点横坐标处的导数值为切线的 斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的 方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某，点的切线可以不止一条，(4)错 [答案](1)×(2)x(3)×(4)× 教材衍化 2.(25一26高二下，北京顺义·期末)已知函数x)在R上的部分图像如图所示，则下 列不等式正确的是() A.f1)>f2) B.f(1)f(2) C.f1)=f2) D.f1)+f(2)K0 [解析]由图可知：0<f1)f2),所以A、C、D均错，B正确.故选B. [答案]B 3.若曲y=(ax+1)e*在点(0,1)处的切线的斜率为-2，a= [解析]y'=a+(ar+1)e*,则y1x-=a+1=-2,所以a=-3. [答案]一3 考题体验 独家授权侵权必究 季学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4. (多选题(2026聊城模拟)若函数fx)的导函数f(x)的图象关于y称， 孔x的 解析式可能为() A.fx)=3cosx B.Ax)=x+x C.x)=x十 D.f(r)=e*+x [解析]对于A,尤)=3cosx,其导数fx)=-3sinx,其导函数为奇函数，图象不 关于y轴对称，不符合题意；对于B,x)=x十x,其导数f)=3心+1，其导函数为偶 函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C,)=x十，其导数f)=1一，其导函数 为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D,=e+x,其导数fx)=e+I, 其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意 [答案]BC 5.(25一26高二下·广东广州·期末)已知函数x)满足x)=2yf(1)+,0f1)=() A. B.- c.1 D.-1 [解析]x)=2f1)+,令x=1得1)=2f(1)+,解得f(1)=-.故选B. [答案]B 典例精讲 >>>>>> [例1](25一26高二下·青海海南·期中)求下列函数的导数： (1)y=x-x+3; (2y=(2x2-1)3x+1): (3y=, (4)y=sin 2x-e2x. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 [思路点拨]先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导 时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆. [自主解答](1)因为y=x-x+3,所以y=3x2-1. (2)因为y=(2x-1)3x+1), 所以y'=4x(3x+1)+3(2x2-1)=18x2+4x-3. (3)因为y=, 所以y'==一 (4)因为y=sin2x-e2x, 所以y'=2c0s2x-2e2x. [解题心得]1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后 求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错 2.有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变 形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量， [例2](1)曲x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x一1，P点的坐标为( A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3) (2)已知函数尤x)=lnx一，D函数x)的图象在处的切线方程为 (3)已知曲y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a= [思路点拨]切点的三重身份的灵活应用，即(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上； (3)切线斜率k=f(xo) 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [自主解答](1)f)=3x2-1,令fx=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1, .P(1,3)或(-1,3)，经检验，点(1,3)，(-1,3)均不在直线y=2x-1上. (2)由x)=lnx-, 得fx)=一， 则1)=1-=1-=-， 故所求切线方程为y一=一(x一1)， 即5x+4y+9=0. (3)由y=x+lnx,得y=1+,得曲线在，点(1,1)的切线的斜率为k=y1x=1=2,所以 切线方程为y-1=2(c-1),即y=2x-1,此切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，消去 y得ax2+ax+2=0,得a≠0且=㎡-8a=0,解得a=8. [答案](1)C(2)5.x+4y+9=0(3)8 [解题心得]导数的几何意义问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程.若切点为P(xo,人)则切线方程为y一)=f(o)x一 0) (2)已知斜率求切点P(o,)以、倾斜角等.利用k=f()和方程求，即可得切点 坐标，由k=tana可求a. (3)已知切线平行或垂直于某已知直线，求参数值： [例3](25一26高二下·辽宁期中)已知函数fx)=xlnx-,且f(e)=2+. (1)求a的值； (2)若曲y=x)在点(1,1)处的切线与函数y=x2+bx的图象也相切，求b的值 [自主解答](1)因为fx)=lnx+1十，(x>0) 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以f(e)=2+=2+,解得a=2. (2)由(1)可得x)=lnx+1+，则f(1)=3,又1)=-2，所以曲线y=x)在，点(1， 1)》处的切线方程为y+2=3(c-1),即y=3x-5,联立，得x2+(b-3)x+5=0, 由题意可得=(b-3)2-4××5=0, 解得b=1或b=5,所以b的值为1或5. [解题心得]根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用x=处 的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键，由导数的几何意义可知， 点(o,fo)处的切线方程为y=fo)(x一xo)十xo) 若不知道切点坐标，应根据导数的几何意义列方程求出切点坐标， 高考再现 >>>>>> 1.(全国甲卷)当x=1时函数fx)=alnx+取得最大值-2，f2)=() A.-1 B.- C. D.1 [解析]由题意知，f1)=aln1十b=b=一2.求导得fx)=-(x>0),因为)的定义 域为(0，十∞)，所以易得f1)=a-b=0,所以a=-2,所以f2)=-=一.故选B [答案]B 2.(2024·全国甲卷（文）)设函数fx)=,0曲0y=)在点(0,1)处的切线与两坐标轴 所围成的三角形的面积为()】 A B. D ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 [分析]借助导数的几何意义计算可得其在，点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐 标轴的交，点坐标，即可得其面积， [解析]定义域x∈R, ∫(x)=,则f0)==3, 即该切线方程为y-1=3x,即y=3x十1，令x=0,则y=1,令y=0,则x=-, 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=×1×三.故选A. [答案]A 3.(2024·新课标1卷)若曲y=e+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的 切，a= [分析]先求出曲线y=e+x在(0,1)的切线方程，再设曲线y=ln(c十1)十a的切 点为(o,ln(0十1)+a,求出y,利用公切线斜率相等求出而，表示出切线方程，结合 两切线方程相同即可求解， [解析]由y=e+x得y'=e+1,yIx==e+1=2,故曲线y=e*+x在(0,1)处的切 线方程为y=2x+1;由y=ln(c+1)+a得y'=,设切线与曲线y=ln(x+1)十a相切的切 点为(，1n(如十1)十a,由两曲线有公切线得y==2,解得如=一，则切，点为，切线方 程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln2,根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2. [答案]ln2 4.(新高考|卷)设a=0.1e1,b=,c=-ln0.9,（) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b [解析]设(x)=xe(0<s0.1),v(x)=(0<x≤0.1)，w(x)=-ln(1-x)(0<x≤0.1)，则当 0<s0.1时，(>0，(x)>0,w(x>0.①设x)=ln[u(x)]-ln[w(x)]=lnx+x-[nx-n(1 独家授权侵权必究· 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 -)]=x+ln(1-x)0<x≤0.1)，则f(x)=1-=<0在(0,0.1]上恒成立，所以x)在(0,0.1] 上单调递减，所以f0.1)<0+ln(1-0)=0,即n[(0.1)]-ln[o(0.1)]<0,所以n [(0.1)]Kln[o(0.1)],又函数y=ln在(0，+o∞)上单调递增，所以(0.1)(0.1)，即 0.1e1<,所以a<b.②设g(x=(x)-w(x)=xe+ln(1-x)(0<r≤0.1)，则g'(x)=(x+1)e- =(0<xs0.1),设hx)=(1-x2)e-1(0<r≤0.1)，则h(x)=(1-2x-x)e>0在(0,0.1]上恒成 立，所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，所以h(r)>(1-02)xe°-1=0，即g(x)>0在(0,0.1] 上恒成立，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，所以g(0.1)>0xe+ln(1-0)=0,即g(0.1)= (0.1)-w(0.1)>0,所以0.1e1>-ln0.9,即a心c.综上，c<a<b.故选C. [答案]C 5.(新课标全国川卷)已知函数x)=a-nx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小 值为() A.e2 B.e C.e D.e2 [解析]定义域x∈(0，十oo)因为函数fx)=a-lnx,所以fx)=ae-.因为函数 )=ae-lnx在(1,2)单调递增，所以f(x)20在(1,2)恒成立，即a-≥0在(1,2)恒 成立，易知a心0，则0<≤re在(1,2)恒成立.设gx)=xe,则g'(x)=(c+1)e.当x∈(1,2) 时，g(x)>0,gx)单调递增，所以在(1,2)上，g(r)>g(1)=e,所以≤e,即a2=e.故选 C [答案]C 6.(2025·新高考1卷)若直y=2x+5是曲y=e+x+a的切，a= [解析]法一：对于y=e+x+a,其导数为y=e+1, 因为直线y=2x十5是曲线的切线，直线的斜率为2， 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 令y'=e*+1=2,即e=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5, 所以切点坐标为(0,5)， 因为切，点(0,5)在曲线y=e+x+a上， 所以5=e+0+a,即5=1+a,解得a=4. 法二：对于y=e+x十a,其导数为y'=e+1, 假设y=2x+5与y=e+x十a的切，点为(o,), 1eo+1=2 y0=2x0+5 则yo=e十x十a,解得a=4. [答案]4 7.(2025·上海卷T19节选)已知fx)=x2-(m+2)x十mlnx,m∈R 若1)=0，求不等式x)sx2一1的解集. [解]因为1)=0，故1-m-2+0=0,故m=-1,故fx)=x2-x-lnx,故fx)sx2 -1即为x+ln21,设s(x)=x+lnx,x>0,则s'(x)=1+>0,故s(x)在(0，+oo)上为增 函数，而x+nx21即为x)2s(1),故x2l,故原不等式的解为[1，十∞) 课时作业（十四） 1.已知函数x)=ex,则f(一1)=() A. B.- C.e D.-e [解析]fx)=ex(-x)'=-ex,f(-l)=-e.故选D 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]D 2.(25一26高二下·河北·期末)已知函数fx)的导函数f(x)=(x2+1)e*.则下列选项正 确的是() A.f(2)f(e)f() B.fn)f(e)f(2) C.e)≤f2)s) D.f(2)f()fe) [解析]已知函数f)的导函数fx)=(2+1)e, .x∈R,∴fx)>0,所以函数x)在R上单调递增.选项中x=2,x=e,x=π大小 顺序为2<<.所以f2)fe)fm).故选A. [答案]A 3.(25一26高二下.四川雅安·期末)已知函数x)的导函数为f(),且fx)=2一 f1)x,f(1)=() A. B. C.e D [解析].x=2e-f(1)x,,fx)=2e-f1),令x=1,f1)=2e-f1),解得 f1)=e.故选C. [答案]C 4.(2026·北京怀柔·期末)设函数f)=十x-x,曲y=x)在点(1,1)处的切线方 程为y=2e,a,b的值分别为() A.a=e,b=1 B.a=2,b=e C.a=1,b=1 D.a=1,b=e ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 [解析]由x)=+xeax,得fx)=-+2xeax-xea-x,因为曲线y=y在，点(1， f1)》处的切线方程为y=2e,所以f1)=-b+2ea1-ea-1=-b+e1=0,f1)=b+ea1= 2e,解得a=2,b=e.故选B. [答案]B 5.(2026·安徽·高二校联考期末)若曲y=x2一lnx的一条切线的斜率是一1，切点 的横坐标为() A.1 B. C D.e [解析]定义域(>0).设切点的横坐标为x,则y'=2x一=-1，则x=(c=-1舍去). 故选B [答案]B 6.(25一26高二下·陕西渭南期末)曲y=在x=2处的切线的斜率为() A B. C. D.0 [解析]由题意可知，y'==,所以曲线y=在x=2处的切线的斜率k===,故选 B [答案]B 7.(25一26高二下·广东肇庆·期末)已知函数x)=,则该函数图象在点处的切线方 程为 [解析]f(x)=,f=2e2, 则切线的方程为y十e=2e2, 切线方程为y=2ex-3e(或2ex-y-3e=0) ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]y=2e2x-3e 8.(2026·北京丰台高二统考期中)已知函数x)=cos,0f(x)= [解析]由题可得f(c)=-sin'=-2sin. [答案]-2sin 9.(2026江西南昌·三模)设函数)的导数为fx),且r)=,Df1)= [解析]因为fx)=(0-2x)=-,所以f1)=-=-=一 [答案]一 10.(2026·安徽合肥·模拟预测)曲x=n(x+a)在x=1处的切线与直线y=+1平 行， [解析]函数f)=ln(x+a的定义域为(-a,+),由已知l>-a,故心-1，函 数x)=ln(c+a的导函数fx)=,所以f(1)=,因为函数y)=ln(x+a)在x=1处的切 线与直线y=十1平行，所以=，所以a=1,经验证，此时满足题意. [答案]1 11.(2026·全国·专题练习)已知函数x)满足x)=f1)e1一0)x+x2,求x)的解析 式 [解]x)=f1)e1-0)x+x2→f(d=f1)e-0)+x,令x=1得f(1)=f1)e°- f0)+1,故0)=1，故fx)=f(1)e-1-x+x2,令x=0得f0)=f(1)e1,故f1)=0)e= e,故x)=e-x+x2. 12.(2025·天津卷T20节选)已知函数x)=ax-(nx)2. (1)a=1时求x)在点(1,1)》处的切线方程. [解](1)当a=1时，尤x)=x-(n)2,>0,则f(x=1-(x>0), 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则(1)=1，且1)=1， 则切，点(1,1)，且切线的斜率为1，故函数x)在，点(1,1)处的切线方程为y=x. 13.(2026陕西汉中·期中)已知函数)=一+x+1,g()=e2+。 (1)求曲y=孔)在x=1处的切线方程； (2)若曲y=在x=1处的切线与曲线y=g(x在x=tt∈R)处的切线平行，求t的 值 [解](1)fx)=-3x2+1,1)=1,f1)=-2, 所以曲线y=x)在x=1处的切线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0; (2)由(1)可得，曲线y=x)在，点(1,1)处的切线方程为y=-2x十3，由g'(x)= 2e2t1, 可得曲线y=g(x)在x=tt∈R)处的切线斜率为g'(0)=-2e+1, 由题意可得-221=-2，从而t=. 14.(25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知函数x)=lnx++11,且f2)=0. (1)求x)的解析式； (2)求不等式f(x)<0的解集； (3)求曲y=x)在点(1,1)处的切线方程 [解](1)由题意，心0， 在)=lhnx++11中， fx)=-=, .f2)=0, 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 .∴f(2)==0,解得a=2, .fx)=lhx++11(x>0) (2)由题意由(1)得，0， 在x)=lnx++11中，fw)=, 则不等式fx)<0,即为<0， 即x-2<0,解得2， .不等式f(x)<0的解集为(0,2). (3)由题意及(1)(2)得，>0， 在)=lnx++11中，fx)=, f1)=1-2=-1, 1)=ln1++11=13, .曲线y=x)在，点(1,1)处的切线方程为y-13=-(x-1),即y=-x+14. ·独家授权侵权必究