第2章 第2节 函数的单调性与最值-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第二节 函数的单调性与最值 教材梳理 >>>>> 知识点1函数的单调性 (1)增函数、减函数 增函数 减函数 般地，设函数x)的定义域为：如果对于定义域I内某个区间D上的任 意两个自变量的值1， 定义 当<时，都有))，那么就说当<x时，都有s)≥f)，那么 函数x)在区间D上是增函数 就函数fx)在区间D上是减函数 图象 y=f(x) y y=f(x) Ax): x) x2) 描述 012 (2)单调区间的定义 如果函数y=x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=x)在这一区间具 有严格的)单调性，区间D叫做函数y=x)的单调区间. 思考：若fx)的单调递减区间为(a,b)和(c,d,设∈(a,b),∈(c,d,且 <,则尤)>f)成立吗？ 提示：不成立，如x)= 知识点2函数的最值 前提 设函数y=)的定义域为I,如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈I,都有x)sM: ③对于任意x∈I,都有x)≥M; 条件 ②存在∈I,使得)=M ④存在∈I,使得)=M 独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 结论 M为函数y=fx)的最大值 M为函数y=f)的最小值 思考：若函数的最值存在，那么它一定是值域中的元素吗？ 提示：是 [常用结论] 函数单调性的常用结论 (I)对Vx1,∈D1x),<0曰→)在D上是减函数 (2)对勾函数y=x+(a>0)的增区间为(-∞，一]和[，+∞]，减区间为[一，0)和 (0,]. (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数 (4)函数g(x)的单调性与函数y=m和=g(x)的单调性的关系是“同增异减”. 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“V"或”x”) (I)对于函数fx),x∈D,若对任意x1,∈D,且x1有(s1一)[x)一fx)P0,则 函数)在区间D上是增函数.（) (2)函数y=的单调递减区间是（一∞，0）U(0,+∞).() (3)对于函数y=,若1)3)，则x)为增函数.() (4)函数y=x)在[1，+∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，+∞).() [解析](2)此单调区间不能用“U"连接，故单调递减区间为（一，0）和(0，十∞) (3)应对任意的<，x)<)成立才可以. (4)若x)=x,在[1，+∞)上为增函数，但y=x)的单调递增区间是(-∞，+∞) 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案](1)N(2)×(3)×(4)× 教材衍化 2.(25一26高一上·北京·期中)下列函数中，在(2，+∞)上单调递增的是() A.y= B.y=x+ C.y=x2-4x+1 D.y=x-4 [解析]函数y=在(0，十∞)上单调递减，A不是；函数y=x十在(0,3)上单调递 减，在(3，+∞)上单调递增，B不是；函数y=x2-4x+1在(2，十∞)上单调递增，C 是；函数y=x-4=在(-∞，4)上单调递减，在(4，十∞)上单调递增，D不是.故选 c. [答案]C 3.(2026·全国·高三专题练习)已知函数x)是定义在区间[0，+∞)上的函数，且在 该区间上单调递增，则满足2x一1)f的x的取值范围是() A. B. C. D. [解析]因为函数)是定义在区间[0，十)上的增函数，满足2x一1)f,所以 0s2x-1<,解得≤心故选D. [答案]D 考题体验 4.(25一26高一上·安徽铜陵·期末)已知A(0,2),B(4,-2)是函数fx)图象上两 点，且该函数是R上的减函数，则x一1)K2的解集是() A.(-1,3) B.(1,5) C.(-∞，-1)U(3,+∞) D.(-∞，1)U(5,+o) 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 [解析]x-1)<2→-2<x-1)<2,又因为A(0,2),B(4,-2)是函数x)图象上 两点，故4)孔x-1)0),该函数是R上的减函数，故0<x-1<4,解得1<<5，即不 等式解集为(1,5)，故选B. [答案]B 5.(2026聊城检测)函数x)=9x2+的最小值为 [解析])的定义域为[1，十o),且y=9x2与y=在[1，+∞)内均为增函数， .`)在[l,+o∞)上单调递增，故fx)mim=1)=9. [答案]9 典例精讲 [例1](25一26高一上·上海宝山期末)已知函数x)=x2-2x. (1)用定义法证明函数y=在区间（一∞，1]上是严格减函数； (2)写出函数y=x)在区间[一2,2]上的最值，以及相应的x的值. [思路点拨](1)任取1、∈(-∞，1]且<，作差)-)，因式分解后判断 )-)的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； (2)分析函数x)在区间[-2,2]上的单调性，即可求出函数x)的最大值、最小值以 及对应的x值. [自主解答](1)任取1、2∈(-，1]且x<, 则x1一x2<0且x1+2<2, 所以，)-f)=(x-2)-(x-2x) =(x-9)-2(1-3) 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 =(G1-2)G1十2)一2(G1-) =(G1-x2)G1+2-2)>0, 即x)>x2),所以， 函数y=x)在区间(-∞，1]上是严格减函数. (2)因为函数x)=x2-2x在[-2,1]上为减函数，在[1,2]上为增函数，所以，当x =1时，函数取最小值，且最小值为1)=-1， 又因为-2)=4+4=8,2)=4-4=0， 所以，当x=-2时，函数x)取最大值，且最大值为-2)=8. [例2]求下列函数的区； (1优)=-x+2+3: (2)x)=x+ [思路点拨](1)去绝对值号，转化为二次函数求解，或画出函数图象求解； (2)利用导数法求解. [自主解答](1)法一： .fx)= .由二次函数性质知x)的增区间是(-∞，-1]和[0,1]，减区间是[-1,0]和[1， 十∞). 法二：x)为偶函数，.其图象为 ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由图象知x)的增区间为(-∞，-1]和[0,1]； 减区间为[-1,0]和[1，+o): (2)函数x)的定义域为{x≠0}. fx)=1-= 令fx)>0得x<-3或x>3. 令fx)<0,得-3<x<0或0<x<3 fx)的增区间是(-∞，-3]和[3，十∞)，减区间是(-3,0)和(0,3). [解题心得]确定函数单调性（区间）的3种常用方法 ()定义法：一般步骤为设元一作差一→变形一→判断符号一得出结论.其关键是作差变 形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘（除）或平方和的形式，再结合变量 的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断.（如例1题 (2)图象法：如果)是以图象形式给出的，或者)的图象易作出，则可由图象的 直观性确定它的单调性.（如例2题 (3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性.（如例1题 [例3](1)已知函数x)的图象关于直线x=1对称，当2>x>1时，[)一)]w2一 )K0恒成立，设a=fb=2),c=e),则a,b,c的大小关系为 (2)已知函数fx)是定义在(0，+∞)上的增函数，若fa2-a>a十3)，则实数a的取 值范围为 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)2026·上海松江·三模)已知函数)=，则fx)的值域为 [思路点拨](1)将自变量化到同一单区间(1，+∞)上根据单调性比较a,b,c大 小 (2)由增减性将f”去掉，解关于α的不等式求解. (3)根据二次函数性质求出之1时的值域，再根据对勾函数的单调性求出O<1时的 值域，然后利用分段函数的性质即可求解， [自主解答](1)因为)的图象关于直线x=1对称，所以f=f由>x>1时，[代x) 一)](-)<0恒成立，知x)在(1，十∞)上单调递减. .1<2<<e,'2)>fe), ∴.b>a>c. (2)由已知可得 解得-3<a<-1或心3， 所以实数a的取值范围为(-3，一1)U(3，,十∞). (3)因为x)=, 当x21时，fx)=x221, 当0<1时，函数)=x十-5单调递减，故x)>1)=0,综上，函数)的值域 为(0，+∞)： [答案](1)b>心c(2)(-3,-1)U(3,+∞) (3)(0,+0) [解题心得](1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间 内，然后利用函数的单调性解决. ·独家授权侵权必究 令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性 将符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知 单调区间比较求参数： ②需注意若函数在区间[α，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单 调的， (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值， 高考再现 >>>>>> 1.(2026·北京卷)下列函数x)是奇函数且在定义域上单调递增的是( A.)= B.fx=sinx C.fx)=2x-21 D.f(x)=In [解析]在x)=中，x∈R,则-x)===fx),函数为偶函数，故A错误；在x) =sinx中，x∈R,函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故B错误；在)=2x- 2中，x∈R,则无-x)=2-2x=-x)函数为奇函数，f()=一2xn2-2n2<0,函数 单调递减，故C错误；在x)=lh中，>0，解得-5<5，x)=l(5+x)-ln(5-x),则 -x)=ln(5-x)-ln(5+x)=-x)为奇函数，fx)=+==>0,即函数在定义域上单调 递增，故D正确. [答案]D 2.(新课标全国1卷)设函数x)=2一在区间(0,1)单调递减，则α的取值范围是( A.(-∞，-2] B.[-2,0) 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.(0,2] D.[2,+∞) [解析]由题意得y=x(x-)在区间(0,1)单调递减，所以x=≥1，解得a≥2.故选 D [答案]D 3.(北京卷)下列函数中，在区间0，+∞)上单调递增的是() A.x)=一lnx B.)= C.=- D.f(x)=3kIl [解析]因为y=nx在(0，十∞)上单调递增，y=-x在(0，十o)上单调递减，所 以)=一nx在(0，十)上单调递减，故A错误；因为y=2"在(0，十∞)上单调递 增，y=在(0，十∞)上单调递减，所以孔x)=在(0，十∞)上单调递减，故B错误；因为y =在(0，+∞)上单调递减，y=-x在(0，十∞)上单调递减，所以x)=一在(0，∞)上单 调递增，故C正确；因为f=3=3=,f1)=31-1=3=1,f2)=32=3,显然fx)=3 在(0，十∞)上不单调，D错误.故选C. [答案]C 4.下列函数中，在区间（一1,1）上为减函数的是() A.y= B.y=cosx C.y=In(x+1) D.y=2-* [解析]逐个判断给出函数的单调性.选项A中，y=在（一∞，1）和(1，十∞)上为 增函数，故y=在(-1,1)上为增函数；选项B中，y=c0Sx在(-1,1)上先增后减；选 项C中，y=ln(x+1)在(-1，+oo)上为增函数，故y=n(x+1)在(-1,1)上为增函 数；选项D中，y=2=)在R上为减函数，故y=2在(-1,1)上是减函数. [答案]D 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.(2025·北京卷)关于定义域为R的函数fx),给出下列四个结论： ①存在在R上单调递增的函数x)使得+f2x)=一x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数x)使得)一2x)=x恒成立； ③使得x)+一)=cosx恒成立的函数x)存在且有无穷多个； ④使得x)一一)=cosx恒成立的函数x)存在且有无穷多个. 其中正确结论的序号是 [解析]若存在在R上的增函数)，满足)+2x=-x,则0)+2x0)=-0, 即f0)=0,故>0时，4x)>2x)>)>0,故f4x+2x>x)+2x),故-2>-x即 心0，矛盾，故①错误；取x)=一x,该函数为R上的减函数且一2x)=x,故该函 数符合，故②正确；取r)=cosx十x,m∈R,此时)十犬-x)=c0sx,由ER可得 )有无穷多个，故③正确；若存在孔)，使得孔)一-x)=c0sx,令x=0,则0=c0s 0,但c0s0=1,矛盾，故满足孔)--x)=C0sx的函数不存在，故④错误。 [答案]②③ 6.(2025·上海卷T21节选)已知函数y=x)的定义域为R对于正实数a,定义集合 Ma={xlfx+a)=fx)). (I)若x)=sinx,判断是否是Mn中的元素，请说明理由； (2)若x)=,M0,求a的取值范围. [解](I)f=sin=,f=-sin=-,则不是M中的元素. (2)因为M0,则存在实数使得f孔十a)=孔o),且a>0, 当x<0时，fx)=x十2，其在(-，0)上严格单调递增， 当x20时，)=，其在[0，十∞)上也严格单调递增，则o<0≤o十a,则十2=， 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 令x+2=0,解得x=-2,则-2≤0<0， 则a=02-=(十2)2-0=+∈. 课时作业（七） 1.(25一26高一上·广东广州·期中)函数y=的单调递减区间是() A.(-∞，1) B.(-∞，0) C.(1,+∞) D.(2,+∞) [解析]要使函数y=有意义，则x2-2>0,即xx-2)>0,解得<0或>2，.函数 定义域为(-∞，0U(2,十).令t=x2-2x,则y=t>0),y=在(0，十∞)上单调递 减，t=-2x对称轴为x=1,开口向上，在(-∞，0)上单调递减，在(2，十∞)上单调 递增，根据复合函数“同增异减”原则，可知y=的单调递减区间是(2，十∞)故选D. [答案]D 2.已知函数x)=(x∈[0,3D,则函数的最小值为() A.0.4 B C.2 D.-1 [解析]因为x)===1-,由于y=x+1在[0,3]上单调递增，则y=在[0,3]上 单调递减，故x)在[0,3]上单调递增，所以x)mn=f0)=-1.故选D. [答案]D 3.(25一26高二上·广东深圳期中)函数x)=-∞，2)上的最小值是() A.0 B.1 C.2 D.3 ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因为x∈(-∞，2)，可得2-x>0,所以fx)===2-x十≥2=2，当且仅当 2-x=时，即x=1时，等号成立，此时函数)在(-，2)上的最小值是2.故选C. [答案]C 4.已知函数fx)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是() A. B. C.(0,1) D.(0,1] [解析]由x)=是R上的增函数，得解得0<a≤，所以实数a的取值范围是故选B. [答案]B 5.已知函数x)是区间(0，+∞)内的减函数，则一a+1)与f的大小关系为 A.a2-a+1)2f B.a㎡-a+1)sf C.Aa-a+1)=f D.不确定 [解析]因为2-a+1=+≥，又)是区间(0，+oo)内的减函数，所以d-a十 1)f故选B [答案]B 6.函数y三)为定义在R上的单调增函数，若t0,则() A.t0>2) B.A)ft) C.e+t0>) D.ft+)>t+1) [解析]：函数y=)为定义在R上的单调增函数，当K0时，K2t,)2),故 A错误；当t=1时，=t,t)=),故B错误；当t0时，P+t>t,ft+t)>t),故C 正确；当0<K1时，+t+1,+)t+1),故D错误；故选C. [答案]C 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 7.(25一26高二下.宁夏石嘴山期中)若函数x)=在区间0,1]上的最大值为3，则 数m=() A.-1 B.1 C.3 D.-3 [解析]函数x)==2+,当>2时，x)=在[0,1]上单调递减，最大值为0)= m=3;当<2时，尤)=在[0,1]上单调递增，最大值为1)==3，解得m=4,不合题 意，所以实数m=3.故选C. [答案]C 8.(多选题如图所示是函数y=代x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是 永不相交，则以下描述正确的是() y 41 A.函数x)的定义域为[一4,4) B.函数fx)的值域为[0，+o) C.此函数在定义域内是增函数 D.对于任意的yE(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应 [解析]由图象知，函数)的定义域为[-4,0]U[1,4),故A错误；函数x)的值 域为[0，+∞)，故B正确；函数x)在[-4,0]，[1,4)上递增，但在定义域内不单调， 故C错误；对于任意的yE(5,十∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故D正确.故选 BD. [答案]BD 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 9.(25一26高二下，浙江·期中)若关于x的不等式x一<0(a∈R)在区间(1,2)上恒成 立，则a的值可能是() A.-2 B.1 C.2 D.4 [解析]由题意可得，心x在区间(1,2)上恒成立，因x2∈(1,4)，则a24,故A、 B、C错误，D正确.故选D. [答案]D 10.已知函数fx)=满足x1,2∈R且12，有>0成立，则实数a的取值范围是 () A.(0,1) B.(0,1] C. D. [解析]由题意得，函数x)是R上的增函数，因)=故须使，解得，0<as故选 C. [答案]C 11.(25一26高一上·北京期中)函数x)=的值域是 ；单调递减区间是 [解析]令x+2x-8≥0，解得22或x≤-4，故定义域为(-∞，-4]U[2,+∞)， fx)=≥0，故值域为[0，+∞)， 由于y=[0,十∞)上单调递增， 而t=x+2x一8在(-∞，-4]上单调递减，在[2，+∞)上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，x)单调递减区间为（一∞，一4]。 [答案][0，+∞)(-∞，-4] ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 12.已知定义在(0，+∞)的函数x)满足任意>0，xfx)一x)<0成立，且1)= 2,则不等式x)水2x的解集为 [解析]令hx)=-2,(>0),则h'x)=<0,所以h(w在(0，十∞)减函数，又h(I)= 1)-2=0,由(x)0=h(1),可得x>1,故不等式x)大2x的解集为(1，+∞). [答案](1，+∞) 13.(25-26高一下·海南海口·期末)已知函数x)=x2-(am2+2a)x+16,若当>0 时，x)>0恒成立，则实数a的取值范围是 [解析]因为函数x)=x2-(c2+2ax+16恒过定点(0,16)，对称轴为x=,开口向 上，又当>0时，fx)>0恒成立，则<0或，整理得到a2+2a<0或0s+2a<8,解得- 2<a<0或-4<a≤-2且0≤a<2,所以-4<<-2. [答案](-4,2) 14.若v∈，不等式x2一ax+1≤0恒成立，则a的取值范围为 [解析]x∈，不等式x2-ax+1≤0恒成立，则+1≤ax,即x∈，a2x+恒成立， 令)=x十，由图知代x)在上单调递减，在[1,2]上单调递增，又f=2)=2十=，故 x)m=,则a2 y f(x)=x+x [答案] ·独家授权侵权必究