内蒙古赤峰市松山区松山外国语学校2026～2027学年高二上学期（10月）阶段性考试（一）

2026— 2027学年高二上学期阶段考试（一 出个，国绿八 数学试卷评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分， 2 4 6 8 D D A B A A 二、选择题：本题共3小鼎，能小整6分，共18分 10 11 AC ACD ABC 三，填空型：本题共3小题，将小题5分，共15分。 12.(013.03 “ 有中00，溪常0h 四，解答题：本理共5小题，共刀分. ,中代 15(13分】 甲月，A于M得99 d)a-B=3-22--,1-2=13-), 一2 ā+25-(3+2x22+2×(-0,1+2×2)=(7.0.5), 一4 a-a+25=1x7+3×0+(-0×5=7-5=2. (2)-6=(3张-2,2k+1素-2)，妇+6=(3h+2,2达-1，k+2): 因为(-)后+不)，所以存在实数无，使得短-5=后+)， 3k-2=A(3球+2) 2h+1=(2k-1), k-2=A(t+2) 解得★=0是唯一解，故太=0。 -13 16.(15分) (1)可知频率分布直方图组距为10，所以(0.005+a+0.045+0.020+0,00S)×10=1.解得a=0.025,一一2 甲均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.50， 一4 前两组颓率之和为0,3，前三组频率之和为07乃： 511■4国+生 则第60百分位数为。”×10+65与71.67. 5A高c51-山04 045 2)这10名面试者中第四组和第五组面试者有业+525人。》 第四组和第五粗所有面试者的面试成绩的平均数为20x0:5x90.2, -12 由题意可得2-碧[+(60-0门0+0-如门，解得=5 17,(15分) ()记CD的中点为G,连楼EG.GF。 mn01的边tb0=中a7 中 A-Aw,PE中a 上nnn品n小…a 图为G、方分别为CD、CA的中点，所以G球=CG,GF/C℃ 在正方体ABCD-A其CD中，4CG,AM=C℃ 2 一准n房n酒 闲为E为4的中点，所以A5GF,AE=GF,所以四边形4BGF为平行四边形，3 所以AFEG. 因为4Fg平面CDE,EGc平面CDE,故AF∥平面CD,E 54 (2)以D为坐标原点，DA、DC、DD所在直线分别为x轴、y轴、：轴，速立如图所示的空间直角坐标系D一四 户m有作：na国 5作a5na-95￥-n :-an4n小n 则B(2,2,0).C(0,2,0)、B(002)、E(20) 所以C可-(0.-2,2).C万=(2，-2).8C-(-20 24品3 南C=0 设m=(:,,)是平面BCE的一个法向量，则 -2x=0 mC证=0 2x-2y+x-0 令y=1,可得m=(0,1,2) 设万=（户，，）是平面CDE的一个法向量，则 mCD=02g+2=0 正-0”即 2p-2g+r=01 取9=2，可得万=(1,22) 0x1+1x2+2×2 625 所似om周词”64+22+2“5对了 所以平面8C与平面CD5夹角的余获值为2 10 5 18(17分) 霸)数事孙4：男成一我着。：雪应二快整，(：“省戏三到批，前病一中痕州一个球 的样本中为，-2.14关，用叫0=5，- 分 4线.系4以，八4治-号-4对店-一2分 影成二中数地能孩取山背个津纳用本空民日，~，川：，21，人明。 周问…8，为到4生利到-分 m双n言分 新秋更在的名华为吉 2)要或世中不破国货次束州两个峰的样本脑个数为5红4：神，…一一一网分 1体：本药个数为质型所米版华为结 一9分 D设N。-究玩游在，误阳程”N:无或勤从三，我同量京 制：.a7Je。e:丑，C,40亚形，1.C第t做立-0分 FsM-aucu4c小20+P7cAc *列P-G-Pc+PP1C -言c高品9一u分 元，rTw4C,tur万，C,4g瓦e,m- 一2分 所wN=r[AcTv IBU4ca-PC-rca小i4C ~c-P]--rIC群+群PCN 分 方答下来先玩的戏比线玩游镜二线划最章的幅米人，划时门>州M, 所品r1G言品19，c言 透行苦众一时，不波地债次家出再个球的所和然果如下表 第二衣第灰 (L4 ( 色4 9 20 2可 24 2.写 包4 12 14 名到 4 (a0 4刘 4 4到 (50 引 月 3利 1u1,G-0苏，去 0-0 19(1)如图，作出符合题数的园用， 连接4C,D相交于点O,连接OM, 西边形BCD为菱形，所以O为D中点， 义M为PD中点，所以PBOM, 又OMC平离化C,PmE平面M4C,所以PB∥平面MAC, 如图，作出符合题愈的图形， 国为w=2。a,有=2识a 萧以4o-2ycn,得Sae=2Sa, 有M是PD本近D的三餐分点，则-；P+号D 又D⊥P,P,2,ADl 所四网得而 p-5,ow-o-5 3 则AM+DM=AD,即AM⊥DM,AM⊥PD, 又AM⊥CD,PDOCD=D,PD,CDc平面PCD 所以M⊥平面PCD,又AMC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PCD: 9 (3)由4D⊥AE,以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 可0aa明. 合兽ma.m网， 由题盘海平面4D的一个法向量为两=低Q) 量平面的一-个法的量为-小元-台-号小亦-n: 武w汽】 [4.bc-0 3-5y ◆.3-5 图为同-5。所以+2=2，令y=5n8,z=2co0,15 有132血0，得694h1o0=3 2c0s0 3 话计千得中得写中”名一 业oam,用= 应京制 3-5y 即二面角P-(D-A的余弦值的最小值为号 17 白 着之 国不长卡 国8“昌R04 前高闻都 松山外国语学年高二上学期阶段性考试（一） （考试时间：120分钟 分值：150分 ） 注意事项： 1. 答题前：考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上； 2. 回答选择题时：选出每小题给出的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 3. 测试范围：人教A版（2019）必修第二册第九章+第十章+选择性必修一第一章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据，，，，，的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 袋中装有质地，大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（ ） A.“摸出的个球颜色不都相同”是必然条件 B.“摸出的个球颜色都不相同” 是不可能事件 C.“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D.“恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 5. 已知，，则（ ） A.若，则 B.若，则 C.若互斥，则 D.若互斥，则 6. 在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二面角的大小为，点在平面内，点在平面内，且点到直线的距离为，点到直线的距离为，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A.点关于平面对称的点的坐标是 B.若，则向量，的夹角是钝角 C.已知，，则在上的投影向量的模为 D.设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 已知甲组数据，，，的平均数为，方差为；乙组数据，，，的平均数为，方差为，且，，，，现将甲、乙两组数据合并成一组新数据，记为丙组，其平均数为，方差为，则（ ） A. B.若，，则 C.若甲组数据的众数为，则乙组数据的众数为 D.若甲组数据的中位数为，则乙组数据的中位数为 11. 如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，是线段上的动点（不包含端点）则（ ） A.对于任意点，都有 B.对于任意点，不存在平面 C.过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 D.存在点，使得三棱锥体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点，，则线段的中点的坐标为 . 13. 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为、、，绿色卡片两张，标号分别为和。若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的颜色不同且标号之和小于的概率为 . 14. 已知四棱锥的底面是正方形，侧棱，为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题13分） 已知，. （1）求； （2）当时，求实数的值. 16. （本小题15分） 2025年7月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行. 志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作. 现随机抽取名候选者的面试成绩，并分成五组，第一组，第二组，第三组，第四组和第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数和第百位数（保留两位小数）； （2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者. 若这名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为，求第四组面试者的面试征集的方差. 17. （本小题15分） 如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. （本小题17分） 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响，连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球个，白球个，其中红球编号为、、，白球的编号为、. 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜； 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜； 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜. （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三得徽章的概率更大，说明理由. 19. （本小题17分） 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为的菱形，，，，将沿翻折至，如图2，点在线段上运动. （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值。 图一 图二 ************************************************************************************************************ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $