第2章 第8节 函数与方程-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第八节函数与方程 教材梳理 知识点1函数的零点 (1)函数零点的定义 函数y三x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点】 (2)几个等价关系 方程x)=0有实数根场数y=x)的图象与x轴有交点·函数y=)有零点 (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数y=x)在闭区间[α，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号 相反，即b)<0,则在区间(a.b)内，函数y=x)至少有一个零点，即相的方 程x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解 思考：函数的零点是函数图象与x轴交点吗？ 提示：不是.函数的零点不是点，而是函数图象与x轴交点的横坐标， 知识点2二次函数y=ar2+bx十c(a>0)的图象与零点的关系 >0 4=0 小K0 二次函数 y=ax+bx+c (a>0)的图象 与x轴的交点 (,0x3,0 无交点 零点个数 2 0 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [常用结论] 1.若连续不断的函数fx)在定义域上是单调函数，则fx)至多有一个零点. 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√"或”×"） (1)函数fx)=2x的零点为0.() (2)图象连续的函数y=x(x∈D)在区间(a,b)二D内有零点，则a)b)大0.() (3)二次函数y=ax2+b.x+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.() [解析](2)afb)<0是连续函数y=r)在(a,b)内有零点的充分不必要条件，故 (2)错误. [答案](1)N(2)×(3)V 教材衍化 2.(25一26高二下山东烟台·期末)函数x)=-1gx的零点所在的一个区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,10) [解析]函数定义域为(0，十)，函数)在(0，+∞)单调递减，由x→0，x)→十 00) 1)=, 2)=-lg2==, 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又因为1g16>1,所以2)=<0； 所以1)2)<0，所以函数fx)=-lgx的零，点所在的一个区间为(1,2).故选B. [答案]B 3.(2026·全国·高一假期作业)下列图象中，不能用二分法求函数零点的是() [解析们根据零点存在定理，对于A,在零，点的左右附近，函数值不改变符号，所 以不能用二分法求函数零，点.故选A. [答案]A 考题体验 4.(25一26高二下·四川雅安·期末)函数fx)=x一4x2+5.x一2的零点个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]由题意令fx)=0有x3-4x+5.x-2=(x-1)(x-2)=0,解得x=1或x=2, 所以x)的零，点为1和2，所以x)有2个零，点.故选C. [答案]C 5.(2026·唐山检测)方程2+3x=k的解在[1,2)内，则k的取值范围是 [解析]令函数x)=2+3x-k,则x在R上是增函数.当方程2+3x=k的解在 (1,2)内时，1)f2)<0,即(5-)(10-<0，解得5<K10.又当1)=0时，k=5.综上， 实数k的取值范围是[5,10) ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案][5,10) 典例精讲 >>>>>> [例1](1)25一26高一下·云南玉溪·期末)函数x)=8x+2x一17的零点所在区间为 A. B. C. D (2)函数)=x一2-lnx在定义域内的零点的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 [思路点拨]借助函数零点存在性定理、函数的单调性→函数零点个数： [自主解答](1)已知fx=8x+2x-17,因为y=x,y=x都是R上的增函数，所以 函数)=8x3+2x-17是连续的增函数，易知1)=10-17=-7<0，f=30-17= 13>0,可知1)fK0,故函数y=8x+2x-17的零，点所在的区间是，故选C. (2)由题意可知x)的定义域为(0，十∞).在同一平面直角坐标系中作出函数y=x一2 (x>0),y=lnx(>0)的图象. 由图可知函数x)在定义域内的零点个数为2.故选C [答案](1)C(2)C [解题心得]方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的 正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区 间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单 调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断 独家授权侵权必究 零学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [例2](25-26高一·上海·课堂例题)已知函数y=2x-3.x2-18x+28在区间(1,2) 上有且仅有一个零点.试用二分法求出该零点的近似值.（结果精确到0.1） [思路点拨]根据二分法的思想及操作步骤求解即可. [自主解答]因为y=)=22-3x-18x+28, 所以1)=9,2)=-4， 取区间中，点x1=1.5,且1.5)=1>0，从而可知零点在(1.5,2)内； 再取区间中点3=1.75，且1.75)=-1.96875<0，从而可知零点在(1.5,1.75)内； 同理取区间中，点=1.625，且1.625)≈-0.6<0，从而可知零点在(1.5,1.625)内； 故此函数的零点是x=1.6. [答案]1.6 [解题心得]用二分法求函数零点的近似值，其精确度为正数，指将零点的初始 值区间[a,b]逐次二等分所得的区间[a',b']满足ad'-b1<e,此时取[，b]的一个端点值 α'（或b)作为函数的零点的近似值即可 [例3]某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本 为C(w),当年产量不足80千件时，C()=+10x(万元)；当年量不小于80千件时， C(x)=51x+-1450万元).通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商 品能全部销售完 (I)写出年利润万元)关于年产量（千件）的函数解析式； (2)年产量为多少干件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ [思路点拨](1)用“利润L=销售收入一成本”列函数关系式. (2)分别求出每段上利润的最大值，然后求整个函数的最大值. [自主解答](1)当0<x<80,x∈N时， ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 L(x)=-x2-10x-250 =-x+40x-250；当280时，x∈N时， L(x)=-51x-+1450-250 =1200-, L(x)= (2)当0<x<80,x∈N时， L(x)=-(x-60)2+950, ∴.当x=60时，L()取得最大值L(60)=950, 当x≥80，x∈N时， L(x)=1200-≤1200-2 =1200-200=1000, ∴.当x=,即x=100时， L(x)取得最大值L(100)=1000>950. 综上所述，当x=100时，L()取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在 这一商品的生产中所获利润最大， 高考再现 >>>>>> 1.(2026北京卷)已知x)=x2一cosx一c2引，给出下列四个结论： ①x)在（一1,1]上有最小值和最大值； ②c=1,x∈(-1,2]时，x)有最大值； 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 ③c=0,fx)=1有3个解： ④c>0,x)与y=c有4个交点. 其中正确结论的序号是 [解析]由题意得， ①在g(r)=x2-cosx-c2中，g'(x)=2x+sinx,g(1)=1-cos1-c2, g(-x)=(-x)2-c0s(-)-c2=x-cosx-c2=g(),函数为偶函数， 在h(r)=g'(x)=2x+sinx中，h'(x)=2+cosx>0, .∴.函数()单调递增， 又.h(0)=g'(0)=0+0=0, .当<0时，h(d=g(x0, 当x>0时，h()=g(x)>0, ∴g()在(-∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， .函数在x=0处取最小值，g(0)=0-c0s0-c2=-1-c2, 在fx)=x2-cosx-c1中， -x)=l(-)2-cos(-x)-c1=lx2-cosx-c=fx),∴为偶函数， 当gx)在(-1,1]内有零点时， 即∈(-1,0)，∈(0,1)，使得x)=x)=0, 此时x)在(-1，]，[0，]上单调递减，在[s1,0],[,1]上单调递增， )=)=0,0)=-g(0)=1+c2,1)=g(1)=1-c0s1-c2, ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 .1+c2>1-c0s1-c2, f0)>1), ∴代x)在x=6和x=处取最小值，x)min=0, 在x=0处取最大值，尤x)mx=1十c2, 当gw)在(-1,1]内无零，点时，x)=-g()=-x+cosx+c2, fx)在(-1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减， ∴fx)在x=1处取得最小值，x)mn=f1)=-1+cos1+c2, 在x=0处取得最大值，x)mx=术0)=0十c0s0十c2=c2十1，故①正确； ②当c=1时， Ax)=x2-cosx-1l,g(x)=x2-cosx-1, 1)=|1-cos1-1=c0s1>0, 由①可得，g(w)在(0，十∞)上单调递增， .g(1)=1-cos1-1=-cos1<0, g(2)=22-c0s2-1=3-c0s2>0, .x∈(1,2)，使得g()=0, .在x)=x2-cosx-1中，x∈(1,2]， 此时x)在(1，]上单调递减，在[x5,2]上单调递增， )在x=2处取最大值，②正确； ③同①可得推广结论， ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 在fx)=x-cosx-c1中，0)=10-cos0-c21=1+c2, -x)=(-x)2-cos(-x)-c1=x2-cosx-c=x),为偶函数， 即31∈(-∞，0)，x∈(0，+o∞)，使得g()=0,g)=0, 此时x)在(-∞，]，[0，]上单调递减，在[x1,0],[2,十∞)上单调递增， ∴代x)在=和x=处取极小值， 当c=0时，x)=x2-cos,g(x)=x2-cosx,0)=1, x)在(-oo,]上单调递减，x)=0, .∈(-o,],使得)=1， x)在[x2,+)上单调递增，x)=0, ∴.3x4∈[，+o∞)，使得4)=1， .当x=,4,0时，尤x)=1, .c=0,x)有3个解，故③正确； ④由③可得， 在fx)=x2-cosx-c21中，f0)=1+c2, 此时x)在(-o∞，]，[0，x]上单调递减，在[x1,0],[x2,+)上单调递增， 在w(x)=1+X-x中，△=(-1)2-4×1×1=-3<0,1>0，开口向上， .函数o(w=1+x-0,即1十x2>x恒成立， ∴f0)=1+c2>c ∴y=c在0)下方， ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 .c>0, y=c在x轴上方，此时y=c与有4个交点，故④正确. y=f(x) B/ [答案]①②③④ 2.(2024新课标川卷)设函数)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax,当xE(-1,1) 时，曲线y=x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=() A.-1 B. C.1 D.2 [分析]法一：令F(x)=ax2+a-1,Gx)=c0sx,分析可知曲线y=F()与y=Gx) 恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交，点只能在y轴上，即可得α=2，并代入检 验即可；法二：令h(x)=)一g(x),x∈(-1,1)，可知hx)为偶函数，根据偶函数的对 称性可知h()的零，点只能为0，即可得a=2,并代入检验即可. [解析]法-：令x)=gx),即ax+1)2-1=cosx+2ax,可得ax2+a-1=cosx, 令F(x)=a2十a-1,G(x)=cosx,原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F()与y= G()恰有一个交点，注意到F(),G()均为偶函数，可知该交，点只能在y轴上，可得 F0)=G(0),即a-1=1,解得a=2,若a=2,令Fx)=Gx),可得2x+1-cosx=0. 因为x∈(-1,1)，则2x20,1一c0s20,当且仅当x=0时，等号成立，可得2x2+1- c0sx20,当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-c0sx=0有且仅有一个实根0， 即曲线y=F(x)与y=G(d)恰有一个交，点，所以a=2符合题意；综上所述：a=2 ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 法二：令h()=x)-g()=ax2+a-1-cosx,x∈(-1,1)，原题意等价于h(x)有且 仅有一个零，点，因为h(-x)=a(-)+a-1-cos(-x)=a2+a-1-c0sx=h(,则hx) 为偶函数，根据偶函数的对称性可知hc)的零，点只能为0，即h(0)=a-2=0,解得a= 2,若a=2,则h(x)=2x+1-c0Sx,x∈(-1,1)，又因为2x≥0,1-c0s20当且仅当x =0时，等号成立，可得h(x)20,当且仅当x=0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零 点0，所以a=2符合题意；故选D. [答案]D 3.(2025·天津卷)函数x)=0.3一的零点所在区间是( A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) [解析]由指数函数、暴函数的单调性可知：y=03”在R上单调递减，y=在[0，+ ∞)单调递增，所以)=0.3-在定义域上单调递减，显然f0)=1>0,0.3)=0.33- 0.35>0,0.5)=0.35-0.55<0,所以根据零，点存在性定理可知fx)的零，点位于(0.3， 0.5).故选B [答案]B 4.(新课标全国1卷)已知函数x)=c0sωx一1(w>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零 点，则ω的取值范围是 [解析]函数x)=c0sx-1在区间[0,2]有且仅有3个零点，即c0sωx=1在区 间[0,2π有且仅有3个根，因为w>0,x∈[0,2]，所以wx∈[0,2ωm],则由余弦函数 的图象可知，4π≤2w<6π，解得2≤w<3,即ω的取值范围是[2,3). [答案][2,3) ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.(2024全国甲卷（文）)曲线y=x-3x与y=-(x-1)2+a在(0，+∞)上有两个不同 的交点，则a的取值范围为 [分析]将函数转化为方程，令x-3x=-(x-1)十a,分离参数a,构造新函数 g()=x+x-5x十1，结合导数求得g(x)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. [解析]令x-3x=-(x-1)2+a,即a=x3+x2-5x+1,令g(d=x3+x2-5x+ 1(c>0),则g(y=3x+2x-5=(3x+5)x-1),令g'(x)=0(c>0)得x=1,当x∈(0,1)时， g()<0,g(x)单调递减，当x∈(1，+o)时，g'(x)>0,g()单调递增，g(0)=1,g(1)= 2,函数g心)与y=a的图象如图所示，因为曲线y=x-3x与y=-(c-1)2十a在(0，十 ∞)上有两个不同的交点，所以等价于y=a与g(x)有两个交，点，所以aE(-2,1). y V=g(x) y=a [答案](-2,1) 6.(2026·全国川卷)若函数)=2x+22-x一m有两个零点，则m的取值范围是 [解析]令f孔x)=2"+22-x-m=0,得2+22-x-m=0,即2+22-=， 令t=2,则2"+22-x-m=0,即t+-m=0,f-mt+4=0(>0), 则一元二次方程P-t十4=0(t>0)有两个正根， 那么→>4， 所以，m的取值范围是(4，十o∞) ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 y=g(x) [答案](4，+∞) 课时作业（十三） 1.(2026高二上·北京·学业考试)已知函数fx)=x一2.下列区间中包含fx)的零点的 是() A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) [解析]因为)=x3-2=0,解得x=,所以x=∈(1,2)，故选D. [答案]D 2.(2026·陕西汉中·期末)设函数x)=,则x)的零点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 [解析]当>0时，令l0gx-1=0,.x=2或x=,x)有2个零点；当s0时，令 2x十x=0,即2x=-x,结合函数y=2,y=-x的图象可知二者在x≤0时有1个交，点， 即此时x)有1个零，点.综合可知，)的零，点个数为3.故选D. ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]D 3.(2026·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试)已知函数x)的图象是连续不断的，且 x,)有如下的对应值表： 3 5 6 ) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49 则函数x)在区间[1,6]上的零点有( A.两个 B.3个 C.至多两个 D.至少三个 [解析]因为函数x)的图象是连续不断的，且2)3)<0，所以)在区间(2,3)上 至少有1个零，点，因为函数x)的图象是连续不断的，且3)4)<0，所以x)在区间 (3,4)上至少有1个零点，因为函数)的图象是连续不断的，且4)优5)<0，所以x) 在区间(4,5)上至少有1个零，点，综上，函数x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.故 选D [答案]D 4.(25-26高一下.四川成都·期末)函数y=1一2sin3x,x∈(0，)的零点个数是( A.2 B.3 C.4 D.5 [解析]令y=0得sin3x=,因为x∈(0，)，所以3x∈(0,3m),故3x=或或或，解 得x=或或或，所以零，点个数为4.故选C. [答案]C 5.(2026·湖南益阳·三模)函数fw=cos2x-sinx在(-2π，2)内的零点之和为( 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.-π B.-2π C.- D.0 [解析]由题意有fx)=cos2x-simx=1-2sinx-sinx=-2+,令x)=0,有-2 +=0,即=， 解得sinx=-1或sinx=, 作出y=sinx在x∈(-2π，2)的图象， 则y=与y=sinx的交点的横坐标为1，，x4,,<<r45, y=一1与y=sinx的交，点横坐标为x3,x6,x<6, 由图可知十3=2×=一3π，x4十=2×=兀，3=-，6=， 所以G1十2十十x4十5十6=一3π十十π十=一π，故选A. sin x 2T 2π13π x3:0/ 4 [答案]A 6.(2026·陕西汉中期末)已知正数a,b,c满足=log2a,=b2,=c,则a,b,c的 大小关系是() A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c y y=h(x) y=q(x) y=g(x) y=f(x) 0 ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]记)=，g()=log2x,h(d=x,q)=x,则a,b,c分别为函数g)= logx,h(x)=x,qc)=x的图象与r)=图象交，点的横坐标，由图可知，c<b<a.故选B. [答案]B 7.(2026·上海杨浦·高一期末)已知函数)=，若函数x)存在零点，则实数α的取 值范围是() A.(-∞，0) B.(0,+∞) C.(-∞，1) D.(1,+∞) =2 4-3-2-101234x 入y=-x [解析]如图所示：指数函数y=2>0,没有零，点，y=一x有唯一的零点x=0,所 以若函数x)存在零点，须)=-x(c<)有零点，即0E(-∞，a,所以a>0.故选B. [答案]B 8.(25一26高一下·云南昭通·期末)函数x)=的所有零点之和为) A.8 B.7 C.5 D.4 [解析]当s0时，x+2x-3=0,解得x=-3;当>0时，lgx-1=0,解得x= 10,所以函数x)的零，点和为7.故选B [答案]B 9.(2026·江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习)函数x)=(3一27)n(x一1) 的零点为() 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.2,3 B.2 C.(2,0) D.(2,0),(3,0) [解析]由x)=0,得(3-27)ln(x-1)=0,即3-27=0或ln(x-1)=0,解得x= 3或x=2,所以函数fx)=(3”-27)ln(c-1)的零，点为2,3.故选A. [答案]A 10.(2026山东青岛二模)函数f)=d-a(a>0,a≠1)的零点为() A.0 B.1 C.(1,0) D.a [解析]因为x)=d-a(a>0,a≠l),令x)=d-a=0,解得x=l,即函数的零，点 为1.故选B [答案]B 11.(2026山西省长治市第二中学校高一期末未)已知函数x)=,则使函数g(x)=x) 十x一m有零点的实数m的取值范围是 、y=-x+1 y=x 2fx)=e*(x>0) fx)=0(x≤0) 1A 5-4-3-2-1012元 -1 [解析]令g(x)=0→x)=-x+m,现作出y=x),y=一x十m的图象，如图：于 是，当∈(-∞，0]U(1,十∞)时，图象有交，点，即函数g()=十x-m有零，点. [答案]（一∞，0]U(1,+∞） 12.(25一26高一上·云南昭通期中)已知函数f孔x)=直线y=一2x+a与函数fx)的图 象恒有两个不同的交点，则实数α的取值范围是 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]作出函数x)=的图象如图所示，其中，点A(0,1). y=f(x) y=-2x+a 由图知，要使直线y=一2x十a与函数x)的图象恒有两个不同的交，点， 需使直线y=-2x十a与y轴的交，点(0，a)在点A下方（含点A),即as1. 故实数a的取值范围为(-∞，1]. [答案]（-∞，1] 13.(2026·上海嘉定)已知函数y=x)在区间[0,5]上的图象是一段连续的曲线，且 有如下的对应值表： 0 1 3 4 y 一1 2.2 4.6 -3.16 -1 8.8 设函数y=x)在区间[0,5]上零点的个数为n,则n的最小值为 [分析]利用零点存在性定理求解即可. [解析]由题意得0)1)<0,2)3)<0,4)5)<0，故由零，点存在性定理知函数 y=在区间[0,5]上零，点的个数至少为3，故n的最小值为3. [答案]3 14.(25一26高一下·云南楚雄期末)已知函数fx)=有且仅有3个零点，则a的取值 范围为 [解析]令)=d-1=0,得x=0,所以w)在(-∞，1]上有1个零，点，则)在 (1,十)上有2个零，点，所以，解得4<<5，所以a的取值范围为(4,5). ·独家授权侵权必究· 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案](4,5) ·独家授权侵权必究