第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

季学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第三节 函数的奇偶性与周期性 教材梳理 >>>>>> 知识点1 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数x)的定义域内任意一个x,都有一x) 偶函数 关于y轴对称 =),那么函数x)就叫做偶函数 如果对于函数)的定义域内任意一个x,都有一x) 奇函数 关于原点对称 二，那么函数fx)就叫做奇函数 口诀 奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称 记忆 思考：函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数和偶函数吗？ 提示：一定是.反之，也成立 知识点2函数的周期性 (1)周期函数 对于函数)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定域内的任何，都有 x+D三，那么就称函数x)为周期函数，称T为这个函数的周期， (2)最小正周期 如果在周期函数x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 x)的最小正周期 思考：函数y=x)(x∈R)是周期函数，则其周期唯一吗？是否有最小正周期？ 提示：不唯一.若T是y=r)(c∈R)的一个周期，则nTn∈乙，n0)也是函数的周 期.若函数y=x)是常数函数，则y=)是周期函数，且无最小正周期 ·独家授权侵权必究。 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [常用结论] 1.函数奇偶性常用结论 (I)若奇函数x)在x=0有定， 0)=0. (2)如果函数x)是偶函数，那么w=). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有 相反的单调性， 2.函数周期性常用结论 对fx)定义域内任一自变量的值x: (1)若fx+a)=-x),T=2a(a心0). (2)若fx+a=,0T=2a(a>0) (3)若fx+a)=-,0T=2a(a>0) 3.函数对称性常用结论 (1)函数y=)满足x)=2b一f2a一x)台y=)的图象关于点(a,b)成中心对称. (2)函数y=x)满足x)=f2a一x)→y=x)的图象关于直线x=a成轴对称. 诊断自测 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√"或“x") (1)函数y=x在x∈(0，+∞)上是偶函数.() (2)若函数x)为奇函数，则一定有0)=0.() (3)若T是函数的一个周期，则nTn∈Z,n0)也是函数的周期.（) (4)若函数x)满足关系a十)=一b一x),则函数x)的图象关于点对称.() ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析](1)由于偶函数的定义域关于原，点对称，故y=x在(0，十)上不具有奇偶 性，(1)错误 (2)由奇函数定义可知，若x)为奇函数，且在x=0处有意义时才满足0)=0，(2) 错误。 [答案](1)×(2)x(3)V(4)V 教材衍化 2.(2026·天津河北模拟预测)已知函数y=x)是定义在R上的奇函数，则下列函数 中为奇函数的是() A.y=) B.y=fx) C.y=x:f(x) D.y=fx)+x [解析]因为x)的定义域为R,又因为一)=)，所以y=x)是偶函数，不 符合题意；令F(w=),则F(-x)=f代)=F(c),所以F()是偶函数，不特合题意；令 Mx)=xf),则M(-)=一x-x)=xx)=Mx),所以Mx)是偶函数，不特合题意； 令Nx)=x)十x,则N(-x)=-)-x=-)-x=-[r)+x]=-Nx),所以N(x)是奇 函数，符合题意.故选D. [答案]D 3.设fx)是定义在R上的奇函数，x)满足x+3)=),且当x∈时，x)=一x,f [解析]由x+3)=x)知函数x)的周期为3，又函数x)为奇函数，所以f=∫=一f [答案] 考题体验 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.(25一26高二下·山东德州期末)设x)是定义在R上周期为2的奇函数，当 0ss1时，fx)=x2-x,f=」 [解析]设x)是定义在R上周期为2的奇函数， 则fx+2)=x,尤-x)=- 由题意，f=一∫=一f=一f=一= [答案]/0.25 5.(多选题函数x)的定义域为R,且x+1)与x+2)都为奇函数，则() A.)为奇函数 B.为周期函数 C.fx+3)为奇函数 D.fx+4)为偶函数 [解析]由x十1)与x十2)都为奇函数知函数)的图象关于点(1,0)，(2,0)对 称，所以x)+2-x)=0,x)+4-x)=0,所以2-x)=4-),即)=x+2),所 以x)是以2为周期的函数.所以孔)，x+3),x+4)均为奇函数. [答案]ABC 典例精讲 [例1](25一26高一上·内蒙古赤峰期末)判断下列函数的奇偶性： (1)x=+; (2)=+x: (3))=x-x. [思路点拨](1)(2)(3)利用函数奇偶性的定义可判断出函数x)的奇偶性 [自主解答](1)x)=x+的定义域抓-∞，0)U(0,+∞) 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为一x)=(一3+=一=-x),所以x)为奇函数 (2)=十x的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，因为-x)=十|-=+x=x), 所以x)为偶函数. (3)=x-x的定义域为R,因为-x)=|一-（-x)=x+xx),且一x)≠ x),所以)为非奇非偶函数. [解题心得]判断函数奇偶性的方法 1)定义法 一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析 式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 定义域 否 既不是奇函数 确定定义域 关于原点对称 也不是偶函数 是 确定f)与f(-x)的关系 结论 (2)图象法 f(x) 关于原点对称 f(x)为奇函数 的图象 关于y轴对称 f(x)为偶函数 (3)性质法 设fx),g(x)的定义域分别是D1, D2, 那么在它们的公共定义域上，有下面结论： ) g(x) fx)+g(x) 9-gx) fx)g(x) fg() 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 [例2]已知x)是奇函数，且当x>0时，x)=r一2引，求x<0时，x)的表达 式 [思路点拨] →→→ [自主解答]设x<0,则-x>0, ∴f-x)=-x-x-2=-xx+2. 又尤)是奇函数，有-刈=一x), .-x)=-x+2引，f)=dx+2. 故当x<0时，x)=x+2. [解题心得](1)在哪个区间求解析式，x就设在那个区间里 (2)然后要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用fx)的奇偶性把一)写成-)或).从而解出x) (4)也可利用奇偶函数的对称性求解，本题中x)为奇函数，其图象关于原点对称， 把x>0时，)的解析式：y=一2中的xy分别换为-x一y即得所求. [例3](25一26高一下·福建·期末)已知函数x)是定义域为R上的奇函数，满足1 +)=1-x),若1)=2，f1)+2)+3)+.+2024)= [思路点拨]利用函数的奇偶性和对称性可推出函数具有周期性，再利用恒等式进 行赋值，即可计算结果 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [自主解答]由函数)是定义域为R上的奇函数，可得f-x)=一)，0)=0， 再由1十x)=1一x)可得2十)=-)，赋值可得2)=-0)=0， 由上两式可得x+2)=-x), 赋值可得3)=-1)=-2， 再用x+2代替x得x+4)=-x+2), 由上两式可得x+4)=-x+2)=x), 即)是一个周期为4的函数， 因为=506，所以1)+2)+3)+.+2024)=506×(1)+2)+3)+4)= 506×(2+0-2+0)=0. [答案]0 [解题心得]判断函数的周期性只需证明x十+)=)，函数的周期性常与函数的其 他性质综合命题， 高考再现 >>>>>> 1.(2025新高考1卷)设x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤≤3时，x) =5-2x,f=() A.- B.- C. D [解析]由题知)=-x),fx+2)=x)对一切xER成立，于是f=∫=∫=5-2×= 一.故选A. [答案]A 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.(多选题(2025·新高考川卷)已知fx)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，= (x2-3)e*+2,() A.0)=0 B.当0时，fx)=-(x2-3)ex-2 C.x)≥2当且仅当x2 D.x=一1是x)的极大值点 [解析]因为x)定义在R上奇函数，则0)=0，故A正确；当心0时，一>0，则 )=--x)=-[(-x)2-3)e+2]=-(e2-3)ex-2,故B正确；-1)=-(1-3)e- 2=2(e-1)>2,故C错误；当<0时，)=(3-x)ex-2,则fx)=-(3-x)ex-2e =(e2-2x-3)ex,令fx)=0,解得x=-1或3（舍去），当x∈(-∞，-1)时，w)>0, 此时x)单调递增，当xE(-1,0)时，f(x0,此时)单调递减，则x=一1是x)极大 值，点，故D正确；故选ABD [答案]ABD 3.(新课标全国川卷)若fx)=(+aln为偶函数，则a=() A.-1 B.0 C. D.1 [解析]设g(x)=ln,易知g(x的定义域为U,且g(-x)=n=n=-ln=-g(x), 所以g(x)为奇函数.若x)=(x十an为偶函数，则y=x十a也应为奇函数，所以a=0, 故选B. [答案]B 4.(天津卷)已知函数x)图象的一条对称轴为直线x=2,x)的一个周期为4，x) 的解析式可能为( )》 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 A.f尤y)=sin B.fx)=cos C.fr)=sin D.f(r)=cos [解析])=sin,最小正周期为=4，因为2)=sin元=0，所以函数=sin的图 象不关于直线x=2对称，故排除A;)=c0s,最小正周期为=4，因为2)=C0sπ= -1,所以函数x)=c0s的图象关于直线x=2对称，故选项B符合题意，函数y=sin和 y=COs的最小正周期均为=8，均不符合题意，故排除C,D.综上，选B. [答案]B 5.(2026·全国川卷)已知x)是定义域为R的偶函数，x)+x一2)=0，且当x∈ 时，x)=x2+ax+b,（) A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3 [解析])+x-2)=0,则x+2)+x)=0,x+4)=-x+2)=x),即x)的周 期为4，结合奇偶性，周期性，故1.5)=-2.5)=2.5)，在[1.5,3]上满足f1.5)= 2.5),说明)=x2+ax+b的对称轴为x=2,则-=2，解得a=-4,又根据)+x -2)=0知1)+尤-1)=0，而f1)=-1),则-1)=0，于是3)=f-1)=0,即3) =9+3a+b=9-12+b=0,解得b=3. [答案]D 6.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是() A.y= B.y= C.y= D.y= [分析]根据偶函数的判定方法一一判断即可， ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]设)=，函数定义域为R,但-1)=，1)=，则术-1)1)，故y=不 是偶函数，故A错误；设g(心)=，函数定义域为R,且g(-)===g),则g()为偶函 数，故B正确；设(x)=,函数定义域为{xx≠一I},不关于原点对称，则h(r)不是偶函 数，故C错误；设(w=,函数定义域为R,因为(1)=，(-1)=，则(1)≠0(-1)， 则()不是偶函数，故D错误.故选B. [答案]B 课时作业（八） 1.(25一26高二下·广东深圳·期末)设函数)=x+,则下列函数中为奇函数的是( A.x-1)+1 B.x+1)+1 C.fx-1)-1 D.fx+1)-1 [解析]x-1)+1=x-1++1=x+,设g(x)=x+,x∈(-o∞，0)U(0,+o), g(-x)=-x-=-=一gx),所以g()为奇函数，故A符合题意；x+1)十1=x十1++ 1=x十2十，x∈(-∞，-2)U(-2,十∞)，定义域关于原，点不对称，所以是非奇非偶函 数，故B不合题意；fx-1)-1=x-1十-1=x-2+,*0,设g(x)=x-2+,≠0，则 g(-x)=-x-2-=-≠-g(x),不为奇函数，故C不合题意；x+1)-1=x+1+-1= x十，xE(-∞，一2)U(-2,十)，定义域关于原，点不对称，所以为非奇非偶函数，故 D不合题意；故选A [答案]A 2.(25一26高一下·云南曲靖·期末)已知x)是定义在R上的奇函数，且孔-x)+x) +2a=1,a=() A.- B C.0 D.1 ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [分析]由奇函数的性质即可得解 [解析]因为-x)+x)+2a=1,所以-x)+代x=1-2a,因为x)是定义在R 上的奇函数，所以-x)+y=0,所以1-2a=0,解得a=.故选B. [答案]B 3.已知函数y三x)是定义在R上的偶函数；且在（一∞，0]上单调递增，若对于任 意的x∈R,不等式fa)>fx+1)恒成立，a的取值范围是() A. B.U C.(-2,2) D.(-∞，-2U(2,+∞) [解析]y=fx)是定义在R上的偶函数，且在（一o∞，0]上单调递增，y=在 (0,+o∞)上单调递减，且x)=f),aw)>x2+1)→1a)>fx2+1)a<xP+1→ -ladx+1>0,对称轴x=≥0..只需要=㎡-4<0即可，解得-2<a2.故选C. [答案]C 4.(25一26高一下.福建福州·期末)已知定义在R上的奇函数周期为3，当x∈ 时，x)=5-2x,∫的值为执） A.-4 B.2 C.-2 D.4 [解析]因为x)是定义在R上的奇函数，所以f=一f,因为)的周期为3，所以f =∫，而当x∈时，)=5-2x,则f=5-2×=-2,即f=f=-2,可得f=2,故B正 确.故选B. [答案]B 5.(2026广东茂名期末)已知函数x)=xx,y=x)的大致图象为() ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因为函数定义域为R,一)=一对-=一xx=一)，所以x)为奇函 数，则其图象关于原点对称，所以排除A,当>0时，)=x>0,所以排除D,因为由 暴函数的性质可知当>0时，)=x在直线y=x的上方，所以排除B.故选C. [答案]C 6.(2026湖北高二统考·期末)已知函数f)的定义域为R,且满足x+2)=,无-1) =2,2023)=() A.0 B.1 C.2 D.4 [解析]x+2)=,∴x+4)====x),)是以4为周期的周期函数，2 023)=4×506-1)=-1)=2.故选C. [答案]C 7.(2026·湖南长沙一中校考·阶段练习)已知函数y三x+1)为奇函数，则函数y= x)+1的图象() A.关于点(1,1)对称 B.关于点(1，一1)对称 C.关于点(-1,1)对称 D.关于点(-1，一1)对称 [解析]函数y=x+1)为奇函数，图象关于(0,0)对称，则函数y=)关于(1,0) 对称，所以函数y=)十1的图象关于(1,1)对称.故选A. [答案]'A ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.(2026·云南曲靖·期末)若定义在R上的偶函数x)在（一∞，0]上单调递减，且 2)=0,则满足(m一1)m一2)s0的m的取值范围是() A.(-∞，4] B.(-∞，0]U[1,4] C.[-1,0]U[2,5] D.[-1,5] [解析]因为定义域为R的偶函数x在（一∞，0]内单调递减，且2）=0，所以 x)在(0，十∞)上单调递增，且-2)=0，所以当x∈(-∞，-2)U(2,+∞)时， x)>0,当x∈(-2,2)时，x)<0,所以由-1)fm-2)s0可得m=1或或或所以得m= 1或1<ms4或ms0,所以满足(m-1)-2)s0的m的取值范围是(-∞，0]U[1,4].故选 B. [答案]B 9.已知fx)=a+bx-4,若f2)=6,f-2)=() A.-14 B.14 C.-6 D.10 [解析]f2)+-2)=8a+2b-4-8a-2b-4=-8,又2)=6，所以-2)=-14. 故选A. [答案]A 10.(25一26高二下山东烟台期末)若函数x)=x+ax2+b的图象关于点(2,0)对 称，则实数a的值为() A.-3 B.3 C.-6 D.6 [解析]依题意，函数)=x+a2+b的图象关于，点(2,0)对称，所以2-)= 2+x),即2-)+2+x)=0,即(2-x)3+a(2-x)2+b+(2+x)3+a(2+x)2+b=0,即 (6十ax2+4a十b+8=0恒成立，所以，解得a=-6,b=16.故选C ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]C 11.(25-26高一下·上海宝山期末)已知x)=x2+ax+1.若y=)为偶函数，则a [解析]函数x)=x2+ax+1的定义域为R,由y=x)为偶函数，得--)= 0,即x2+ax+1-(x2-ax+1)=2ax=0,而x不恒为0，所以a=0. [答案]0 12.设函数fx)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，x)=x+1,f= [解析]依题意得，2+)=x),-x)=),则f=f=f=+1= [答案] 13.定义在R上的函数x)为奇函数，1)=1，又g()=x+2)也是奇函数，则2 020)= [解析]因为)是R上的奇函数，所以)的图象关于点O(0,0)对称，且0)= 0,又g(x)=x+2)是奇函数，所以)的图象关于点(2,0)对称，所以2×(2-0)=4是 x)的一个周期，所以2020)=4×505)=0)=0. [答案]0 14.(25一26高二下·上海·期末)若x)是定义在R上的奇函数，且x)在(0，+∞)上 是严格增函数，1)=0，不等式(x一1)x<0的解集是 [解析]因为)是定义在R上的奇函数，且x)在(0，十)上是严格增函数，则 0)=1)=-1)=0,x)在(-∞，0)上单调递增. 则x)>0→x∈(-1,0)U(1,+∞)， fx<0→x∈(-∞，-1)U(0,1) ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又因为(x-1)x)<0 分或， 由，可得不等式组无解， 由可得x∈(-1,0) 综上可得x∈(-1,0)满足题意。 [答案](-1,0) ·独家授权侵权必究