第1章 第5节 基本不等式及其应用-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第五节基本不等式及其应用 教材梳理 >>>>>> 知识点1基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当=b时取等号 (3)其中_称为正数4，b的算术平均数，称为正数a,b的几何平均数， 知识点2两个重要的不等式 (1)2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)abs(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号 知识点3利用基本不等式求最值 已知x20,20,则 (1)如果积y是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2（简记：积定 和最小) (2)如果和x十y是定值s,那么当且仅当x三y时，y有最大值是简记：和 定积最大) 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√"或×） (1)两个不等式2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（） (2)函数y=x+的最小是2.() 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)函数x)=sinx+的最小值为4.() (4)x>0且y>0是+2的充要条件.（) [解析](1)不等式a2+b≥2ab成立的条件是a,b∈R;不等式≥成立的条件是a> 0,b>0. (2)函数y=x+的值域是(-∞，-2]U[2,十∞)，没有最小值. (3)函数x)=sinx+没有最小值， (4)x>0且)y>0是+≥2的充分不必要条件. [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 教材衍化 2.(2026陕西榆林高二校联考期中)已知a心0，b>0,α+4b=2,则ab的最大值为( A. B. C.1 D.2 [解析]因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥2=4，可得 ab≤，当且仅当a=4b,即a=1,b=时，等号成立，所以ab的最大值为.故选A. [答案]A 3.(多选题若之y,则下列不等式中正确的是() A.3≥3 B.2 C.x2≥y2 D.x2+y≥2y ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 [解析]由指数函数的单调性可知，当之y时，有323，故A正确；当0>之y时， >≥不成立，故B错误；当0≥x2y时，x2≥y2不成立，故C错误；X+y2-2y=(x-y)≥0成 立，即x2+y22y成立，故D正确. [答案]AD 考题体验 4.(25一26高二下·安徽合肥·期末)已知实数a>0,b>0,且+=2，则a+b的最小 值为() A.8 B.16 C.5 D.10 [解析]：a>0，,b>0,且+=2， ∴.a+b=(a十b)=>=8,当且仅当=，即a=2,b=6时等号成立，故选A. [答案]A 5.(25一26高二下·云南·期中)若一个长方形的周长为6，则该长方形面积的最大值 为 [解析]设长方形的长、宽分别为a,b(0<a,b<3),则2a+2b=6→a+b=3,根据 均值不等式有：矩形面积S=abs=,当且仅当=b=时取等芍 [答案] 典例精讲 >>>>>> [例1](1)25-26高一下·湖南长沙期末)已知>0，y>0,y十2x+y=6,则2x+y 的最小值是() A.2 B.3 独家授权侵权必究 令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.4 D.5 (2)(2026·上海杨浦·三模)已知a2+b2=1,则a-b的范围是 [思路点拨](1)将y十2x+y=6拼凑成(x+1)Gy+2)=8,再结合基本不等式即可求 解 (2)利用重要不等式即可求解 [自主解答](1)原式y+2x+y=6变形可得(x+1)y+2)=8, 由x>0,y>0,得x+1>1,y+2>2, 所以2x+y=2(x+1)+y+2)-42 2-4=2-4=4, 当且仅当即时取等， 所以(2x十y)mn=4.故选C. (2)由+b2=1,可得1=ad+b2=|adP+|b1≥2adb1,所以adbs,当且仅当ld=lbl= 时，等号成立，所以一≤abs,所以ab的范围是 [答案](1)C(2) [解题心得]配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或 积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活 变形，配系数、凑常数是关键， [例2](2026·江准十校·第三次联考)已知a心0，b>0,α+b=1,则+的最小值为 [思路点拨]a十b=1;a+b=m时要进行适当的转化为右端为1. 独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [自主解答]因为a+b=1,所以+=(a+b)=2+≥2+2=2+2=4. 当且仅当a=b=时，取等号. [答案]4 [解题心得]常数代法求解最的基本步 (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）； (2)把确定的定值（常数变形为1； (3)把“1'的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形 式： (4)利用基本不等式求解最值 [例3](25一26高二下.重庆·期末)若正实数xy满足y+x一3y=一1，则x一y的 最大值为( A.3 B.2 C.1 D.0 [思路点拨]整理等式，根据基本不等式，可得答案. [自主解答]由y十x-3y=-1有x=,则x-y=-y=4-≤0，当且仅当x=y=1 时，等子成立.故选D。 [答案]D [解题心得]通消元法利用基本不等式求最的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后， 凑出“和为常数"或积为常数”，最后利用基本不等式求最值， 高考再现 >>>>> ·独家授权侵权必究 季学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.(多选题（新高考川卷）若x,y满足x2+y2一y=1,则() A.x+ysl B.x+y2-2 C.x2+y2≤s2 D.x2+y2≥1 [解析]由已知得(x十y)2-3y=1,所以1=(x+y)}-3≥(x+y)2-,即1≥，所以- 2≤x十ys2,所以A不正确，B正确；由x+y-y=1,得+y2-1=s,当且仅当x= y时取等号，所以x十y≤2，所以C正确，D不正确.综上可知，选BC [答案]BC 2.(2026·天津卷)的最小值为 A.10 B.9 C.8 D.6 [解析]因为=x2++5≥2+5=9，当且仅当x2=时，即x2=2,x=±时，等号成 立，所以的最小值为9， [答案]B 3.(2025·北京卷)已知>0，b>0,则() A.a+b2-2ab B.+2 C.a+b> D.+ [解析]当a=b时，㎡+b2=2ab,故A错误；取a=,b=,此时+=2十4=6<=8 =,十=2十4=6>=4=，故BD错误；由基本不等式可得a十b22>,故C正确.故选 C [答案]C 4.(2026·上海卷)若心0，b>0,且a+2b=4,则ab的最大值是 [解析].a>0,b>0,a+2b=4 独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 ..4=a+2b≥2 ∴.abs2,当且仅当a=2b时取等号，即a=2,b=1时取等号. [答案]2 5.(2026·盐城模拟)已知正数m,n满足m+2=8,则+的最小值为 等 号成立时m,n满足的等量关系是 [解析]因为m+2n=8,所以+=×=×≥×=×(4+4)=1，当且仅当=，即m=4, n=2时等号成立. [答案]1m=2n 6.(2025·上海卷)设a,b>0,a+=1,则b+的最小值为 [解析]易知b+==ab++2≥2+2=4，当且仅当ab=1,即a=,b=2时取得最 小值， [答案]4 课时作业（五） 1.(25一26高一下.云南临沧·期末)已知正数a,b满足+=4，则ab的最小值为( A.2 B.4 C. D [解析]由正数a,b,且+=4，所以+≥2→2≤4→ab>,当且仅当=，即a=b=时 取等号.故选D, [答案]D 2.已知x>2,则x+的最小值是) ·独家授权侵权必究 季学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.2 B.4 C.2 D.6 [解析]x>2,∴x+=x-2++2≥2+2=6，当且仅当x-2=,又2，∴x-2= 2,即x=4时，x+的最小值为6. [答案]D 3.(2026·高三·北京·专题练习)已知一3<<0，则y=x的最小值为执) A. B. C. D.不存在 [解析]由于一3<K0,则9-x>0,故y=x=一≥-=一，当且仅当x=(9-), 即x=一时取等，即y=x的最小值为一.故选A. [答案]A 4.若x<0,则x十的最大值为 ) A.-2 B.-2 C. D.2 [解析]当x<0时，-x>0,x十=-≤-2=-2，.x十的最大值为-2.故选A [答案]A 5.(25一26高一下·广西贵港·期末)31d+的最小值为汍) A.3 B.4 C. D.2 [解析]由题意得1ad>0,则3ld+≥2=2，当且仅当3引ad=,即=时，等号成立， 所以3引d+的最小值为2.故选D. 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]D 6."<4'是4x2-mx+1>0在x∈(0，+∞)上恒成立"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]4x2-mx+1>0在x∈(0，+oo)上恒成立，即4x+>m在x∈(0，+o∞)上恒成 立，4x+≥4，当且仅当x=时，取等号；故<4，“<4”是“<4'的充要条件，故选C. [答案]C 7.(2026·安徽合肥三模)已知正数α、b满足+=1，则a+2b的最小值为() A.4 B.6 C.8 D.9 [解析]由题意得a+2b=(a+2b)=1+++4≥5+2=9， 当且仅当时，即a=3,b=3时，α十2b取得最小值9.故选D. [答案]D 8.(2026浙江·高二下.学业考试)已知x>0,则+x的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 [解析]因心0，则x+1>1,则+x=+x+1一1≥2-1=3，等号成立时x=1.故+x 的最小值是3.故选C [答案]C 9.(2026·泰州联考)对任意m,n∈(0，+∞)，都有m2-awm十2m≥0，则实数a的最 大值为() 独家授权侵权必究 季学科网书城 三方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 A. B.2 C.4 D. [解析]，对任意m,n∈(0，十oo),都有n-am+2m2≥0，.n+2n2≥am,即a≤ =十恒成立，十≥2=2，当且仅当=即m=n时取等号，.a≤2，故a的最大值为2.故 选B. [答案]B 10.(25一26高二下·北京昌平期末)若“3x∈[1,3]，x十≤m"是真命题，则实数m 的最小值为() A. B.2 C.3 D. [解析]由题意有2 m由x+≥2=2，当且仅当=，即x=财，等号成立，所 以22，即实数m的最小值为2，故选B [答案]B 11.(25一26高一下·河南焦作·阶段练习)已知心0，>0，且x+y=4,则y的最大 值为 [解析]因为心0，>0，且x+y=4,所以x+y=4≥2，故9s8,当且仅当x=y=2 等号成立，所以y的最大值为8. [答案]8 12.若直线+=1(>0，b>0)过点(1,2)，则2a+b的最小值为 [解析]由题设可得+=1，.a>0,b>0,∴.2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8.故 2a十b的最小值为8. [答案]8 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 13.设命题p:x>0,x+>a,若一p是假命题，则实数a的取值范围是 [解析]因为一p是假命题，故p为真命题，因为x>0,故x十≥2，当且仅当x= 时，等号成立，故<2. [答案]a2 14.(25一26高二下·上海·期末)若对任意的>0，使得a<x2+1均成立，则实数a 的取值范围是 [解析]对任意的心0，使得a<x2+1均成立，可转化为a< min min'根据基本不 等式，0时，x+≥2=2（当且仅当x=1时取等），因此，min=2,a2. [答案]（-∞，2) ·独家授权侵权必究