第2章 第4节 二次函数与幂函数-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第四节 二次函数与幂函数 教材梳理 >>>>> 知识点1幂函数 (I)幂函数的定义：形如y=x(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量， a是常数 (2)五种幂函数的图象 y↑y=x3y=x2Jy= y=x21 2 y=x-l 012 (3)五种幂函数的性质 函数式 定义域 值域 y=x R R y=x R [0,+∞) y=x3 R R y=x [0,+∞) [0,+∞) y=x! {xx∈R,且x0} {y∈R,且y0} 思考：幂函数的图象能经过第四象限吗？ 提示：不能，因为当>0时，y=x0. 知识点2二次函数的图象与性质 y=ax+bx+c(a-0) y=ax+bx+c(a<0) 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递增在x∈上单调递减在x∈上单调递增在x∈上单调递减 奇偶性 当b=0偶函数，当b0时为非奇非偶函数 顶点坐标 对称性 图象关于直线x=一对称 思考：函数fx)=ax2+bx十c(a≠0)一定在顶点处取到最大（小）值吗？ 提示：不一定.因为最值的取得还与自变量的取值区间有关，当x=一不在自变量 的取值区间内时，则最值就不能在顶，点处取到. [常用结论] 1.幂函数的性质 (1)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原 点。 (2)当心0时，y=在[0，+∞)上为增函数； 当a<0时，y=x2在(0，+∞)上为减函数. 2.关于二次函数的几个常用结论 (I)函数r)=a(x-)?+(a>0),x∈p,q]的最值.若h∈[p,q],则x=h时有最小值 k最大值是p)与q)中较大者：若hp,q],则fp),g)中较小者为最小值，较大者 为最大值 (2)若x)=ar2+bx+c(a0), 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ①当时，对x∈R恒有fx)>0. ②当时，对x∈R恒有fx)大0. 诊断自测 >>>>〉> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√"或“x") (1)函数y=2x是幂函数.（) (2)当心0时，幂函数y=x在(0，+∞)上是增函数.（) (3)二次函数y=ax+bx+c(a0)的两个零点可以确定函数的解析式.（) (4)二次函数y=ax2+bx十c(x∈[a,bD的最值一定是() [解析](1)由于暴函数的解析式为=x,故y=2x不是暴函数，(1)错误 (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式 (4)对称轴x=一，当一不在给定定义域内时，最值不是，故(4)错误. [答案](1)×(2)V(3)×(4)× 教材衍化 2.(25一26高一下·河北保定·期末)若函数x)=(m+2)x2m为幂函数，则函数x)在 定义域内为() A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 [解析]因为函数fx)=(m十2)x2m为暴函数，所以m+2=1,得=-1，所以x) =x2=,定义域为{x0},因为-x)===),所以x)在定义域内为偶函数，故C 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 错误，D正确；根据暴函数的性质知f)=x2在(0，十∞)单调递减，又在定义域内 为偶函数，所以x)=x2在(-oo,O)单调递增，故A错误，B错误.故选D. [答案]D 3.已知函数fx)=一2x2+x+3(0sms4,0s≤1)的最大值为4，则m的值为 [解析])=-22+x+3=-2++3,.0sms4,.0s≤1，∴.当x=时，x)取得 最大值，∴.+3=4，解得m=2. [答案]2 考题体验 4.(2026·青岛·联考)不等式(x2+1)>(3.x+5)的解集为) A.U(4,+∞) B.(-1,4) C.(4,+∞) D.(-∞，-1)U(4,+∞) [解析]不等式(x2+1)>(3x+5)等价于x2+1>3x+5≥0，解得-≤-1或>4.所以 原不等式的解集为U(4,十∞). [答案]A 5.(2026高二上·北京.学业考试)已知a=,b=,c=2,则() A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a [解析]由幂函数y=x为R上的增函数，且<<2，所以<<2，即ba<c,故选A. [答案]A ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 典例精讲 [例1]已知二次函数x)同时满足条件： ①1+x)=1-x9; ②x)的最大值为15； ③x)=0的两根立方和等于17，求)的解析式， [自主解答]由1+)=1-x),知x)图象关于x=1对称，又其最大值为15， .设fx)=a(x-1)2+15(a≠0) 即x)=ar2-2ax+a+15 设)=0的两根为1,2， 则x1十2=2,13=1十 而x+x=(6+)3-3x12(G+)= 23-32=2 .2-=17,即a=-6 fx)=-6x2+12x+9. [解题心得]求二次函数的解析式，关是灵活取二次函数解析式的形式，利用 所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解 [例2](25-26高一上·上海宝山·期中) (1)作出幂函数y=x的图象， (2)根据(1)的结论观察图象，解不等式：(x-1)≤(2x+1) 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [思路点拨](1)结合幂函数的性质作出函数图象 (2)利用幂函数的图象性质求解不等式. [自主解答](I)幂函数y=x的定义域是R,(-x)===x,函数y=x是偶函数， 其图象关于y轴对称，在[0，十∞)上单调递增， 函数y=x的图象，如图： (2)由(1)知，不等式(x-1)≤(2x+1)→x-1≤12x+1→x-1s|2x+1‖，因此(c-1)2≤(2x +1)2,整理得3x2+620,解得≤-2或x≥0，所以原不等式的解集为(-∞，-2]U[0, 十∞) [解题心得]二次函数fx)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,m上的最值： (1)当一<m时，函数在区间[m,上单调递增，最小值为m,最大值为m; (2)当s-sn时，最小值为f=,最大值为fm)或f), (3)当一>n时，函数在区间[，上单调递减，最小值为)，最大值为fm). [例3引已知幂函数f)=x-23(m∈N)的图象关于y称，且在 (0,+∞) 上是减函数，求满足(a+1)<(3-2a)的实数a的取值范围. [思路点拨]由f(x)=x-m-3(m∈N)的图象关于y轴对称知m一2m-3为偶 数，又x)在(0，十o∞)上是减函数，∴m-2-3<0,从而确定m的值，再由函数x) 的单调性求a的取值范围. [自主解答]函数x)在(0，十∞)上单调递减， ∴.m2-2m-3<0,解得-1<m<3。 ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 .m∈N,∴.m=1或2. 又函数x)的图象关于y轴对称， 2-2m-3是偶数， 而22-2×2-3=-3为奇数，12-2×1-3=-4为偶数，∴.m=1. 令gx)=x,gw)=x在(-∞，0)，(0，十)上均为减函数， ∴.(a+1)<(3-2a等价于a+1>3-2a>0,或0>a+1>3-2a,或a+1<0<3- 2a.解得a<-1或<a<. 故a的取值范围为. [解题心得](1)幂函数的形式是y=(α∈R),其中只有一个参数a,因此只需一个 条件即可确定其解析式。 (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为指大图低”. 在区间(1，十∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴 [例4](25-26高一上·上海金山·期中)已知幂函数y="(m∈R)经过点 (1)求此幂函数的表达式和定义域： (2)已知点A(a+2,M),点B(3-2a,)(a∈R)在此幂函数的图象上，且满足yM, 求实数a的取值范围. [思路点拨](1)依题意可得4”=，求出的值，即可求出函数解析式及定义域； (2)首先判断函数的单调性，即可得到a+2>3一2a>0,解得即可. [自主解答](1)暴函数y=”(m∈R)经过，点， ∴.4m=,即22m=21,解得=-， ∴y=x, 独家授权侵权必究 令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为y=x=, 所以y=x的定义域0，十∞) (2)由于函数y=x在其定义域(0，+∞)上单调递减，又因为点A(a+2,),点B(3 -2a,2)(a∈R)在此暴函数的图象上，且满足y,可得a十2>3-2a>0,解得<a<,所 以a∈ 高考再现 >>>>>> 1.(上海·高考真题)下列幂函数中，定义域为R的是() A.y=x! B.y=x C.y=x D.y=x [解析]对选项A,则有0，对选项B,则有x>0,对选项C,定义域为R,对选 项D,则有x≥0，故选C. [答案]C 2.(天津卷)若a=1.015,b=1.016,c=0.65,则a,b,c的大小关系为() A.c-ab B.c>b>a C.a>b>c D.b>ac [解析]因为函数x)=1.01是增函数，且0.6>0.5，所以1.016>1.015，即b>a;因 为函数h(x)=x5在(0，十o∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.015>0.65，即心c.综 上，b>a>c.故选D [答案]D 3.(全国甲卷（文）)已知函数x)=e-(x-1)2记a=f,b=f,c=f,则() 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.b-ca B.b>a心c C.c>b>a D.c>a-b [解析]函数x)=e-(c一1)}是由函数y=e“和u=-(x一1)2复合而成的复合函数， y=e“为R上的增函数，=-(x-1)在(-∞，1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递 减，所以由复合函数的单调性可知，x)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十)上单调递 减.易知x)的图象关于直线x=1对称，所以c=f=∫，又<2-<<1，所以f尺尺f,所以 b>c>a,故选A. [答案]A 4.如图，正方形OABC的边长为a(a>1),函数y=3x的图象交AB于点Q,函数y =x的图象交BC于点P,则当AQ+|CP最小时，a的值为 [解析]依题意得2，P,则Ag+CP=+=+,记=e1),)=Ag+Cl,则 ft)=十，所以0=+≥2，当且仅当=，即P=时取等芳，此时a=. [答案] 5.已知y=x)是奇函数，当x20时，f)=x,则-8)的值是 [解析]8)=8=4，因为为奇函数，所以-8)=-8)=-4. [答案]-4 6.(仙东·高考真题)若函数x)=m'(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4，最小值 为m,且函数g(x)=(1-4m)在0，+∞)上是增函数，则a= 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]当a>1时，有=4，a=,此时a=2,=,此时g(x)=-为减函数， 不合题意.若0<a<1,则1=4，a2=,故a=,1=,检验知特合题意. [答案] 课时作业（九） 1.(25一26高二下·广西南宁期末)“m=一1"是“f)=(m2-m-1)x2m3为幂函数"的 条件.() A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 [解析]当m=-1时，)=x为幂函数，故充分性满足；当)=O-m一1)x23 为幂函数时，--1=1，即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1,故必要性不满 足，所以=-1”是“)=(2-m-1)x2m3为暴函数”的充分不必要条件.故选A. [答案]A 2.以下命题正确的是() ①幂函数的图象都经过(0,0) ②幂函数的图象不可能出现在第四象限 ③当n=0时，函数y=x”的图象是两条射线（不含端点） ④x)=x是奇函数，且)=x3在定义域内为减函数 A.①② B.②④ C.②③ D.①③ [解析]幂函数y=x1不经过原，点，所以①不正确；形如y=x,αER的函数是幂函 数，当x>0时，y>0,所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；y=x”的 定义域是{xx0},y=1,所以n=0时，y=x”的图象是两条射线（不含端，点），所以③正 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 确；孔x)=x3是奇函数，函数的定义域是(-∞，0U(0,十)，函数在(-∞，0)是减函 数，在(0，十∞)也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以④不正确.故选C. [答案]C 3.(25一26高二下·山东日照期末)函数y=x的大致图象为） s\up70 s\up70 \s\up70 s\up70 [解析]函数y=x是暴函数，定义域为R,是偶函数，图象关于y轴对称，排除 D;由0<<1，得函数y=x在(0，+o)上单调递增，排除C;且当>l时，函数y=x的 图象在y=x下方，排除A,选项B符合要求.故选B [答案]B 4.已知0<<2，则函数y=x的最大值是() A. B.- C. D. [解析]因为y=x=-x2+x表示对称轴为x=1,开口向下的抛物线且xE(0,2), 所以当x=1时y取最大值1×=，故选C [答案]C 5.(2026·河南驻马店·模拟预测)已知幂函数=(m2+-1)x"的图象与坐标轴无 公共点，则m=() 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.-2 B.1 C.-2或1 D.-1或2 [解析]因为x)为暴函数，所以m2+m一1=1，即㎡+-2=0，解得m=一2或 m=1.当m=一2时，代)=x2=,其定义域为{0}，图象与坐标轴无公共，点，特合题 意；当m=1时，)=x,其图象与坐标轴有公共点，不合题意.综上，=一2.故选A. [答案]A 6.(2026·北京大兴期中)已知)=x2-2c+3k-3k+1(k∈R).给出下列四个命题： ①对任意实数x,存在，使得x>0;②对任意k,存在实数x,使得x)>0;③对 任意实数k,x,均有x)>0成立；④对任意实数k,x,均有)<0成立.其中所有正确 命题的序号是() A.①② B.②③ C.①③ D.②④ [解析]令x)=x2-2x+32-3k+1=0,所以=(2为2-4(32-3k+1)=-4(2k- 1)k-1),因为二次函数)图象为开口向上的抛物线，所以对任意k,总存在x使得 )>0,故②正确，④错误；因为当k∈U(1,+∞)时，=-4(2k-1)k-1)大0，所以方 程x2-2x+3R-3k+1=0,无解，所以x)=x2-2x+32-3k+1>0恒成立，故①正 确；因为当k∈时，=-4(2k-1)k-1)20,所以方程x-2+3R-3k+1=0,有一根 或两根，所以对任意x,)>0不恒成立，故③错误.故选A. [答案]A 7.(25一26高一上·浙江杭州·期末)如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为( ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.y= B.y= C.y= D.y=x [解析]y=,定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，当0时，y=<0,不符合题意，排 除A;当x=0时，y==0,不符合题意，排除B;y=,定义域为(-∞，0)U(0,十 ),函数为偶函数，且y=在(0，十∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增，符合题 意；y=x,当x=0时，y=0,不符合题意，排除D.故选C [答案]C 8.(2026·安徽合肥高一统考·期末)已知a=2,b=3,c=25,则() A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b [解析]由a=2=,b=3=,c=25=,所以b<<c.故选A. [答案]A 9.已知二次函数x)满足2十x)=2-),且)在[0,2]上是增函数，若 a0),则实数a的取值范围是() A.[0,+∞) B.(-∞，0] C.[0,4] D.（-∞，0]U[4,+∞) [解析]由2十)=2-)可知，函数x)图象的对称轴为x==2,又函数f)在 [0,2]上单调递增，所以由a)20)可得0sa≤4. [答案]C 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 10.抛物线y=a心+bx十c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分别位于原点两 侧，则a,b,c的取值范围是() A.a<0,b<0.c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.<0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c<0 [解析]由题意，抛物线开口向下，故<0由抛物线与x轴的两个交点分别位于原 ,点两侧，得aC<0,所以c>0.再由顶点在第一象限得->0，所以b>0. [答案]B 11.(25一26高一上·天津·期中)函数x)=(m2-m-1)x2m-1为幂函数，若函数在R上 单调递增，则实数m= [解析]由题设㎡-m-1=1→m2-m-2=(m+1)(m-2)=0,可得m=-1或m= 2, 当m=一1，)=x3显然在R上不是增函数，不满足；当=2，x)=x在R上单 调递增，满足· 所以m=2. [答案]2 12.(2026·陕西咸阳·高一统考·期末)已知幂函数fx)=(2-2m-2)x"满足 2)水3)，则m= [解析]因为函数尤x)=(02-2-2)x”为幂函数，则2-2一2=1，解得=3或 m=-1,又因为2)下3)，所以m=3. [答案]3 13.(2026江苏常州·期末)若二次函数x=x2+x-m在区间(-∞，1)上是单调增 函数，则实数m的取值范围是 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析].函数fx)为二次函数，∴.m≠0.，函数fx)=十x-m在区间(-oo,1)上 是单调增函数，.解得-≤K0,.实数的取值范围是 [答案] 14.(25-26高二下·上海浦东新·期末)已知a∈，函数y=x在(-∞，0)上单调递 增，其图象不过坐标原点，则a= [解析]因为幂函数图象不过坐标原点，则<0， 当a=一，f代x)=x=的定义域0，十∞)，不合题意； 当a=一，)=x=在区-∞，0)上单调递减，不合题意； 当a=-2,x)=x2=,因为x2在区间(-∞，0)上单调递减，所以y=在区 ∞，0)上单调递增，符合题意； 综上所述，=-2 [答案]-2 ·独家授权侵权必究