第2章 第5节 指数与指数函数-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第五节指数与指数函数 教材梳理 >>>>>> 知识点1 指数与指数运算 1.根式的性质 (1)0”=a(a使有意). (2)当n是奇数， =a;当n是偶数时，=☑=一 2.分数指数幂的意义 (1)a=(a>0,m,n∈N*,且>1)， (2)a==(a>0,m,n∈N*,且>1). (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.有理数指数幂的运算性质 (1)dd=d+(a>0,r,s∈Q) (2)(d)=d(a>0,r,s∈Q). (3)(ab)'=db'(a>0,b>0,r∈Q) 知识点2指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 /y=a 图象 0,-y1 (0,1) -y=1 定义域：R 性质 值域：(0，+∞ 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当x=0时，y=1,即过定点(0,1) ①当⊙0时，0≤y≤1； ②当>0时，y>1; 当<0时，y>1 当<0时，0≤<1 在R上是减函数 在R上是增函数 [常用结论] 1.指数函数的图象与底数大小的比较 (2)Y4 3 ￥=1 在第一象限内，指数函数y=a'(a>0,a≠1)的图象越高，底数越大. 2.指数函数y=(a>0,a1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意应分a>1 与0<a<1来研究 诊断自测 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“V"或“×"） (1)=-4.() (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(） (3)函数y=21是指数函数.() (4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0，+∞).() [解析](1)由于==4，故(1)错误. 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)当<1时，不可以，故(2)错误. (3)由于指数函数解析式为y=d(a>0,且a≠1)， 故y=21不是指数函数，故(3)错误. (4)由于X2+1≥1，又a>1,∴.ax2+1≥a 故y=ar+1(a>1)的值域是[a,+∞)，(4)错误. [答案](1)×(2)×(3)×(4)x 教材衍化 2.(25一26高一上·全国·课前预习)下列各函数中，是指数函数的是() A.y=x B.y=(-4) C.y=5+1 D.y=52 [解析]根据指数函数的定义形如y=(a>0且a≠l)为指数函数判断：y=x为幂函 数，故A错误；y=(-4)中一4不能作为底数，故B错误；y=5+1=5×5"中系数不为 1,故C错误；y=52=25是指数函数，故D正确；故选D. [答案]D 3.(2026浙江丽水·高二统考期末)已知a,b∈R,则2>2是”<的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 [解析]取a=2,b=-1,可知22°，但是>0>，所以，由2>2推不出<，取a= -1,b=1,可知<0<，但是2<2，所以，由<推不出22所以，“22’是“<”的既不 充分也不必要条件，故选C. [答案]C 独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 考题体验 4.(25一26高一上·天津期中)函数)=d-b的图象如图所示，其中α，b为常数， 则下列结论正确的是() A.a>1,b<0 B.a心1，b>0 C.0<<1,b>0 D.0<a<1,b<0 [解析]由于x)=d-b的图象单调递减，所以0<a<1,又因为0f0)<1,所以0<a b<1=d，即-b>0,b<0.故选D. [答案]D 5.(2026合肥·冲刺)若0<b<a<1,则，b,,b中最大的是() A.d B.ba C.a D.b [解析]，0<b<a<1,∴.指数函数y=d和y=b均为减函数，∴a>，b<b,.暴 函数y=心P在(0，+oo)上为增函数，∴.>b,即，b,,b中最大的是a [答案]A 典例精讲 >>>>>> [例1]化简下列各式其中各字母均为正数) ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (D)Vaba. 9a·b 2(2g)°+2x2)-0.01 [思路点拨]()因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以 便用法则计算； (②)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进 行下去，如不符合应再假设条件去求， [自主解答] (1)原式 ha位-a6--日 a6·b8 (2)原式=1+×- =1+×- =1十一= [解题心得](1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利 用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定序号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 [例2](25一26高一下·河北保定·期中)函数x)=3x2-4x一5的单调递减区间是 [思路点拨]利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求出减区 间 ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [自主解答]函数fx)=3x2-4x-5的定义域为R,令u=X2-4x-5,函数u=x- 4x-5对称轴为x=2,所以在(-∞，2)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增，函数y= 3“在R上单调递增，因此函数)在（一∞，2）上单调递减，在(2，十)上单调递增，所 以函数x)=3.x2-4x-5的单调递减区间是(-∞，2). [答案]（-∞，2) [解题心得](1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是 否过这些点，若不满足则排除 (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过 平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数α与1的大小关系不确定时应注意分类 讨论 (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合 求解 [例3](25-26高一下·安徽·开学考试)已知函数fx)=3-x2+2ax-4(a∈R). (1)当a=一1时，求函数)的单调区间； (2)若Vx∈R,x)小恒成立，求a的取值范围， [思路点拨](1)根梔复合函数的单调性，即可求解； (2)根据不等式恒成立，转化为求函数的最值，即可求解. [自主解答](1)当a=-1时，x)=3-x2-2x-4, 令t=-x2-2x一4，易知其单调递增区间为(-∞，-1)，单调递减区间为(-1，+ ∞) 又y=3为增函数，所以x)=3-x2-2x一4的单调递增区间为(-∞，一1)，单调递 减区间为(-1，十∞)， 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)Hx∈R,fx)s恒成立，即f=3-x+2ax-4s=32恒成立，所以-x2+2ax-4s -2,即x2-2ax+2≥0恒成立，所以=4a-8≤0，解得-≤a≤，所以a的取值范围为 [-,] [解题心得]1.函数y=a的定义域与y=fx的定义域相同. 2.(1)函数y=的值域的求解，先确定的值域，再根据指数函数的单调性，确 定y=a的值域： (2)通过换元能转化为一元二次函数的，可利用一元二次函数求值域或最值， 3.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域： (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； (4)求出复合函数的单调区间（注意“同增异减） 4.利用指数函数的单调性可以比较或应用同底数幂值的大小， 高考再现 1.(2026·上海卷)a为不为1的任意实数，则a:=() A.a B.a C.a D.a [解析]由a≠1，则a:=aa=a=a [答案]B 2.(2026·天津卷)已知函数fx)=|lnd,若a=23),b=33),c=f35),则a, b,c的大小关系为() 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b [解析]由题意可得)=，因为函数y=x3在(0，十∞)上单调递增，所以 1<23<33,又因函数y=3在R上单调递增，则0<305<1<35，所以c=305)=-ln35 =ln35=3),因1<23<33<35，且)在(1，+o∞)上单调递增，所以 23)f33)35),即2)≤3)≤3-5)，故a<b<c [答案]A 3.(2025·上海卷)设a>0,s∈R.下列各项中，能推出>a的一项是() A.a心1，且s>0 B.a心1，且s<0 C.0<a<1,且s>0 D.0<a<1,且s>0 [解析]，>0，>a,∴.-l>1=,当a∈(0,1)时，y=m定义域上严格单调递 减，此时若s-1<0,则一定有d1>1=成立，故D正确，C错误；当aE(1,十∞)时， y=定义域上严格单调递增，要满足心>1=d，需>1，即A、B错误.故选D. [答案]D 4.(山东·高考真题)已知函数y=x)是偶函数，当x∈(0，+∞)时，y=d(0<a< 1),则该函数在（一∞，0）上的图象大致是() 独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 [解析]当x∈(0，十o∞)时，y=a(0<a<1),所以)在(0，+∞)上递减，)是偶 函数，所以x)在(-o,0)上递增.注意到=1，所以B选项符合，故选B. [答案]B 5.(江西·高考真题)已知函数x)=(a∈R),若-1)》=1，则a=() A. B. C.1 D.2 [解析]由题意得-1)=2)=2，所以f-1)=2)=a22=4a=1,解得a=.故 选A, [答案]A 6.(2024北京卷)已知(，)，(x2,)是函数y=2的图象上两个不同的点，则( A.log2< B.log2> C.l0g2<x1+x2 D.l0g2>x+ [分析]根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB;举例判 断CD即可. [解析]由题意不妨设<。，因为函数y=2是增函数，所以0<25<25，即 25125>√2125=29 01y,可得2 ,即>2>0，根据函数y=l0gx是增函数，所以 10g2>log2=,故B正确，A错误；例如=0，x3=1,则h=1,h=2,可得10g= 10g2∈(0,1)，即l0g2<1=x1+,故D错误；例如x1=-1,3=-2,则M=,=,可 得l0g2=l0g2=10g23-3∈(-2，-1)，即l0g2>-3=+3,故C错误.故选B. [答案]B 课时作业（十） 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.(2026·湖南长沙·阶段练习)计算(-64)+[(-3)4]-(-1)+=() B.- C.- D [解析](-64)+[(-3)]-(-1)°+=(-4)+(34)-1+=-4+3-1+=-.故选C. [答案]C 2.(2026·高一上·全国·专题练习)函数y=3一1的定义域为[一1,2]，则函数的值域 为() A.[2,8] B.[0,8] C.[1,8] D.(-1,8] [解析]因为x∈[-1,2]，所以0ss2.即1≤3≤9，则0≤3-1≤8，所以函数y=3 -1的值域为[0,8].故选B. [答案]B 3.设函数y=x)的图象向左、向下分别平移2个单位，得到函数y=2的图象，则 () A.x)=2x2+2 B.)=22-2 C.)=2+2+2 D.fx)=2+2-2 [解析]y=2向上平移得到y=2x+2再向右平移2个单位=22+2. [答案]A 4.(25一26高二下.福建福州期末)已知a=1.56,b=1.57,c=0.7°6，则a,b,c 的大小关系是() A.a>b-c B.c-ab C.b-a-c D.b>c>a 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因为y=1.5是增函数，又0<0.6<0.7，所以b>心1，又因为y=0.7是减函 数，所以c=0.706<0.7=1,则b>心c,故选C. [答案]C 5.(25一26高二下·河北石家庄·期末)若函数y=d+b一1(a>0,a≠1)的图象经过第 二、三、四象限，则一定有() A.0<<1,且b>0 B.a>1,且b>0 C.0<aK1,且b<0 D.K1,且b>0 [解析]已知函数y=心+b一1的图象经过第二、三、四象限，说明函数单调递 减，所以可得0<<1 指数函数y=d过定点(0,1)，则函数y=d+b-1过定点(0，a+b-1),即(0，b) 因为函数y=心十b一1的图象经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与y 轴的交，点在y轴负半轴上，即+b-1<0→b<0 综上分析，可得故选C [答案]C 6.(2026河北邯郸·高二统考期末)已知函数fx)是定义在R上的奇函数，当x>0 时，)=e2+2x一5，则不等式x)>0的解集是() A.(-2,0)U(2,+∞) B.(-∞，-2U(0,2) C.(-2,0)U(0,2) D.(-∞，-2U(2,+∞) 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]如图，当心0时，f)=e-2+2x-5,因为函数y=ex2,y=2x-5在(0，十 ∞)上分别单调递增，可得)在(0，+∞)上单调递增，且2)=0.因为x)是定义在R上 的奇函数，所以x)在(-∞，0)上单调递增，且-2)=0.由x)>0,得或解得-2或 心2.则不等式x)>0的解集是(-∞，-2)U(2,+∞).故选D y 4 1 -2-10123x -54 [答案]D 7.(2026·山东潍坊·三模)已知函数y=a(a>0且a1)的图象如右图所示，则下列四 个函数图象与函数解析式对应正确的是(） y=llog xl 012x 0 [解析]由图可得ad=2,即a=2,y=ax=单调递减过，点(-1,2)，故A正确；y =xa=x2为偶函数，在(0，十o)上单调递减，在(-o∞，0)上单调递增，故B正确；y= ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 d州=2=为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；y=loga=log,根据”上不动、 下翻上”可知D正确.故选ABD. [答案]ABD 8.(25一26高二下·北京朝阳期末)已知a,b为非零实数且a<b,则() A.> B.> C.a>b D.3>3-b [解析]取a=-1,b=1,满足a<b,而=-1<1=，=-1=，a=-1<1=b, A、B、C错误；由a<b,得-a>-b,因此3a>3-b,D正确.故选D. [答案]D 9.(2026·重庆期末)已知函数x)的定义域为[1，+∞)，则函数g(x)=的定义域为( A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞) [解析]gw)=的定义域满足解得x>0,故选C. [答案]C 10.(25-26高二下·江西上饶期末)已知a,b是实数，则<b<0'是“2026<2 026的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]当ab<0时，函数y=2026在(-∞，0)单调递增，.2026<2026，故 充分性成立.当2026<2026时，函数y=2026在R单调递增，∴.<b,但不能推出 a<b<0,故必要性不成立. ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 .a<b<0是2026<2026的充分不必要条件，故选A. [答案]A 11.(25一26高一下·云南昭通期末)已知函数x)=为奇函数，则a= [解析]由题设，函数定义域为R,则0)==0，可得a=-1,所以x)=,则 -x)==一=一x),满足题设. [答案]-1 12.(2026·天津河北·高二统考期末)已知>0，b>0,且2.4=(29，则α+b的最小 值为 [解析]因为2a.4=(2a,所以222b=2，即2a+b=2b,则a+2b=ab,所以+= 1,又a>0,b>0,所以a十b=(a+b)=3++≥3+2=3+2，当且仅当=，即a=b=2 +时，等号成立.则a十b的最小值为3+2 [答案]3+2 13.(2026·北京延庆·期末)函数y=的值域为 [解析]若-1≤r≤0，则y=x=,可知y=x[-1,0]内单调递减，当x=-1时，y =1;当x=0时，y=0;所以0ss1;若0<≤2，则y=,对于y=,x∈R,可知y=在R 内单调递增，当x=0时，y=1;当x=2时，y=所以当0<≤2时，1s,综上所述， 函数y=的值域为 [答案] 14.(25-26高一上·北京·期中)已知x)=2,g(x)=x+1,则不等式fx)>g(x)的解集 为 [解析]在同一坐标系内作出函数y=尤)，y=g()的图象，如图， 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 y=式x) y=8(x) 0 观察图象知，当<0或>1时，x)>g(x), 所以不等式x)>g心)的解集为 (-∞，0)U(1,+∞). [答案]（-∞，0)U(1,+∞) ·独家授权侵权必究