第2章 第6节 对数与对数函数-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第六节对数与对数函数 教材梳理 >>>>> 知识点1对数与对数运算 (1)对数的运算性质 ①ae,v=y;②log,d=N;③logl=_0_(a>0且a≠1). 思考：1ogx2=2logx一定成立吗？ 提示：不一定.如log(-5)2≠2l0g(-5). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,则 ①log.(MW=logM+logW; ②loga=logM-logN; ③log=logM(n∈R). (3)对数的换底公式 logb=_(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0), 知识点2对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y y y=logx 图象 (1,0) 0 (1,0) y=logx 性质 定义域：(0.十∞) 值域：R 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 图象过定点L,0),即恒有l1og1=0, @当x>1,恒有>0；当0<x ②当x>1时，恒有0：当0<x <1时，恒有y心0 <1时，恒有20· 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数 [常用结论] 1.换底公式的两个重要结论 (1)10gab=: (2)logb'”=logb.其中a>0且at1,b>0且b￥l,m,n∈R. 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0< c<d<1<a<b.由此我可得到以下律：在第一象限内从左到右底数逐增大 y=log.x y=logx …y=1 y=log.x y=logx 3.函数y=l0gx与y=d是互为反函数，其图象关于y=x对称 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×”） (1)1og2.x2=2l0gx.() (2)函数y=log2(x+1)是对数函数.() (3)函数y=n与y=ln(1+x)-ln(1一x)的定义域相同.（) 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (4)当它1时，若log>logx,则a<b.() [解析](1)log2x2=2log2x,故(1)错误. (2)形如y=loga(a>0,且a≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b<1<a,则当x>1时，logax>logx,故(4)错误. [答案](1)×(2)×(3)N(4)x 教材衍化 2.log29×log34+2log510+log50.25=() A.0 B.2 C.4 D.6 [解析]原式=21og23×(2log2)+log5(10×0.25)=4+l10g525=4+2=6. [答案]D 3.(25一26高二下·山东德州期末)已知6m=a,log6b=n,若m+n=一，则ab=( A. B C. D.36 [解析]由6"=a可得1=log6a,由m十n=-可得log6a+logb=log6ab=-,所以 ab=6=三.故选B. [答案]B 考题体验 4.(25-26高二下·河北·期末)设alog9=2,则3a=() A.2 B.3 ·独家授权侵权必究 季学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.log23 D.10g32 [解析]由l0g29=2,可得l0g29=2,所以92=4,3a=2.故选A. [答案]A 5.(25一26高二下·海南海口·期未)已知1og<,则实数a的取值范围为() A.(1,+∞) B./ 0 D.U [解析]log<=loga, ①a>1; ②0<a< 所以实数a的取值范围为U(1,十∞).故选A. [答案]A 典例精讲 >>>>>> [例1](1)计算： 21g)2+lgg5+, (2)已知2lg=lgx+lgy,求log6-2 [思路点拨](1)观察式子的特征，利用对数的运算性质将式子化简（如去根号、降幂 等)，然后求值. (2)利用已知条件求得和值后，代入log6-2求值， ·独家授权侵权必究 令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [自主解答](1)原式=lg(2lg+lg5)+=lgg2+lg5)+g-1=lg+(1-lg)=1. (2)由已知得lg=lgy, '.=y,即x2-6y+y2=0. .∴.-6+1=0 .=3十2或=3-2 >1,.=3+2, .log(3-22y =logg-22(3+2V2) =log3-23-2√2 =-1. [解题心得](1)对数的运算性质，以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意 的前提下才成立 (2)在运算中要注意对数化同底和指数与对数的转化. [例2]已知函数fx)=关于x的方程f孔x)+x一a=0有且只有一个实根，则实数a的 取范是 [思路点拨]画)的图象，利用数形结合来解决. [自主解答]问题等价于函数y=x)与y=-x十a的图象有且只有一个交点，结合 函数图象可知a>1. [答案](1，+∞) 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解题心得]应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调 区间)、值域（最值、零点时，常利用数形结合思想！ (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求 解 [例3](25-26高二下·天津·期末)已知函数x)=log(2+x)-log(2一x)(a>0,且 a≠1) (1)判断x)的奇偶性，并证明； (2)当a=3时，若fm)一-m)水2，求实数m的取值范围. [思路点拨](1)利用函数的奇偶性定义判断即得； (2)在α=3时，先利用复合函数的单调性判断函数)在(-2,2)上单调递增，再利 用奇函数性质和特殊值，将不等式转化成m1),根据函数的单调性即得参数m的范 围， [自主解答](1)由可得-2<<2，即函数的定义域为(-2,2)，关于原点对称，因为 尺-x)+x)=loga(2-x)-l1og(2+x)+log(2+x)-log(2-x)=0,故函数x)为奇函数 (2)当a=3时，尤x)=log3(2十x)-log(2-x)=log3=log3,因为函数y=-1-在(- 2,2)上单调递增，又因为函数y=l0g3x在定义域内单调递增，故函数x)在(-2,2)上 单调递增； 又因为-m)=-fm),且1)=1，故不等式fm)--m水2等价于2m)<21), 即m<f1),即可得-2<m<1,故实数m的取值范围为(-2,1). 高考再现 >>>>>> 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.(2024·全国甲卷（文）)已知a心1且-=-，则a= [分析]将logsa,logA利用换底公式转化成l0g2a来表示即可求解. [解析]由题意得，-=-log2a=-,整理得(10g2a2-5log2a-6=0,→log2a=-1 或l0g2a=6,又a>1,所以l0g2a=6,故a=25=64. [答案]64 2.(2025新高考1卷)若实数x,y,=满足2十l0gx=3+logy=5+l0g5,则x,y, 的大小关系不可能是() A.xy>E B.x>y C.yx> D.yx [分析]法一：设2十l0g2x=3+logy=5+logs==m,对m讨论赋值求出x,y,=, 即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出 [解析]法一：设2+log2x=3十logy=5+l0g52=m,所以令m=2,则x=1,y=3 =,=53=,此时x>,A有可能；令m=5,则x=8,y=9,=1,此时>x>,C 有可能；令=8，则x=2=64,y=35=243,=53=125,此时y>>x,D有可能；故 选B 法二：设2+l0g2x=3+10gy=5十l0g52=m,所以，x=2m2,y=3m3,==5m5 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y=22,y=33,y= 55的图象，以上方程的根分别是函数y=22,y=33,y=55的图象与直线x=的交 ,点纵坐标，如图所示： ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ix=m 易知，随着m的变化可能出现：>，y>x,P>x,>y>x,故选B. [答案]B 3.(湖南·高考真题)函数w)=1og(1+x)的定义域为() A.(-∞，-1) B.(-1,+∞) C.[-1,+∞) D.(0,+∞) [解析]由题意可得1+x>0,解得x>一1，所以函数x)=log(1十x)的定义域为 (-1,+∞)，故选B. [答案]B 4.(2025·北京卷)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需 要的时间T=log2N(单位：h),其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从10°个 单位增加到1.024×10个单位时，训练时间增加20h;当训练数据量N从1.024×10个单 位增加到4.096×10个单位时，训练时间增加() A.2h B.4h C.20h D.40h [解析]设当N取10个单位、1.024×10个单位、4.096×10°个单位时所需时间分别 为T,T2,T, 由题意，T1=l0g2105=6l0g210, T2=l0g2(1.024×109)=log2(210×10) 独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =(10+6log210) T3=l0g2(4.096×10)=log2(212×10) =M12+6l0g210), 因为T2-T1=k(10+6l0g210)-6Mog210=10k=20,所以k=2, 所以T3-T2=k(12+6log210)-10+6l0g210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×10个单位增加到4.096×10个单位时，训练时间增加 4小时.故选B. [答案]B 5.(天津卷)已知a=l0g27,b=log8,c=0.32,则a,b,c的大小关系为() A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b [解析]显然c=0.302∈(0,1). 因为log33<log38<log9，所以1<b<2. 因为log27>l0g24=2,所以a心2.故c<b<a. [答案]A 6.(2024·北京卷)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别 表示河流中的生物种数与生物全体数生物丰富度指数. d越大，水质越好，如果某 河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由M变为M,生物丰富度指数 由2.1提高到3.15，则() A.3N3=2N B.2N2=3N1 C.N=N D.N=N 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [分析]根据题意分析可得=2.1，=3.15，消去S即可求解。 [解析]由题意得，=2.1，=3.15，则2.1lnN=3.15lnM2,即2lnM1=3ln5, 所以N=N.故选D. [答案]D 课时作业（十一） 1.(25一26高二下·山东日照·期末)若logm=2,b3=m,则1ogm(ab)=() A. B. C D [解析]由b3=m可得：logm=3 logm(ab)=logma++logmb =十=十三故选C [答案]C 2.(25-26高二下·湖南衡阳期末)设a=,b=log8,c=log25,则() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a [解析]b=log38<1og9=2=log24<c=log25=log425<1og432==a.故选D [答案]D 3.(25一26高二下·河北沧州·期末)函数y=31og(x一1)+1(a>0且a≠1)的图象恒过 的点为() A.(1,1) B.(1,4) 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.(2,1) D.(2,4) [解析]在函数y=3log(x-1)+1中，当x=2时，恒有y=1,即函数y=3log(x- 1)+1的图象恒过的，点为(2,1)，故选C. [答案]C 4.(25一26高二下·辽宁辽阳·期末)函数x)=log(ax2-ax+2)的定义域为R,则实 数a的取值范围是() A.(0,8) B.(-∞，0]LU(8,+∞) C.[0,8) D.(8,+∞) [解析]对x∈R,ax2-ar+2>0恒成立，当a=0时，x)=1,特合题意；当a0 时，需满足，解得0<a<8.综上，a∈[0,8).故选C. [答案]C 5.(2026·全国华中师大一附中.模拟预测)设实数x>0,则10g2.d<1"成立的一个必 要不充分条件是() A.<x<2 B.1<x<2 C.x<1 D.x<2 [解析]由logx<1,即-1<log2x<1,即log2<1og2x<log22,所以<x<2,即不 等式l0g2x<1的解集为，因为(-∞，2)，所以"l0g2d<1”成立的一个必要不充分条件 可以是x<2.故选D. [答案]D 6.(2026·高三上·全国·专题练习)已知函数y=log(x+c(a,c为常数，其中心0， a1)的图象如图，则下列结论成立的是() ·独家授权侵权必究 零学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.a>1,c>1 B.a心1,0<c<1 C.0<a1,c>1 D.0<<1,0<c<1 [解析]由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<<I； 因为图象与y轴的交，点在y轴上方，所以y=log(0十c)>0=logl,所以0<c<1.故选D [答案]D 7.(2026山西太原·三模)设a=log2,则aE() B C. D [解析])=10g3x,则)在定义域内单调递增.·256=2>3=243,16=24<33 =27,.3>2>3,故<10g32<.故选D, [答案]D 8.(2026·江苏南通模拟预测)已知函数x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减， 则实数a的取值范围是() A.a<0 B.-1≤a<0 C.-1<a<0 D.a2-1 [解析]令t=ax+2,则y=lnt,因为函数fx)=n(ax+2)在区间(1,2)上单调递 减，且y=lnt在定义域内递增，所以解得-l≤a<0,故选B. [答案]B 9. 若函数y=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则1oga十1oga=() 独家授权侵权必究· 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.1 B.2 C.3 D.4 [解析]当a心1时，函数y=[0,1]上单调递减，所以=1且=0，解得a=2;当 0<a<1时，函数y=在[0,1]上单调递增，所以=0且=1，此时无解，所以a=2,因此 loga+loga =10g2 =10g28=3. [答案]C 10.(25一26高一上·全国课后作业)已知实数心0且m1,函数y=logm(x十m的大 致图象如下，则m,n的取值范围可能为() 0 A.>1,>1 B.m>1,0<K1 C.0<K1,>1 D.0<K1,0<K1 [解析]由图象可知函数y=ogm(x+m是减函数，所以0<K1;当x=0时，logm(x 十m=logm<0,所以心>l.故选C. [答案]C 11.(2026江苏无锡·高二统考期末)不等式->lm(x一1)的解集为 [解析]作出y=-,y=n(x-1),(其中心1)的图象，如图，>1时，y=-单调递 减，y=ln(x-1)单调递增，两个函数均过，点(2,0)，x∈(1,2)时，y=->0,y=ln(x 1)<0;x∈(2，+oo)时，y=-<0,y=n(x-1)>0;由图可知，当->ln(x-1)时， x∈(1,2)，则不等式->ln(x-1)的解集为(1,2). ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 y=ln(x-l)】 [答案](1,2) 12.(2026·上海·课后作业)不等式log2(x+14)+1og2(x+2)>3+log2(x+6)的解集为 [解析]由log(x+14)+log2(x+2)>3+1og2(x+6), 可得1og2(x+14)x+2)>log28(x+6), 又.y=l0g2x在(0，十o)上单调递增， 所以 解不等式组可得x>2,所以不等式log(x+14)+l0g2(c+2)>3+log2(x十6)的解集为 (2,+∞). [答案](2，+∞) 13.已知函数x)=若a<b<c,且fa=b)=c),则a+b+c的取值范围为 [解析]由ad=b)=c),可知-log3a=logb=2-log3c,则ab=1,bc=9,故a =,c=,则a十b+c=b+,又bE(1,3),位于函数b)=b+的减区间上，所以<a+b +c<11 [答案] 14.(25一26高一上·北京平谷·期末)已知函数x)=l1og(x+1),若x)>x,则x的范 围是 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]作出函数y=l0g2(十1)和函数y=x的图象，如图所示，两个函数的图象相 交于点(0,0)和(1,1)，当且仅当x∈(0,1)时，y=log2(x+1)的图象在y=d的图象的上 方，即不等式x)>x的解集为(0,1) y=x y=log(x+1) 0 123元 [答案](0,1) ·独家授权侵权必究