微专题12 指对同构快速解题 讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学微专题12 指对同构快速解题 一、常见的同构函数图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 过定点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 二：同构式的基本概念 1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用： （1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根 （2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路> ①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键； ③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程 （4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解 3、常见的指数放缩： 4、常见的对数放缩： 5、常见三角函数的放缩： 6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： （1） 且时，有 （2） 当 且时，有 再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3） （4） （5） （6） ; 再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申： （7）； （8）； 7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ①； ②； ③ 8、乘法同构、加法同构 （1）乘法同构，即乘同构，如； （2）加法同构，即加同构，如， （3）两种构法的区别： ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数； ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围； 三 、指对同构核心思想 指对同构的核心思想：把含有 ex 与 ln x 的混合式子，变形为两边结构完全一致的形式 F(u)=F(v)，借助函数 F(x) 的单调性去掉外层函数符号，得到 u、v 的关系式，实现跨阶化简。指数、对数属于跨阶函数，直接求导处理往往繁琐，同构是突破这类问题的重要手段。 四、易错点总结 1．看到式子结构形似，就直接由 F(a)=F(b) 推出 a=b，忽略先证明构造函数 F(x) 的单调性。只有函数严格单调，才能消去外层函数符号；非单调函数不能直接得到变量相等。 2．使用切线放缩、保值性解题时，只求出必要条件，不检验等号能否同时成立。很多题两处放缩的等号条件互相矛盾，原式取不到等号，此时参数端点必须舍去。 3．变形过程忽略定义域，ln x 自带 x>0 的约束；同乘、移项、换元时容易扩大或缩小变量取值范围，造成结果出错。 4．混淆“恒成立”与“存在成立”的逻辑。恒成立要求区间内所有自变量都满足条件；存在成立只需至少一个自变量满足，二者推导出的参数范围方向不同。 5．同构化简结束后，不再做后续最值分析，直接给出参数答案。部分题目还需要继续求最值，或代入特殊点寻找矛盾区间，排除错误端点。 6．指数、对数恒等改写出错，x=eln x、eln x=x 这类变形符号写错，导致同构构造失败。 7．遇到复杂式子不做预处理，直接硬求导。很多题目需要先移项、同乘除、提取公因式才能凑出同构结构，盲目求导会使表达式更加复杂。 8．混淆镜像函数 与 g(x)=ln x/x 的单调性、最值点，忘记转换关系 f(x)=g(ln x)，把两个函数的图像与性质记混。 必考题型分归纳： 题型一 经典六大同构函数 1．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A．B．C． D． 2．已知，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 题型二 朗博同构与保值性 4．若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 5．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，当时，则（    ） A．有两个极值点 B．有极大值 C．可以是负数 D．一定是正数 题型三 双变量同构·零点对应关系 7．已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为______. 8．已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 9．已知为函数的零点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固提升： 1．已知函数.若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．不等式恒成立.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知不等式，对于任意的恒成立，则的最大值______. 4．已知恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是______. 9．对于任意的，不等式（，且）恒成立，则的取值范围是______. 10．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 11．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 12．已知正数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 13．已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D．3 14．已知正数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 15．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若时，证明：当时，恒成立. 16．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若，求的取值范围. 17．设函数. (1)讨论的导函数零点的个数； (2)证明：当时，. 18．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，则下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④. A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 20．已知实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 21．已知满足（是自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 22．已知，则（    ） A． B． C． D． 23．若，且，则（    ） A． B． C． D． 24．已知，，当时，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．对于正数，使，则（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学微专题12 指对同构快速解题 一、常见的同构函数图像 函数表达式 图像 函数表达式 图像 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 过定点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 函数极值点 二：同构式的基本概念 1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用： （1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根 （2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路> ①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键； ③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程 （4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解 3、常见的指数放缩： 4、常见的对数放缩： 5、常见三角函数的放缩： 6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： （1） 且时，有 （2） 当 且时，有 再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3） （4） （5） （6） ; 再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论， 这里仅以第（3）条为例进行引申： （7）； （8）； 7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ①； ②； ③ 8、乘法同构、加法同构 （1）乘法同构，即乘同构，如； （2）加法同构，即加同构，如， （3）两种构法的区别： ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数； ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围； 三 、指对同构核心思想 指对同构的核心思想：把含有 ex 与 ln x 的混合式子，变形为两边结构完全一致的形式 F(u)=F(v)，借助函数 F(x) 的单调性去掉外层函数符号，得到 u、v 的关系式，实现跨阶化简。指数、对数属于跨阶函数，直接求导处理往往繁琐，同构是突破这类问题的重要手段。 四、易错点总结 1．看到式子结构形似，就直接由 F(a)=F(b) 推出 a=b，忽略先证明构造函数 F(x) 的单调性。只有函数严格单调，才能消去外层函数符号；非单调函数不能直接得到变量相等。 2．使用切线放缩、保值性解题时，只求出必要条件，不检验等号能否同时成立。很多题两处放缩的等号条件互相矛盾，原式取不到等号，此时参数端点必须舍去。 3．变形过程忽略定义域，ln x 自带 x>0 的约束；同乘、移项、换元时容易扩大或缩小变量取值范围，造成结果出错。 4．混淆“恒成立”与“存在成立”的逻辑。恒成立要求区间内所有自变量都满足条件；存在成立只需至少一个自变量满足，二者推导出的参数范围方向不同。 5．同构化简结束后，不再做后续最值分析，直接给出参数答案。部分题目还需要继续求最值，或代入特殊点寻找矛盾区间，排除错误端点。 6．指数、对数恒等改写出错，x=eln x、eln x=x 这类变形符号写错，导致同构构造失败。 7．遇到复杂式子不做预处理，直接硬求导。很多题目需要先移项、同乘除、提取公因式才能凑出同构结构，盲目求导会使表达式更加复杂。 8．混淆镜像函数 与 g(x)=ln x/x 的单调性、最值点，忘记转换关系 f(x)=g(ln x)，把两个函数的图像与性质记混。 必考题型分归纳： 题型一 经典六大同构函数 高中阶段六个母同构函数及其单调区间、最值如下表所示。解题时先识别式子属于哪一个母函数结构，再利用其单调性与最值处理取值范围、恒成立与零点等问题。 母同构函数 单调区间 最值 f(x)=xex (-∞,-1)单调递减；(-1,+∞)单调递增 最小值 f(-1)= - (-∞,1)单调递增；(1,+∞)单调递减 最大值 f(1)= f(x)=x+ln x (0,+∞)单调递增 实现 ex+x与 x+lnx互相转化：ex+x=ex+ln ex f(x)=x-ln x (0,1)单调递减；(1,+∞)单调递增 最小值 f(1)=1，切线放缩母函数 (0,e)单调递增；(e,+∞)单调递减 最大值 f(e)= 与 二者互为镜像函数 满足 f(x)=g(ln x) 变形手段 x+ln x=ln(x ex) ex-x=ex-lnex x-ln x=ln() 当 F(x) 单调时，F(a)=F(b) ⇔ a=b；若 F(x) 单调递增，则 F(a)<F(b) ⇔ a<b。消去外层函数符号的前提是先证明 F(x) 的单调性。 1．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】等价于， 法一：令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，所以只需，法二：（同构函数最小值为），即.故选B. 2．已知，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，有，所以， 有，当且仅当时取等，所以，即的取值范围是.故选D. 3．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由于函数在区间单调递增，单调递减，则，当，即时，单调递增，故选B. 题型二 朗博同构与保值性 朗博函数指的是形如或类型的函数，我们可以将这类函数进行“改头换面”处理，比如，，；关于朗博函数我们统一往母函数同构，相信大家都知道这个基本切线不等式，即恒成立，当且仅当时等号成立. 如图1所示，令，时，，故在区间单调递减，在区间单调递增，； 如图2所示，，当，即单调递减，当，即单调递增，； 这是高中阶段两个最重要的切线函数，由于它们的最小值都是0，也成为了高考中最重要的非负函数，能够使用函数的非负性解题，比如，当且仅当时等号成立，由于涉及同构，故我们称之为同构式保值性. 若恒成立，且，当时，则余量函数一定满足恒成立；例如：，我们易知，，，如图3和图4，两个函数都是单峰函数，且在时同时取得最小值，故恒成立，当时，我们发现当时，恒成立，如图5；此时我们只知道是恒成立的，但这只是必要条件，我们需要说明时不成立，此时我们只需要使用找特殊点探路法，代入，故. 4．若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】原不等式等价于，即能成立.令，令，，，因此，即实数的最小值为1.故选B. 5．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，易知，，故恒成立，当时，不等式由两个正数相加而来，故成立，当时，当，且时，，与题意不符；即实数的取值范围为.故选B. 6．已知函数，当时，则（    ） A．有两个极值点 B．有极大值 C．可以是负数 D．一定是正数 【答案】D 【详解】，令，当且仅当时取等，，当且仅当同时成立时取等，显然不能同时成立，选项D正确.故选D. 题型三 双变量同构·零点对应关系 已知同构函数 F(x) 单调：F(x1)=F(x2) ⇒ x1=x2（单调函数一一对应）； 若 F(a)=G(b)，经过变形写成同一个函数形式 H(u)=H(v)，即可得到 u、v 之间的等式，用于处理双零点、双变量问题。 两类高频模型： 差值模型：变形后出现 F(x1)=F(x2)，得到加法等差关系； 比值模型：变形得到指数、对数比值结构，得到乘法等比关系。 口诀：差值函数构等差，比值函数构等比。 典型场景：两个函数零点 x1、x2，满足 f(x1)=0、g(x2)=0，对方程变形后凑成相同的同构函数，建立 x1、x2 的等式，进而求 x1+x2、x1x2 的最值。 7．已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为______. 【答案】 【解】由题意得， 又，故，即，所以，构造，知，当且仅当，即时取得最大值为. 8．已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解】因为分别是函数与的零点，所以，则，即，设，所以，则，所以，则.故选C. 9．已知为函数的零点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解】令，推得，即，即， 因为，所以，令，所以， 为函数的零点，即，即.故选B. 巩固提升： 1．已知函数.若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，令，则有，当且仅当时取等，即即实数的取值范围为.故选B. 2．不等式恒成立.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为. 不等式，即 设，当且仅当时取等，所以， 设，于是则，所以的取值范围为.故选A. 3．已知不等式，对于任意的恒成立，则的最大值______. 【答案】 【详解】构造函数，根据题意，， 在此基础上进行同构式转换，即， 原不等式可以转化为同构式，由于恒成立， 且当仅当时等号成立.故，即. 当时，取代入，则，矛盾；故答案为：. 4．已知恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以，即.构造函数单调递增，所以时.所以，即，记，所以，所以，解得，所以的取值范围是.故选B. 5．若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，令，则，令，因为函数均在上单调递增，所以在上单调递增，所以由，得，即（由于），解得，即的取值范围为.故选A. 6．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，由于和明显存在“差一”的错位，无法构造出乘法同构式，思考加法的同构，由于不等式的右边可以提出，故将其除去，得到式子，式子右边没有参数，但左边存在，根据同构式的同形式同结构原理，我们需要将移至不等式左边，即，显然不等式的两边都加上即可同构成功，，构造函数，，易知在上单调递增，故只需，两边取指数得，这里求最值也可以利用同构式来解决，令，易知，，即，故选B. 7．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则，则， 等价于，即为， 所以，所以，所以的取值范围是.故选A. 8．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】，由于指数和对数的跳跃跨阶问题，故需要构造连续跨阶函数来化简，不等式两边同乘以，构成，构造，故不等式满足，易知在区间为增函数，且时，时，，即满足，综合只需恒成立，，故答案为. 9．对于任意的，不等式（，且）恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据函数图像可知，时显然不成立，两个函数一定有交点，当时， ，构造函数， 故只需，即max，所以，即. 10．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 【答案】 【详解】由题对任意的恒成立，即不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，即，，可设，，则，当且仅当时取等；故答案为：. 11．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 即，所以， 易知恒成立，当且仅当时取等，所以，经检验选项A符合题意.故选A. 12．已知正数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由， 设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，故，当且仅当，即时取等号； 设，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故，当且仅当时取等号，又，此时，则.故选A. 13．已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由题意可得，设， 则，故，即，令，当且仅当时取等，故，即，此时且， 解得，故.故选A. 14．已知正数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式得到当且仅当时取等号，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，即可说明当且仅当时取等号，从而得到且时成立，即可得解得的值，从而得所求. 【详解】因为，所以， 由于，当且仅当时取等，令，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即恒成立当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时，等号成立， 即，又因为， 所以，且，解得， 所以.故选：C. 15．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若时，证明：当时，恒成立. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），当时，在 当时，时，，；当时，， 综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）法一：原式等价证，令，，，，故，，又，故，，故得证！ 法二（放缩）：由题得，令， 下证即可.，再令，则在， 则，即在， 故，即在，故，得证！ 法三（同构）令，易证恒成立，且当时，单调递增，由题意得：， 由于，故. 16．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，所以，所以，因为，所以曲线在点处的切线方程为，当时，，当时，，所以曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积. （2）方向一（同构单调性）： 法一：由于，故，即，构造，故不等式满足，易证在区间为增函数，且时，时，，即满足，或者，综合只需恒成立，两边取指数得：，即.法二：由于，故，即，构造，易知为单调增函数，且满足，故，即. 法三：要使， 等价于， 即，由，（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），故需满足，①当时，；②当时，，当时，，故；③当时，则，矛盾；综上的取值范围为. 此题中余量部分是，定义域内恒正，求参数范围问题一定要找矛盾区间证明. 法四：本题等价于时，求的取值范围，根据题意可知，故，当且仅当时等号成立，故余量函数成为分类讨论的关键： ①当时，对恒成立，故恒成立； ②当时，，当时，，故恒成立； ③当时，对恒成立，取代入，矛盾；综上的取值范围为. 17．设函数. (1)讨论的导函数零点的个数； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）的定义域为，所以. 当时，恒成立，故没有零点， 当时，因为为单调递增，单调递增，所以在单调递增，又， 当时，，取，（ATM找点之Area）， 故当时，，使，导函数存在唯一的零点， （1）要证，只需，即证，构造函数，显然，由于，， 故，当仅当且，即时等号成立，所以当时，. 18．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以①，又因为，所以②，所以①②得：，因为在递增，所以，则， 所以，令，故选A. 19．函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，则下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④. A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【详解】由函数和得，因为与有相同的最大值，所以，即，所以，.所以①②正确.两个函数图像如图所示： 由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，且，由，又，，又当时，单调递增，所以，又，又，又当时，单调递减，所以，，，于是有，所以④正确， 如果，则，所以，所以，所以， 与矛盾，所以错误，所以③错误.故选B. 20．已知实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以，故A正确； 所以，故B错误； 因为在上是增函数，，所以由得：，因为在上是增函数，所以，故C正确； 令，则，，在上是减函数，，在上是增函数，，又，，所以，故D正确.故选ACD. 21．已知满足（是自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故，故，故A错误； ，且；构造，易知为单调递增，，，所以，故C错误； ，所以，故选项B错误； ，构造，显然时单调递增，，，所以，故D正确.故选D. 22．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】同构1：.设，其中.得在在上单调递增.注意到.则.又在上递增，则有.故B正确； 同构2：，故C正确. 由可知，所以A错误； 对于D选项，根据BC选项可得：，所以，故D正确.故选BCD. 23．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，且， 所以，利用切线放缩可知，再利用糖水不等式得： 利用，所以， 设且，则，所以在单调递减， 由，得，则，所以.故选BC. 24．已知，，当时，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以在为增函数，由与图像知，在有唯一的零点，当时，，当时，，若，则在上恒成立，与矛盾，故.显然的定义域为且，且，因为，所以，所以当时，，即，当且仅当，即时等号成立.所以的最大值为.故选D. 25．对于正数，使，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由，可得，也即，因为函数在上单调递增，则，所以要，使，即，使，则，所以，则有，即，所以，A错误； 由，得，又因为为正数，，B正确； 由，得，所以，则，C正确； 由，取，满足，但，D错误.故选BC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $